2022年第四章平面向量数系的扩充与复数的引入阶段质量检测 .pdf

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1、优质资料欢迎下载第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入(自我评估，考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！) (时间 120 分钟，满分150 分) 一、选择题 (本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的) 1 (2009 天津高考 )i是虚数单位，5i2i() A12iB 12i C12i D 12i 解析 ：5i2 i5i 2i2 i 2i 12i. 答案 ：D 2已知向量a(5,6)，b(6,5)，则 a 与 b () A垂直B不垂直也不平行C平行且同向D平行且反向解析 ：已知向量a( 5,6)， b(6,5)，a b 30300，则 a与

2、 b 垂直答案 ：A 3若 a(2cos ，1)， b(sin ，1)，且 ab，则 tan等于() A2 B.12C 2 D12解析： ab，2cos 1sin ，tan 2. 答案： A 4 如图，已知ABa，ACb，BD3DC， 用 a， b表示AD， 则AD等于() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页优质资料欢迎下载Aa34bB.14a34bC.14a14bD.34a14b解析 ：ADABBDAB34BCAB34(ACAB)14AB34AC14a34b. 答案 ：B 5已知复数z 满足 |z| z 24i，

3、则 z 等于() A 34i B3 4i C 34i D 34i 解析： 设 z abi(a，bR)，则 z a bi，a2b2 (abi)24i，即a2b2a2b 4，解得 a3，b 4，z34i. 答案： B 6已知复数z 1i，则z22zz1等于() A2i B 2i C2 D 2 解析 ：z2 2zz 11i22 1i1i12i 22ii2i. 答案 ：A 7已知命题：“若k1ak2b0，则 k1k20”是真命题，则下面对a，b 的判断正确的是() Aa 与 b一定共线Ba 与 b 一定不共线Ca 与 b一定垂直Da 与 b 中至少有一个为0 解析 ：假设 a 与 b 共线，由已知得k

4、1a k2b，如果 a、b 均为非零向量，与已知条件矛盾如果a、b 中至少有一个非零向量，明显的与已知矛盾，排除A、D.把 k1ak2b0 两边平方得k21a2k22b22k1k2a b0，因为 k1k20，所以 a b不一定等于0，排除 C. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页优质资料欢迎下载答案 ：B 8 若平面向量a(1,2)与 b 的夹角是180 ， 且|b|35， 则 b 的坐标为() A(3， 6) B(3,6) C(6， 3) D( 6,3) 解析 ：由题意设ba (1,2)由|b|35得 29. 3

5、. 因为 a 与 b的夹角是180 .所以 3. 答案 ：A 9(文)设向量 a与 b 的夹角为 ，a(2,1)，a 2b(4,5)，则 cos等于() A.1010B.31010C.35D.45解析 ：设 b(x，y)，因为 a(2,1)，a2b(2,1) 2(x，y)(22x,1 2y)(4,5)，即 22x 4,12y5，解得： x1，y 2，即 b(1,2)，故 cos a b|a|b|2，1 1， 2552112545. 答案 ：D 9(理 )已知 |a| 2|b|，且 b 0，若关于x 的方程x2|a|xa b 0 有两相等实数根，则向量a与b的夹角是() A6B3C.3D.23解

6、析 ：由关于 x 的方程有两个相等实数根可得 |a|24a b0? a b|a|24，cosa，ba b|a| |b|a|24|a|2212，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页优质资料欢迎下载又 a，b0， ，a，b23. 答案 ：D 10 (2010 深圳模拟 )点 M 是边长为2 的正方形ABCD 内或边界上一动点，N 是边 BC的中点，则ANAM的最大值是() A 2B4 C 5 D6 解析 ：建立如图所示的直角坐标系，则N(2,1)，设 M(x，y)，ANAM(2,1) (x，y) 2xy， 0 x2,0y

7、2， 02x y6. 答案 ：D 11 (2010 安庆模拟 )已知非零向量AB，AC和BC满足ABACABAC+BC0，且ACACBCBC22，则 ABC 为() A等边三角形B等腰非直角三角形C非等腰三角形D等腰直角三角形解析 ：ABAB、ACAC、BCBC均为单位向量由ABACABAC+BC 0，得 |AB|AC|. 由ACACBCBC11cos C22，得 C45 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页优质资料欢迎下载故三角形为等腰直角三角形答案 ：D 12设两个向量a( 2，2cos2 )，b(m，m2

8、sin )，其中 ，m， 为实数若a2b，则m的取值范围是() A 6,1 B4,8 C (， 1 D1,6 解析： a2b， 22m，2cos2 m2sin .消去 ，得 4m28m4 cos2 m2sin ，即 4m29m 2 (sin 1)2. 1 sin 1， 4(sin 1)20，4 4m2 9m20，解得14 m2，m2m2m22m 6,1答案： A 二、填空题 (本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分请把正确答案填在题中的横线上) 13已知复数z1 m 2i， z2 34i，若z1z2为实数，则实数m_. 解析 ：z1z2m2i34im2i 34i253m8 6 4m i2

9、5是实数， 64m0，故 m32. 答案 ：3214已知抛物线y24x 与直线 y 2x4 交于 A、B 两点，如果在该抛物线上存在点C，使得OAOB OC(O 为坐标原点 )，则实数 _. 解析： 由已知可设C(m24， m)，由题意易解得A(1， 2)，B(4,4)，则有 (5,2)(m24，m)，解得 15. 答案：15精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页优质资料欢迎下载15已知平面向量a，b，c 满足 abc0，且 a 与 b 的夹角为135 ，c 与 b 的夹角为120 ，|c|2，则 |a|_. 解析 ：

10、 根据已知条件， 组成以 |a|， |b|， |c|为边长的三角形， 由正弦定理得|a|sin 180 120|c|sin 180 135，又|c|2，所以 |a|6. 答案 ：6 16在直角坐标系xOy 中，i、j 分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，ABij，AC2imj，则实数m_. 解析 ：本题考查了向量的运算由已知可得BCACABi(m 1)j. 当 A90 时，ABAC(ij) (2imj) 2m 0，m 2. 当 B90 时，BABC (ij) i(m1) j (1m1) m0，m0. 当 C90 时，CACB (2imj) i(m 1)j 2m(m1)m2m

11、20，此时 m 不存在故m0 或 2. 答案 ：0 或 2 三、解答题 (本大题共6 小题，共74 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17 (本小题满分12 分 )已知复数z 满足： |z|13iz，化简1i234i22z. 解：设 zabi(a，bR) ，而 |z|13iz，即a2b213ia bi0，则a2b2a 10b30，?a 4，b 3，z 43i. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页优质资料欢迎下载1i234i22z2i 724i2 43i247i43i34i. 18 (本小题满分1

12、2 分 )如图，在平行四边形ABCD 中，M，N 分别为 DC，BC 的中点，已知AMc，ANd，试用 c，d 表示AB，AD. 解：法一 ：设ABa，ADb，则aANNB d(12b)，bAMMDc (12a)，将代入 得 a d(12)c (12a) ? a43d23c，代入 得 bc(12)(43d23c)43c23d. 故AB43d23c，AD43c23d. 法二： 设AB a，ADb. 所以BN12b，DM12a，因而c b12ad a12b?a23(2d c)b23(2cd)，即AB23(2dc)，AD23(2cd)19(2010 安庆模拟 )(本小题满分12 分 )已知向量a (

13、cos32x，sin32x)，b(cosx2，sinx2)，其中 x0，2，(1)求 a b 及|ab|；(2)若 f(x)a b2 |ab|的最小值为32，求 的值解：(1)a b cos32xcosx2sin32xsinx2 cos2 x，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页优质资料欢迎下载|a b|22cos2x2cos x. (2)f(x)a b2 |a b|cos2x4 cos x2cos2x14 cos x2(cos x )2 221. 注意到 x0，2，故 cosx0,1，若 1，当 cos x1 时，

14、 f(x)取最小值1 4 ，令 14 32且 1，无解综上： 12为所求20 (本小题满分12 分)在 ABC 中，角A、B、C 所对的边长分别为a、b、c，已知向量 m(1,2sinA)， n(sinA,1cos A)，且满足 m n，bc3a. (1)求角 A 的大小；(2)求 sin B6的值解：(1)mn，1cosA 2sin2A，即 2cos2AcosA1 0，解得 cos A 1(舍去 )，cosA12. 又 0A ，A3. (2)bc3a，由正弦定理可得sinBsinC3sinA32. 又 C (AB)23 B，sinBsin23B 32，即32sinB32cosB32，sin

15、B632. 21 (本小题满分12 分 )已知向量a (cosx，sinx)，b (cosx，cosx)，c (1,0)(1)若 x6，求向量a，c 的夹角；(2)当 x2，98时，求函数f(x)2a b1 的最大值解：(1)设 a，c 的夹角为 ，当 x6时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页优质资料欢迎下载cos a，ca c|a| |c|cos xcos2xsin2x1202 cos x cos6 cos56. 0 a，c ，a，c56. (2)f(x)2a b12(cos2xsinxcosx)1 2sinx

16、cosx (2cos2x1)sin2xcos2 x2sin(2x4)x2，98，2x434， 2 ，sin(2x4) 1，22，当 2x434，即 x2时， f(x)max1. 22(本小题满分14 分 )已知 m R，a( 1，x2m)，b(m1，1x)，c(m，xxm)(1)当 m 1时，求使不等式|a c|0 成立的 x 的取值范围解： (1)当 m 1 时， a(1，x21)，c(1，xx1)a c 1x x21x 1x2x1，|a c| |x2x1|1，x2x11.解得 2x 1 或 0 x1. 当 m 1 时，使不等式 |a c|1 成立的 x 的取值范围是x|2x1 或 0 x0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页优质资料欢迎下载当 m0 时， x (m,0)(1， )；当 m0 时， x(1， )；当 0m1 时， x(0,1) (m， )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页