2022年第四节平面向量应用举例 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载第四节平面向量应用举例一、向量在平面几何中的应用1平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题2用向量解决常见平面几何问题的技巧问题类型所用知识公式表示线平行、 点共线、 相似等问题共线向量定理ab? ab? x1y2x2y10(b 0) 其中 a(x1， y1)，b (x2，y2) 垂直问题数量积的运算性质ab? a b0? x1x2y1y20 a (x1，y1)，b(x2， y2)，其中 a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos a b|a|b|(为向量 a，b 的夹角 ) 二、向量在物理中的应

2、用1向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用2向量在速度的分解与合成中的应用3向量的数量积在合力做功问题中的应用：Wf s. 1已知三个力f1，f2， f3作用于物体同一点，使物体处于平衡状态，若f1(2,2)，f2(2,3)，则 |f3|为() A2.5B42C22D5 2已知 O 是 ABC 所在平面上一点，若OA OBOB OCOC OA，则 O 是 ABC 的() A内心B重心C外心D垂心3若 AB BCAB20，则 ABC 为() A钝角三角形B锐角三角形C等腰直角三角形D直角三角形4已知两个力F1、F2的夹角为90 ，它们的合力F 的大小为10 N，合力与 F1的夹角为60 ，那么

3、F1的大小为 _5(2012 湖南高考 )在 ABC 中， AB2，AC 3，AB BC1，则 BC() A.3 B.7 C2 2 D.23 6(2013 福建高考 )在四边形ABCD 中， AC(1,2)，BD(4,2)，则该四边形的面积为() A.5 B2 5 C5 D10 考向一080向量在平面几何中的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载(1)(2014 长沙模拟 )在 ABC 中，已知向量 AB与AC满足AB|AB|AC|AC| BC0，且AB|AB|AC|AC|12，则 ABC 为

4、() A等边三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D三边均不相等的三角形(2)(2014济南模拟 )设 a， b， c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且 a 与 b 不共线，ac，|a|c|，则 |bc|的值一定等于 () A以 a，b 为邻边的平行四边形的面积B以 b，c 为两边的三角形面积C以 a，b 为两边的三角形面积D以 b，c 为邻边的平行四边形的面积(3)已知 ABC 的三边长AC3，BC4，AB5，P 为 AB 边上任意一点，则CP (BABC)的最大值为_规律方法11.向量在平面几何中的三大应用：一是借助运算判断图形的形状，二是借助模、数量积等分析几何图形的面积；三

5、是借助向量探寻函数的最值表达式，进而求最值. 2.平面几何问题的向量解法1 坐标法 ,把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. 2 基向量法 ,适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解 . 对点训练(1)已知点 O，N，P 在 ABC 所在平面内， 且|OA|OB|OC|，NANBNC0，PA PBPB PCPC PA，则点 O，N，P 依次是 ABC 的() A重心、外心、垂心B重心、外心、内心C外心、重心、垂心D外心、重心、内心(2)(2013课标全国卷 )已知正方形

6、ABCD 的边长为2，E 为 CD 的中点，则 AE BD _. 考向二081向量在物理中的应用(1)一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿 )的作用而处于平衡状态已知F1、F2成 60 角，且 F1、 F2的大小分别为2 和 4，则 F3的大小为 () A2 7B25C2D6 图 441 (2)如图 4 41 所示，已知力F 与水平方向的夹角为30 (斜向上 )，F 的大小为50 N，F 拉着一个重80 N 的木块在摩擦因数 0.02 的水平平面上运动了20 m，问 F、摩擦力f 所做的功分别为多少？规律方法21.物理学中的 “功”可看作是向量的数量积的原型. 2.应善于将平面

7、向量知识与物理有关知识进行类比.例如，向量加法的平行四边形法则可与物理中力的合成进行类比，平面向量基本定理可与物理中力的分解进行类比. 3.用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为物理问题.考向三082向量在三角函数中的应用(2013 辽宁高考 )设向量 a(3sin x，sin x)，b(cos x， sin x)，x0，2. (1)若|a|b|，求 x 的值；(2)设函

8、数 f(x)a b，求 f(x)的最大值规律方法3平面向量与三角函数结合的题目的解题思路通常是将向量的数量积与模经过坐标运算后转化为三角问题，然后利用三角函数基本公式求解. 对点训练已知 O 为坐标原点，向量OA(sin ，1)，OB(cos ，0)，OC(sin ，2)，点 P 满足ABBP. (1)记函数 f( )PB CA，求函数f( )的最小正周期；(2)若 O、P、C 三点共线，求|OAOB|的值规范解答之七平面向量与三角函数的交汇问题求平面向量与三角函数的交汇问题的一般步骤：第一步： 将向量间的关系式化成三角函数式；第二步： 化简三角函数式；第三步： 求三角函数式的值或求角或分析三

9、角函数式的性质；第四步： 明确表述结论(12 分)(2013 江苏高考 )已知 a(cos ，sin )， b(cos ，sin )，0 .(1)若|ab|2，求证： ab；(2)设 c(0,1)，若 ab c，求 ，的值【名师寄语】1 熟练掌握平面向量的线性运算及数量积的运算是求解此类问题的前提. 2 解决平面向量与三角函数的交汇问题，要利用平面向量的定义和运算法则准确转化为三角函数式.在此基础上运用三角函数的知识求解. (2014 烟台模拟 )已知向量a (cos ， sin )，b(cos ，sin )， |a b|2 55. (1)求 cos( )的值；(2)若 0 2，2 0，且 s

10、in 512.求 sin . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载第四节平面向量应用举例一、向量在平面几何中的应用1平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题2用向量解决常见平面几何问题的技巧问题类型所用知识公式表示线平行、 点共线、 相似等问题共线向量定理ab? ab? x1y2x2y10(b 0) 其中 a(x1， y1)，b (x2，y2) 垂直问题数量积的运算性质ab? a b0? x1x2y1y20 a (x1，

11、y1)，b(x2， y2)，其中 a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos a b|a|b|(为向量 a，b 的夹角 ) 二、向量在物理中的应用1向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用2向量在速度的分解与合成中的应用3向量的数量积在合力做功问题中的应用：Wf s. 1已知三个力f1，f2， f3作用于物体同一点，使物体处于平衡状态，若f1(2,2)，f2(2,3)，则 |f3|为() A2.5B42C22D5 【解析】由题意知f1f2f30，f3 (f1f2) (0， 5)，|f3|5.【答案】D 2已知 O 是 ABC 所在平面上一点，若OA OBOB OCOC OA，则 O 是 ABC

12、 的() A内心B重心C外心D垂心【解析】OA OBOB OC? OB (OAOC) 0，OB CA0? OBAC. 同理： OABC，OCAB，O 是 ABC 的垂心【答案】D 3若 AB BCAB20，则 ABC 为() A钝角三角形B锐角三角形C等腰直角三角形D直角三角形【解析】AB BC AB20 可化为 AB (BC AB) 0，即AB AC0，所以 ABAC.所以ABC 为直角三角形 【答案】D 4已知两个力F1、F2的夹角为90 ，它们的合力F 的大小为10 N，合力与 F1的夹角为60 ，那么F1的大小为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

13、 - - - - -第 4 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载【解析】如图所示 |F1| |F|cos 6010125(N) 【答案】5 N 5(2012 湖南高考 )在 ABC 中， AB2，AC 3，AB BC1，则 BC() A.3 B.7 C2 2 D.23 【解析】 AB BC1，且 AB2，1|AB|BC|cos(B)，|BC|cos B12. 在 ABC 中， |AC|2|AB|2|BC|22|AB|BC|cos B，即 94|BC|222 12. |BC|3. 【答案】A 6(2013 福建高考 )在四边形ABCD 中， AC(1,2)，BD(4,2)，则该四边形的面积为()

14、 A.5 B2 5 C5 D10 【解析】 AC BD (1,2)(4,2) 4 40， ACBD，S四边形ABCD12|AC| |BD|1252 55.【答案】C考向一080向量在平面几何中的应用(1)(2014 长沙模拟 )在 ABC 中，已知向量 AB与AC满足AB|AB|AC|AC| BC0，且AB|AB|AC|AC|12，则 ABC 为 () A等边三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D三边均不相等的三角形(2)(2014济南模拟 )设 a， b， c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且 a 与 b 不共线，ac，|a|c|，则 |bc|的值一定等于 () A以 a，b

15、为邻边的平行四边形的面积B以 b，c 为两边的三角形面积C以 a，b 为两边的三角形面积D以 b，c 为邻边的平行四边形的面积(3)已知 ABC 的三边长AC3，BC4，AB5，P 为 AB 边上任意一点，则CP (BABC)的最大值为_【尝试解答】(1)因为AB|AB|AC|AC| BC 0，所以BAC 的平分线垂直于BC，所以 ABAC. 又AB|AB|AC|AC|12，所以 cos BAC12，即BAC3，所以ABC 为等边三角形(2)依题意可得 |b c|b|c|cosb，c |b|c|sina， b S平行四边形 |bc|的值一定等于以b， c 为邻边的平行四边形的面积(3) 精选学

16、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载法一(坐标法 )以 C 为原点，建立平面直角坐标系如图，设P 点坐标为 (x，y)且 0y3,0 x4，则CP (BA BC) CP CA(x，y) (0,3)3y，当 y3 时，取得最大值9. 法二(基向量法 ) CPCAAP，BABC CA， CP (BABC)(CAAP) CA CA2 AP CA9AP AC9|AP| |AC| cos BAC93|AP| cos BAC， cos BAC 为正且为定值， 当|AP|最小即 |AP|0 时，CP (BABC)取得

17、最大值9.答(1)A(2)D(3)9 规律方法11.向量在平面几何中的三大应用：一是借助运算判断图形的形状，二是借助模、数量积等分析几何图形的面积；三是借助向量探寻函数的最值表达式，进而求最值. 2.平面几何问题的向量解法1 坐标法 ,把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. 2 基向量法 ,适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解 . 对点训练(1)已知点 O，N，P 在 ABC 所在平面内， 且|OA|OB|OC|，NANBNC0，PA PBPB PCPC PA，则点

18、 O，N，P 依次是 ABC 的() A重心、外心、垂心B重心、外心、内心C外心、重心、垂心D外心、重心、内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心) (2)(2013课标全国卷 )已知正方形ABCD 的边长为2， E为 CD 的中点，则 AE BD_. 【解析】(1) |OA| |OB| |OC|，即点 O 到 A，B，C 三点的距离相等，点O 为 ABC 的外心如图，设D 为 BC 边的中心，则NB NC2ND， NANBNC0，NA2ND0，NA2DN，A，D，N 三点共线，点 N 在 BC 边的中线上同理，点N 也在 AB，AC 边的中线上，点N 是 ABC 的重心 PA

19、 PBPB PC，PA PBPB PC0，PB (PAPC)0，PB CA0，PBCA. 同理， PABC，PCAB，点 P 是 ABC 的垂心(2)如图，以A 为坐标原点， AB 所在的直线为x 轴， AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载 AE(1,2)， BD(2,2)，AE BD1(2)222. 【答案】(1)C(2)2 考向二081向量在物理中的应用(1)一质点受到平面上的三个力F1、

20、F2、F3(单位：牛顿 )的作用而处于平衡状态已知F1、F2成 60 角，且 F1、 F2的大小分别为2 和 4，则 F3的大小为 () A2 7B25C2D6 图 441 (2)如图 4 41 所示，已知力F 与水平方向的夹角为30 (斜向上 )，F 的大小为50 N，F 拉着一个重80 N 的木块在摩擦因数 0.02 的水平平面上运动了20 m，问 F、摩擦力f 所做的功分别为多少？【思路点拨】(1)利用 F1F2F3 0，结合向量模的求法求解(2)力在位移上所做的功，是向量数量积的物理含义，要先求出力F，f 和位移的夹角【尝试解答】(1)如图所示，由已知得F1F2F3 0，F3 (F1F

21、2)F23F21F22 2F1 F2F21F222|F1|F2|cos 60 28.|F3|27.【答案】A (2)设木块的位移为s，则 F s|F| |s|cos 305020325003 J，F 在竖直方向上的分力大小为|F|sin 30501225(N) ，所以摩擦力f 的大小为 |f|(8025)0.021.1(N) ，所以 f s|f| |s|cos 1801.120(1) 22 J. F， f 所做的功分别是5003 J， 22 J规律方法21.物理学中的 “功”可看作是向量的数量积的原型. 2.应善于将平面向量知识与物理有关知识进行类比.例如，向量加法的平行四边形法则可与物理中力

22、的合成进行类比，平面向量基本定理可与物理中力的分解进行类比. 3.用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为物理问题.考向三082向量在三角函数中的应用(2013 辽宁高考 )设向量 a(3sin x，sin x)，b(cos x， sin x)，x 0，2. (1)若|a|b|，求 x 的值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载(2)设函数 f(x)a b，求 f(x)的最大值【思路点拨】分别表示两向量的模，

23、利用相等求解x 的值；利用数量积运算及辅助角公式化为一个角的一种函数求解【尝试解答】(1)由 |a|2(3sin x)2sin2x 4sin2x， |b|2cos2x sin2x1，及|a|b|，得 4sin2x1.又 x 0，2，从而 sin x12，所以 x6. (2)f(x)a b3sin x cos xsin2x32sin 2x12cos 2x12sin 2x612，当 x3 0，2时， sin 2x6取最大值 1.所以 f(x)的最大值为32. 规律方法3平面向量与三角函数结合的题目的解题思路通常是将向量的数量积与模经过坐标运算后转化为三角问题，然后利用三角函数基本公式求解. 对点训

24、练已知 O 为坐标原点，向量OA(sin ，1)，OB(cos ，0)，OC(sin ，2)，点 P 满足ABBP. (1)记函数 f( )PB CA，求函数f( )的最小正周期；(2)若 O、P、C 三点共线，求|OAOB|的值【解】(1)AB(cos sin ， 1)，设 OP(x，y)，则 BP (x cos ，y)，由AB BP得 x2cos sin ，y 1，故 OP(2cos sin ， 1)PB(sin cos ，1)，CA(2sin ， 1)， f( ) (sin cos ， 1) (2sin ，1)2sin2 2sin cos 1 (sin 2 cos 2 )2sin 2 4

25、， f( )的最小正周期T.(2)由 O、P、C 三点共线可得(1)(sin )2(2cos sin )，得 tan 43，sin 2 2sin cos sin2 cos22tan 1tan22425， |OAOB|sin cos 2 12sin 2 745. 规范解答之七平面向量与三角函数的交汇问题求平面向量与三角函数的交汇问题的一般步骤：第一步： 将向量间的关系式化成三角函数式；第二步： 化简三角函数式；第三步： 求三角函数式的值或求角或分析三角函数式的性质；第四步： 明确表述结论(12 分)(2013 江苏高考 )已知 a(cos ，sin )， b(cos ，sin )，0 .(1)若

26、|ab|2，求证： ab；(2)设 c(0,1)，若 ab c，求 ，的值【规范解答】(1)证明由题意得 |ab|2 2，即 (a b)2a22a bb2 2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载又因为 a2b2|a|2|b|21，所以 22a b2，即 a b0，故 ab.5 分(2)因为 a b(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以cos cos 0，sin sin 1，7 分由此得， cos cos( )，由 0 ，得 0 .9 分又 0 ，故 .代入 sin sin 1，

27、得 sin sin 12，11 分而 ，所以 56， 6.12 分【名师寄语】1 熟练掌握平面向量的线性运算及数量积的运算是求解此类问题的前提. 2 解决平面向量与三角函数的交汇问题，要利用平面向量的定义和运算法则准确转化为三角函数式.在此基础上运用三角函数的知识求解. (2014 烟台模拟 )已知向量a (cos ， sin )，b(cos ，sin )， |a b|2 55. (1)求 cos( )的值；(2)若 0 2，2 0，且 sin 512.求 sin . 【解】(1)|ab|255，|ab|245，a22abb245， 22(cos cos sin sin )45，2 2cos(

28、 )45，即 cos( )35. (2)sin sin( )sin( )cos cos( )sin ，又 0 2，2 0，则 0 ，sin( )45，cos 1213，sin 451213355133365. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载第四节平面向量应用举例一、向量在平面几何中的应用1平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题2用向量解决常见平面几何问题的技巧问题类型所用知识公式表示线平行、 点共线、 相似等问题

29、共线向量定理ab? ab? x1y2x2y10(b 0) 其中 a(x1， y1)，b (x2，y2) 垂直问题数量积的运算性质ab? a b0? x1x2y1y20 a (x1，y1)，b(x2， y2)，其中 a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos a b|a|b|(为向量 a，b 的夹角 ) 二、向量在物理中的应用1向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用2向量在速度的分解与合成中的应用3向量的数量积在合力做功问题中的应用：Wf s. 1已知三个力f1，f2， f3作用于物体同一点，使物体处于平衡状态，若f1(2,2)，f2(2,3)，则 |f3|为() A2.5B42C22D5 【

30、解析】由题意知f1f2f30，f3 (f1f2) (0， 5)，|f3|5.【答案】D 2已知 O 是 ABC 所在平面上一点，若OA OBOB OCOC OA，则 O 是 ABC 的() A内心B重心C外心D垂心【解析】OA OBOB OC? OB (OAOC) 0，OB CA0? OBAC. 同理： OABC，OCAB，O 是 ABC 的垂心【答案】D 3若 AB BCAB20，则 ABC 为() A钝角三角形B锐角三角形C等腰直角三角形D直角三角形【解析】AB BC AB20 可化为 AB (BC AB) 0，即AB AC0，所以 ABAC.所以ABC 为直角三角形 【答案】D 4已知两

31、个力F1、F2的夹角为90 ，它们的合力F 的大小为10 N，合力与 F1的夹角为60 ，那么F1的大小为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载【解析】如图所示 |F1| |F|cos 6010125(N) 【答案】5 N 5(2012 湖南高考 )在 ABC 中， AB2，AC 3，AB BC1，则 BC() A.3 B.7 C2 2 D.23 【解析】 AB BC1，且 AB2，1|AB|BC|cos(B)，|BC|cos B12. 在 ABC 中， |AC|2|AB|2|BC|22|AB

32、|BC|cos B，即 94|BC|222 12. |BC|3. 【答案】A 6(2013 福建高考 )在四边形ABCD 中， AC(1,2)，BD(4,2)，则该四边形的面积为() A.5 B2 5 C5 D10 【解析】 AC BD (1,2)(4,2) 4 40， ACBD，S四边形ABCD12|AC| |BD|1252 55.【答案】C考向一080向量在平面几何中的应用(1)(2014 长沙模拟 )在 ABC 中，已知向量 AB与AC满足AB|AB|AC|AC| BC0，且AB|AB|AC|AC|12，则 ABC 为 () A等边三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D三边均不相等的三角

33、形(2)(2014济南模拟 )设 a， b， c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且 a 与 b 不共线，ac，|a|c|，则 |bc|的值一定等于 () A以 a，b 为邻边的平行四边形的面积B以 b，c 为两边的三角形面积C以 a，b 为两边的三角形面积D以 b，c 为邻边的平行四边形的面积(3)已知 ABC 的三边长AC3，BC4，AB5，P 为 AB 边上任意一点，则CP (BABC)的最大值为_【尝试解答】(1)因为AB|AB|AC|AC| BC 0，所以BAC 的平分线垂直于BC，所以 ABAC. 又AB|AB|AC|AC|12，所以 cos BAC12，即BAC3，所

34、以ABC 为等边三角形(2)依题意可得 |b c|b|c|cosb，c |b|c|sina， b S平行四边形 |bc|的值一定等于以b， c 为邻边的平行四边形的面积(3) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载法一(坐标法 )以 C 为原点，建立平面直角坐标系如图，设P 点坐标为 (x，y)且 0y3,0 x4，则CP (BA BC) CP CA(x，y) (0,3)3y，当 y3 时，取得最大值9. 法二(基向量法 ) CPCAAP，BABC CA， CP (BABC)(CAAP) CA C

35、A2 AP CA9AP AC9|AP| |AC| cos BAC93|AP| cos BAC， cos BAC 为正且为定值， 当|AP|最小即 |AP|0 时，CP (BABC)取得最大值9.答(1)A(2)D(3)9 规律方法11.向量在平面几何中的三大应用：一是借助运算判断图形的形状，二是借助模、数量积等分析几何图形的面积；三是借助向量探寻函数的最值表达式，进而求最值. 2.平面几何问题的向量解法1 坐标法 ,把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. 2 基向量法 ,适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用

36、向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解 . 对点训练(1)已知点 O，N，P 在 ABC 所在平面内， 且|OA|OB|OC|，NANBNC0，PA PBPB PCPC PA，则点 O，N，P 依次是 ABC 的() A重心、外心、垂心B重心、外心、内心C外心、重心、垂心D外心、重心、内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心) (2)(2013课标全国卷 )已知正方形ABCD 的边长为2， E为 CD 的中点，则 AE BD_. 【解析】(1) |OA| |OB| |OC|，即点 O 到 A，B，C 三点的距离相等，点O 为 ABC 的外心如图，设D 为 BC 边的中心，则

37、NB NC2ND， NANBNC0，NA2ND0，NA2DN，A，D，N 三点共线，点 N 在 BC 边的中线上同理，点N 也在 AB，AC 边的中线上，点N 是 ABC 的重心 PA PBPB PC，PA PBPB PC0，PB (PAPC)0，PB CA0，PBCA. 同理， PABC，PCAB，点 P 是 ABC 的垂心(2)如图，以A 为坐标原点， AB 所在的直线为x 轴， AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共

38、 15 页优秀学习资料欢迎下载 AE(1,2)， BD(2,2)，AE BD1(2)222. 【答案】(1)C(2)2 考向二081向量在物理中的应用(1)一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿 )的作用而处于平衡状态已知F1、F2成 60 角，且 F1、 F2的大小分别为2 和 4，则 F3的大小为 () A2 7B25C2D6 图 441 (2)如图 4 41 所示，已知力F 与水平方向的夹角为30 (斜向上 )，F 的大小为50 N，F 拉着一个重80 N 的木块在摩擦因数 0.02 的水平平面上运动了20 m，问 F、摩擦力f 所做的功分别为多少？【思路点拨】(1)利用

39、F1F2F3 0，结合向量模的求法求解(2)力在位移上所做的功，是向量数量积的物理含义，要先求出力F，f 和位移的夹角【尝试解答】(1)如图所示，由已知得F1F2F3 0，F3 (F1F2)F23F21F22 2F1 F2F21F222|F1|F2|cos 60 28.|F3|27.【答案】A (2)设木块的位移为s，则 F s|F| |s|cos 305020325003 J，F 在竖直方向上的分力大小为|F|sin 30501225(N) ，所以摩擦力f 的大小为 |f|(8025)0.021.1(N) ，所以 f s|f| |s|cos 1801.120(1) 22 J. F， f 所做

40、的功分别是5003 J， 22 J规律方法21.物理学中的 “功”可看作是向量的数量积的原型. 2.应善于将平面向量知识与物理有关知识进行类比.例如，向量加法的平行四边形法则可与物理中力的合成进行类比，平面向量基本定理可与物理中力的分解进行类比. 3.用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为物理问题.考向三082向量在三角函数中的应用(2013 辽宁高考 )设向量 a(3sin x，sin x)，b(cos x， sin x)，x 0，2. (1)若|a|b|，求 x 的值；精选学习资料 - - - -

41、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载(2)设函数 f(x)a b，求 f(x)的最大值【思路点拨】分别表示两向量的模，利用相等求解x 的值；利用数量积运算及辅助角公式化为一个角的一种函数求解【尝试解答】(1)由 |a|2(3sin x)2sin2x 4sin2x， |b|2cos2x sin2x1，及|a|b|，得 4sin2x1.又 x 0，2，从而 sin x12，所以 x6. (2)f(x)a b3sin x cos xsin2x32sin 2x12cos 2x12sin 2x612，当 x3 0，2时， sin 2x

42、6取最大值 1.所以 f(x)的最大值为32. 规律方法3平面向量与三角函数结合的题目的解题思路通常是将向量的数量积与模经过坐标运算后转化为三角问题，然后利用三角函数基本公式求解. 对点训练已知 O 为坐标原点，向量OA(sin ，1)，OB(cos ，0)，OC(sin ，2)，点 P 满足ABBP. (1)记函数 f( )PB CA，求函数f( )的最小正周期；(2)若 O、P、C 三点共线，求|OAOB|的值【解】(1)AB(cos sin ， 1)，设 OP(x，y)，则 BP (x cos ，y)，由AB BP得 x2cos sin ，y 1，故 OP(2cos sin ， 1)PB

43、(sin cos ，1)，CA(2sin ， 1)， f( ) (sin cos ， 1) (2sin ，1)2sin2 2sin cos 1 (sin 2 cos 2 )2sin 2 4， f( )的最小正周期T.(2)由 O、P、C 三点共线可得(1)(sin )2(2cos sin )，得 tan 43，sin 2 2sin cos sin2 cos22tan 1tan22425， |OAOB|sin cos 2 12sin 2 745. 规范解答之七平面向量与三角函数的交汇问题求平面向量与三角函数的交汇问题的一般步骤：第一步： 将向量间的关系式化成三角函数式；第二步： 化简三角函数式；

44、第三步： 求三角函数式的值或求角或分析三角函数式的性质；第四步： 明确表述结论(12 分)(2013 江苏高考 )已知 a(cos ，sin )， b(cos ，sin )，0 .(1)若|ab|2，求证： ab；(2)设 c(0,1)，若 ab c，求 ，的值【规范解答】(1)证明由题意得 |ab|2 2，即 (a b)2a22a bb2 2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载又因为 a2b2|a|2|b|21，所以 22a b2，即 a b0，故 ab.5 分(2)因为 a b(cos

45、cos ，sin sin )(0,1)，所以cos cos 0，sin sin 1，7 分由此得， cos cos( )，由 0 ，得 0 .9 分又 0 ，故 .代入 sin sin 1，得 sin sin 12，11 分而 ，所以 56， 6.12 分【名师寄语】1 熟练掌握平面向量的线性运算及数量积的运算是求解此类问题的前提. 2 解决平面向量与三角函数的交汇问题，要利用平面向量的定义和运算法则准确转化为三角函数式.在此基础上运用三角函数的知识求解. (2014 烟台模拟 )已知向量a (cos ， sin )，b(cos ，sin )， |a b|2 55. (1)求 cos( )的值；(2)若 0 2，2 0，且 sin 512.求 sin . 【解】(1)|ab|255，|ab|245，a22abb245， 22(cos cos sin sin )45，2 2cos( )45，即 cos( )35. (2)sin sin( )sin( )cos cos( )sin ，又 0 2，2 0，则 0 ，sin( )45，cos 1213，sin 451213355133365. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页