高中数学论文集：浅谈数形结合思想在高中数学中的几点应用.doc

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1、浅谈数形结合思想在高中数学中的几点应用 在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，这就是数形结合的思想在高中数学中，数形结合是一条重要的数学原则，主要体现在平面解析几何和立体几何中，在处理边角关系的问题中也有较多的应用在解决集合问题、方程及不等式问题中，如果能注意数形结合的思想的应用，能使许多数学问题简单化下面举一些例子作详细说明： 一、数形结合思想在解决集合问题中的应用 1、利用韦恩图法解决集合之间的关系问题一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题如

2、： 例1、有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？C（化）A（数）B（理）分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如右图），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数用n表示集合的元素，则有： 即：，即同时参加数理化小组的有1人 例2、设，已知 IAB3,5,72AB1,94,6,8求 分析：如图，用长方形表示全集I，用圆分别表示集合A和B，用n表示集合的元素，则有：从韦恩图我们可以直观地看出： 2、利用数轴解决集合的有关运算

3、和集合的关系问题 例3、设。4。 求 分析:分别先确定集合A，B的元素，然后把它们分别在数轴上表示出来，从数轴上的重合和覆盖情况可直接写出答案： (公共部分) (整个数轴都被覆盖) (除去重合部分剩下的区域) (除去覆盖部分剩下的区域) 例4、已知集合 若，求的范围.若，求的范围。aa。3 分析：先在数轴上表示出集合A的范围，要使，由包含于的关系可知集合B应该。a3a覆盖集合A，从而有:,这时的值不可能存在要使，这时集合应该覆盖集合B,应有成立可解得为所求的范围302xyy=x2-x-6二、利用数形结合思想解决方程和不等式问题1、 利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集 例5、解不等式 分析

4、：我们可先联想对应的二次函数的图像草图从解得知该抛物线与轴交点横坐标为-2，3，当取交点两侧的值时,即时，即故可得不等式.的解集为：.同理,根据图像，我们还可以直观地看出： 的解集为等等0xyy=-x2+2x-3 例6、求不等式的解集 分析:我们先联想对应的二次函数的图像草图，抛物线开口向下，与轴没有交点，很明显，无论取任何值时都有即,的解集为空集 而的解集为全体实数 因此，我们要求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定抛物线的开口方向和与轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式地解集2、 利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题 例7、为何值时，方程的两根在之内？

5、0xy11 分析：显然,我们可从已知方程联想到相应的二次函数的草图，从图像上我们可以看出，要使抛物线与轴的两个交点在之间,必须满足条件:即从而可解得的取值范围为0xy例8、如果方程的两个实根在方程的两实根之间，试求与应满足的关系式分析：我们可联想对应的二次函数, 的草图 这两个函数图像都是开口向上，形状相同且有公共对称轴的抛物线(如图)要使方程的两实根在方程的两实根之间，则对应的函数图像与轴的交点应在函数图像与轴的交点之内，它等价于抛物线的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线的顶点纵坐标由配方方法可知与的顶点分别为：故可求出与应满足的关系式为:200.4xyy=3x21y=2-x3、 利用函数图像解

6、决方程的近似解或解的个数问题例9、解方程分析:由方程两边的表达式我们可以联想起函数,作出这两个函数的图像,这两个函数图像交点的横坐标10x11为方程的近似解，可以看出方程的近似解为y例10、设方程，试讨论取不同范围的值时其不同解的个数的情况分析：我们可把这个问题转化为确定函数与图像交点1个数的情况，因函数表示平行于轴的所有直线，从图像可以直观看出:当时， 与没有交点，这时原方程无解;当时， 与有两个交点,原方程有两个不同的解;当时， 与有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个；当时， 与有三个交点，原方程不同解的个数有三个；当时与有两个交点，原方程不同解的个数有三个4、 利用三角函数的图像解不

7、等式 例11、解不等式 分析:原不等式进行适当的变形后可得到： 又,不等式两边同时除以可得： x1y=10y1下面关键分析如何求的解集我们可以联想正切函数的图像,在区间内作出的函数图像，再作出两平行于轴的直线和与的图像相交于点 两点对应的横坐标分别为又因为正切函数的周期为,故可求得所求不等式的解集为:.0xy1例12、解不等式分析:从不等式的两边表达式我们可以看成两个函数.在上作出它们的图像,得到四个不同的交点,横坐标分别为:,而当在区间内时,的图像都在的图像上方所以可得到原不等式的解集为：三、利用函数图像比较函数值的大小 一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性

8、进行比较如：0y1110.3x 例13、试判断三个数间的大小顺序 分析：这三个数我们可以看成三个函数在时，所对应的函数值在同一坐标系内作出这三个函数的图像(如图)，从图像可以直观地看出当时，所对应的三个点的位置，从而可得出结论： 四、利用单位圆中的有线段解决三角不等式问题在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线，余弦线，正切线，并利用三角函数线可作出对应三角函数的图像如果能利用单位圆中的有向线段表示三角函数线，应用它解决三角不等式问题,简便易行0xyP例14、解不等式分析：因为正弦线在单位圆中是用方向平行于轴的有向线段来表示我们先在轴上取一点P，使，恰好表示角的正弦线,过点P作轴的平行线交单位圆于点,在内，分别对应于角，(这时所对应的正弦值恰好为)而要求的解集，只需将弦向上平移，使重合(也即点P向上平移至与单位圆交点处)这样所扫过的范围即为所求的角原不等式的解集为： 例15、解不等式0xPy 分析：根据余弦线在单位圆中是方向平行于轴的有向线段先在轴上取点P，使，恰好表示角的余弦线，过点P作轴的平行线交单位圆于点，在内，分别对应于角， (这时所对应的余弦值恰好为)而要求的解集，只需将弦向右平移，使重合(也即点P向右平移至与单位圆交点处)这样所扫过的范围即为所求的角原不等式的解集为：