不等式中恒成立问题总结.docx

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1、精品名师归纳总结不等式中恒成立问题在不等式的综合题中,常常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范畴内全部值都成立的恒成立问题。恒成立问题的基本类型：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 1：设f xax 2bxc a0 ,（ 1）f x0在xR上恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0且0 。（ 2）f x0在xR 上恒成立a0且0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 2：设f xax 2bxc a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

2、归纳总结（1） 当 a0 时,f x0在x, 上恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b2 a或bb2a或2a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 00f 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0在x, 上恒成立f 0f 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 当 a0 时,f x0在x, 上恒成立f 0f 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0在x, 上恒成立b2 a或bb2a或2 a可编辑资料 - - - 欢

3、迎下载精品名师归纳总结f 00f 0类型 3：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x对一切xI恒成立f xmin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x对一切 xI恒成立f x max。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 4：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x xI g x对一切 xI恒成立f x的图象在 g x的图象的上方或f x ming x max可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结恒成立问题的解题的基本思路是：依据已知条件将恒成立问题向基本类型转化,正确选用函

4、数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。一、用一次函数的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于一次函数f xkxf mb, x m, n 有：0f m0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0恒成立f n, f x00恒成立f n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一 利用一元二次函数的判别式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于一元二次函数f xax 2bxc0a0, xR 有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）f x0在xR上恒成立a0且0 。可编辑资料 - -

5、 - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）f x0在xR上恒成立a0且0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1：如不等式 m1x 2m1x20 的解集是 R,求 m 的范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2. 已知函数 ylg x 2a1xa 2 的定义域为 R,求实数 a 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二 最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有：可编辑资料

6、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1） f xa 恒成立af xmin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2） f xa 恒成立af x max可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 已知f x7 x228 xa, g x2x34 x240 x ,当 x3,3 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xg x 恒成立,求实数a的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4 函数f xx

7、 22 x xa , x1, ,如对任意 x1, , f x0 恒成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求实数 a的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：此题仍可将f x变形为f xxa x2 ,争论其单调性从而求出f x最小值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、 分别变量法如所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分别于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范畴。这种方法本质也仍是求最值,但它思路更清楚,操作性更强。一般的有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1） f xg a a为参数）恒成立g af

8、x max可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2） f xg a a为参数）恒成立g af x max可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结实际上,上题就可利用此法解决。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结略解： x 22 xa0 在 x1, 时恒成立,只要 ax 22 x 在 x1, 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结恒成立。而易求得二次函数h xx22 x 在1, 上的最大值为3 ,所以 a3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例

9、 5 已知函数围。f xax4xx2 , x 0,4 时f x0 恒成立,求实数a的取值范可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：分别参数后,方向明确,思路清楚能使问题顺当得到解决。四 如二次不等式中 x 的取值范畴有限制,就可利用根的分布解决问题。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6 设f xx 22mx2 ,当 x1, 时,f xm 恒成立,求实数 m的取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值范畴。五、 变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时,如能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”摸索,往往会使问题降次、简化。可编辑资料 - - - 欢迎下

10、载精品名师归纳总结例 7 对任意 a1,1 ,不等式 x2a4 x42 a0 恒成立,求 x 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：一般的,一次函数f xkxbk0 在, 上恒有f x0 的充要条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 0件为。f 0六、 数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观,形缺数时难入微”,这充分说明白数形结合思想的妙处,在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道,函数图象和不等式有着亲密的联系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1） fxgx函数 f x 图

11、象恒在函数g x 图象上方。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2） fxgx函数 f x 图象恒在函数g x 图象下上方。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y精品资料-2-4-4O x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8 设a 的取值范畴 .f xx 24x, g x4 x13a ,如恒有f xg x 成立,求实数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由上可见,含参不等式恒成立问题因其掩盖学问点多,方法也多种多样,但其核 心思想仍是等价转化,抓住了这点,才能以“不变应万变”,当然这需要我们不断的去领会、体会和总结。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Welcome ToDownload .欢迎您的下载,资料仅供参考！可编辑资料 - - - 欢迎下载