2019届高考数学二轮复习大题分层练五解析几何函数与导数A组文.doc

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1、大题分层练(五)解析几何、函数与导数(A组)1.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点是原点,以x轴为对称轴,且经过点P(1,2).(1)求抛物线C的方程.(2)设点A,B在抛物线C上,直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,|PM|=|PN|.求直线AB的斜率.【解析】(1)依题意,设抛物线C的方程为y2=ax(a0).由抛物线C经过点P(1,2),得a=4,所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)由题意作出图象如图所示.因为|PM|=|PN|,所以PMN=PNM,所以1=2,所以直线PA与PB的倾斜角互补,所以kPA+kPB=0.依题意,直线AP的斜率存在且不为零,设直线AP的方程为y-2=

2、k(x-1)(k0),将其代入抛物线C的方程,整理得k2x2-2(k2-2k+2)x+k2-4k+4=0.设A(x1,y1),则1x1=k2-4k+4k2,y1=k(x1-1)+2=4k-2,所以A.以-k替换点A坐标中的k,得B(k+2)2k2,-4k-2.所以kAB=-1.即直线AB的斜率为-1.2.已知函数f(x)=ex-2(a-1)x-b,其中e为自然对数的底数.(1)若函数f(x)在区间0,1上是单调函数,试求实数a的取值范围.(2)已知函数g(x)=ex-(a-1)x2-bx-1,且g(1)=0,若函数g(x)在区间0,1上恰有3个零点,求实数a的取值范围.【解析】(1)根据题意,

3、函数f(x)=ex-2(a-1)x-b,其导数为f(x)=ex-2(a-1),当函数f(x)在区间0,1上单调递增时,f(x)=ex-2(a-1)0在区间0,1上恒成立,所以2(a-1)(ex)min=1(其中x0,1),解得a;当函数f(x)在区间0,1单调递减时,f(x)=ex-2(a-1)0在区间0,1上恒成立,所以2(a-1)(ex)max=e(其中x0,1),解得ae2+1.综上所述,实数a的取值范围是-,32.(2)函数g(x)=ex-(a-1)x2-bx-1,则g(x)=ex-2(a-1)x-b,分析可得f(x)=g(x).由g(0)=g(1)=0,知g(x)在区间(0,1)内恰

4、有一个零点,设该零点为x0,则g(x)在区间(0,x0)内不单调,所以f(x)在区间(0,x0)内存在零点x1,同理,f(x)在区间(x0,1)内存在零点x2,所以f(x)在区间(0,1)内恰有两个零点.由(1)知,当a时,f(x)在区间0,1上单调递增,故f(x)在区间(0,1)内至多有一个零点,不合题意.当a+1时,f(x)在区间0,1上单调递减,故f(x)在(0,1)内至多有一个零点,不合题意;所以32ae2+1.令f(x)=0,得x=ln(2a-2)(0,1),所以函数f(x)在区间0,ln(2a-2)上单调递减,在区间(ln(2a-2),1上单调递增.记f(x)的两个零点为x1,x2(x10,f(1)=e-2a+2-b0.由g(1)=0,得a+b=e,所以f= +1-(a+b)=+1-e0,f(1)=2-a0,所以e-1a2.综上所述,实数a的取值范围为(e-1,2).