浙江省高考数学试题理分类解析汇编-数列数学归纳法 .docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -浙江省高考数学试题（理）分类解析汇编专题 3：数列、数学归纳法一、挑选题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. （浙江理 5 分） 已知等差数列an的公差为 2,如a1 ,a 3 , a4 成等比数列 , 就 a 2 =【】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 4B 6C 8D 10【答案】 B。【考点】 等差数列。等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【分析】 利用已知条件列出关于a1 的方程，求出a1 ，代入通项公式即可求得a 2 ：可编辑资料 - -

2、- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 aa6 ， aa4 ，且a ， a ， a 成等比数列，a 2aa ，即a24aa6 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4131134314111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 a18 。 a2a126。应选 B。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.（浙江理 5 分） limn123nn21【】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 2B 4C2【答案】 C。D0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【考点】 极限及其运算，等差数列求和公式。

3、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【分析】lim123nn1nlim2lim 1111 。应选 C。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn2nn 2n2n21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.（浙江理 5 分） 已知 an是等比数列，a 22， a 5，就 a1a24a2a3an an1 =【】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 16（ 1【答案】 C。4 n ）B 16（ 12 n ）C 32 （ 134 n ）D32 （ 132 n ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【考点】 等比数列的前n 项和。可编辑资料 -

4、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结【分析】 由 a51=a2q3 =2q31q=，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列a a仍是等比数列：其首项是a a =8 ，公比为1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 11 24n

5、8 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结432n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a1a2a2a3an an 1=114=143。应选 C。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4.（浙江 201X 年理 5 分） 设 Sn 为等比数列an的前 n 项和，8a2a50 ，就 S5【】S2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ A） 11（ B） 5（ C）8（ D）11【答案】 D。【考点】 等比数列的通项公式与前n 项和公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【分析】 an是，8a2a50 ，设公比为q ，得8a2a q 3

6、0 ，解得 q =2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结255S51q1222S21q1211 。应选 D。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、填空题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. （浙江理 4 分） 设 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，如 S510, S105 ，就公差为（用数字作答）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 1。【考点】 等差数列的性质，数列的求和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【分析】 设首项为a1 ，公差为 d ，代入S5 和S1

7、0 ，从而求解求得a1 和 d ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S10 , S5 ，5a110d =10a2d =219d4d =14d =1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结51010a145d =52a19d =1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.（浙江理 4 分） 设等比数列 an 的公比 q1 ，前 n 项和为2S4Sn ，就a4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结41【答案】 15。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

8、归纳总结【考点】 等比数列的性质。【分析】 通过等比数列的求和公式，表示出S4 ，由aa q3 ，把a4 和 q 代入S4约分化简可得到答案：a4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4对于sa1 1q4 ， aa q3 ， s41q415 。可编辑

9、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4411qaq3 1q1 n1 n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.（ 浙江 201X 年理 4 分）设 n2, nN ,2 x3x23a0a1xa2 xan x，将ak 0kn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的最小值记为T ，就 T0, T11 ,T0,T11 ,T ,其中 T =.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n232333452535nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】0，n为偶数。11 ，n为奇数2n3n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【考点】 归纳

10、推理。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【分析】 利用归纳和类比进行简洁的推理，据Tn 的定义，列出Tn 的前几项：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T0,T11 ,T0,T11 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结232 333452535可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此规律，我们可以推断：0， n为偶数Tn =11 ，n为奇数 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n3n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4.（浙江 201X 年理 4 分） 设a1 ,

11、d 为实数，首项为a1 ，公差为 d 的等差数列an的前 n 项和为Sn ，满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S5S6150 ，就 d 的取值范畴是.【答案】,2222,。【考点】 等差数列的性质，等差数列的前n 项和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【分析】 S S150 ，5a10d6a15d150 ，即2a 29a d10d 210 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结561111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 16a 272a d81d 2d 280 。 d 284a29d0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

12、结111 d 28就 d 的取值范畴是,2222,。三、解答题1.（全国理 12 分） 某城市末汽车保有量为30 万辆，估计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年 新增汽车数量相同为爱护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多 少辆？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎

13、下载精品名师归纳总结【答案】 解：设 末汽车保有量为b1 万辆， 以后各年末汽车保有量依次为b2 万辆，b3 万辆， 每年新增汽车x 万辆，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 b130 ， b2b10.94x ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于 n1 ，有 bb0.94xb0.942 10.94 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1n 1nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 bn 1b0.94 nx10.940.9420.94

14、n b0.94 n10.94 nx0.06可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x 0.0630x 0.060.94n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x当 300.060 ，即 x1.8 时，bn 1bnb130。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 30x0.060 ，即 x1.8 时，数列bn逐项增加，可以任意靠近x，即0.06可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim bnnlimnx0.0630x 0.060.94 n 1 x。0.06可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可

15、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如要求汽车保有量不超过60 万辆，即 bn60 （ n1,2,3,），可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就x 0.0660 ，即 x3.6 万辆。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上，每年新增汽车不应超过3.6 万辆。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【考点】 基本不等式在最值问题中的应用，数列的递推式，数列的极限。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【分析】 设 末汽车保有量为b1 万辆，以后各年末汽车保有量依次为b2 万辆，b 3 万辆，每

16、年新增汽车x 万辆，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依题意可知b130 ，依据题意可表示出关于bn 的递推式，利用等比数列的求和公式求得bn 1 ，判定出数列的单可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结调性，然后利用数列的极限求得问题的答案。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.（全国理 14 分） 设数列 an 满意：an 12annan1， n1,2,3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）当 a12 时，求a2 ,a3 , a4 并由此

17、推测an 的一个通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）当 a13 时，证明对所的n1 ，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ i ） ann2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ ii ）11a111a 211a3111 a n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - -

18、 - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 解。（ 1）由 a12 ，得 a2a1a113 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2由 a23，得 a322a22a214 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 a34 ，得 a4a33a315 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此猜想an 的一个通项公式：ann1 （ n1 ） 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

19、名师归纳总结（ 2）（i ）用数学归纳法证明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n1时， a1312 ，不等式成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设当 nk 时不等式成立，即akk2 ，那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ak 1ak akk 1 k2k2k12k5k3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结也就是说，当nk1 时， ak 1k12 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

20、名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结据和，对于全部n1 ，有 ann2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ ii ）由 an 1an ann1 及（ i ），对 k2 ，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1akak1 ak 1k11ak1 k12k112ak 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ak1a2 k 111a k12k 21a121， k2k 112k2 。1 a11可

21、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1k 1 1ak11a11n12k 11a1 k21n12k 11a1 k121a121 。132可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【考点】 数学归纳法，归纳推理。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【分析】（ 1）由列a满意： a2ana1， n1,2,3,及 a2 ，我们易得到a ， a ， a 的值，归可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1nn1234可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结纳数列中每一项的值与序号的关系，我们可以归纳推理出a

22、n 的一个通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）（i ） ann2 的证明可以使用数学归纳法，先证明n1时不等式成立，再假设nk 时不等式成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结立，证出 nk1时，不等式依旧成立，最终得到不等式ann2 恒成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ ii ）的证明用数学

23、归纳法比较复杂，观看到不等式的结构形式，可采纳放缩法进行证明。3.（全国理 12 分附加题4 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ I ）设 an 是集合 2s2t |0st 且s,tZ 中全部的数从小到大排列成的数列，即a13 ， a25 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a36 ， a49 ， a510 ， a612 ，将数列 an 各项依据上小下大，左小右大的原就写成如下的三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数表：35691012写出这个三角形数表的第四行、第五行各数。求 a100可编辑资

24、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ II ）（ 本 小 题 为 附 加 题 ， 如 果 解 答 正 确 ， 加4分 ， 但 全 卷 总 分 不 超 过150分 ） 设 bn 是 集 合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2r2 s2t | 0rst ，且r , s,tZ 中全部的数从小到大排列成的数列，已知bk1160 ，求 k .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】（）解：用 t , s 表示 2t2s ，下表的规律为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

25、师归纳总结3（ 0,1= 2021 ）50,261,290,3101,3122,3（ i ）第四行 170,4181,4202,4243,4第五行330,5341,5362,5403,5484,5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结100（ ii ） 100（ 1+2+3+4+13） +9，a8,14 28214 16640。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（） bk1160210272 3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - -

26、 - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10710773101010令 McB |c1160，其中B2r2s2t | 0rst，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 McB|ccB|2cB| 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222rstCc2c22。现在求 M 的元素个数：可编辑资料 - - -

27、欢迎下载精品名师归纳总结210cB |c222 | 0rst10 ，其元素个数为3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结101010710sr，其元素个数为C 2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cB| 2c22222 | 0rs77可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cB | 21027c2102723210272r | 0r3，其元素个数为C 2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结322 kC 3CC1145 。1073【考点】 数列的应用。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【分析】（ I ）（ i ）用 t , s 表

28、示 2t2s ，先利用前几个数找到其规律，是每一个的横坐标从0 增加到对应的行数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而纵坐标为行数，就可求出第四行、第五行各数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ ii ）由于 100=（ 1+2+3+4+13 ）+9 ，所以可以知道a100 位于第 14 行第 8 列，即可求出a100 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）利用上面的结论可以快速找到bn 的规律，再结合组合数对其求解即可。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4.（浙江理 14 分） 如图， OBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（ 1,

29、0）、（ 0,2） ,设 P 为线段 BC 的中点， P2 为线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结段 CO 的中点， P3 为线段 OP1 的中点，对于每一个正整数n ， Pn3 为线段Pn Pn1 的中点 ,令 Pn 的坐标为 xn , yn ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 1 yyynnn 1n 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求a1 , a2 ,a3 及 an ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）证明yn 41yn ,nN; 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如记 bny4n 4y4n ,nN

30、, 证明bn是等比数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 解： y1y2y41, y31 , y3 ，524可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a1a2a32 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由题意可知yn 3ynyn 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - -

31、欢迎下载精品名师归纳总结1 ayy1y=yyy nyn 1= 1 yyya。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1n 1n 22n 3n 1n 2222nn 1n 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 an为常数列。ana12,nN。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 将等式yn 2yn 1yn 22 两边除以2，得 1 ynn44yn 1yn 21 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 yn 4y n 1yn22 ， y1yn ， nN。4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）bn