初级中学数学化简求值主题材料.doc

\ 初中数学化简求值个性化教案 学生 学 科 数学 年 级 教师 刘岳 授课日期 授课时段 课题 化简求值专题练习 重点难点 注意：此类要求的题目，如果没有化简，直接代入求值一分不得！考点：①分式的加减乘除运算 ②因式分解 ③二次根式的简单计算 教 学 内 容 数学中考化简求值专项练习题 代数式及其化简求值 一、代数式的定义：代数式是用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方…）把数或者表示数的字母连接而成的式子，特别的单独的一个数或者字母也是代数式。如： 1、学习代数式应掌握什么技能？ 掌握代数式的知识，既应会用语言表述代数式的意义，也要会根据语言的意义列出代数式 2、用语言表达代数式的意义一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序． 4、列代数式的实质是理清问题语句的层次，明确运算顺序。 例练：一个数的1/8与这个数的和；m与n的和的平方与m与n的积的和 例练：用代数式表示出来（1）x的3倍 （2）x除以y与z的积的商 例练：代数式3a+b可表示的实际意义是_______________________ 二、代数式的书写格式： 1、数字与数字相乘时，中间的乘号不能用“• ”代替，更不能省略不写。 2、数字与字母相乘时，中间的乘号可以省略不写，并且数字放在字母的前面。 3、两个字母相乘时，中间的乘号可以省略不写，字母无顺序性如： 4、当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。 5、含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。 6、如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面，若代数式是带加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。 如：甲同学买了5本书，乙同学买了a 本书，他们一共买了（5+a ）本 7代数式求值步骤：（1）确定代数式中的字母 （2）确定字母所代表的数 （3）将字母所代表的数带入到字母求解 典型例题代数式求值类型及方法总结 1、直接代入法： 例练：当a=1/2，b=3时求代数式2a2+6b-3ab的值 例练：当x=-3时，求代数式2x2+的值 2、先化简再求值 例练：已知：m=1/5,n=-1,求代数式3(m2n+mn)-2(m2n-mn)-m2n的值 3、整体代入 例练：已知：x+=3,求代数式(x+)2+x+6+的值 例练：已知当x=7时,代数式ax5+bx-8=8,求x=7时,的值. 例练： 若ab=1，求的值 例练：已知的值 4、归一代入 例练：已知a=3b,c=4a求代数式的值 5、利用性质代入 例练：已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，x的绝对值等于1，求代数式a+b+x2-cdx的值 6、取特殊值代入 例练：设a+b+c=0,abc＞0,求++的值是 A -3 B 1 C 3或-1 D-3或-1 解决本类问题的关键在于化简，可能是单方向化简然后求值，即通过整式乘除，因式分解化简成一个最简单的代数式，然后代入字母对应的数字解决问题；也可能是双向化简，即从条件和问题同时入手化简。找到两者对应关系后进行代入求值。代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍． 　　1．利用因式分解方法求值 　　2．利用乘法公式求值 　　3．设参数法与换元法求值 　　4．利用非负数的性质求值 5．利用分式、根式的性质求值 举例分析 1．利用因式分解方法求值 因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用． 分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件． 解 已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以 6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1． 说明 在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答． 例2 已知a，b，c为实数，且满足下式： a2+b2+c2=1，① 求a+b+c的值． 解 将②式因式分解变形如下 即 所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0，则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1， 所以 a+b+c=1．所以a+b+c的值为0，1，-1． 说明 本题也可以用如下方法对②式变形： 即 前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式． 2．利用乘法公式求值 例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值． 解 因为x+y=m，所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3mxy， 所以　 求x2+6xy+y2的值． 分析 将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法． 解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy 3．设参数法与换元法求值 如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法． 分析 本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式． x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k． 所以x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0． 例6：已知求的值 　 　 　 u+v+w=1，① 由②有 把①两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1， 所以u2+v2+w2=1， 即 　 　 　 　 两边平方有 所以 4．利用非负数的性质求值 若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用． 例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，求yx的值． 分析与解 x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解． 因为x2-4x+|3x-y|=-4，所以x2-4x＋4＋|3x-y|=0，即 (x-2)2+|3x-y|=0． 所以 yx=62=36． 例9 未知数x，y满足 (x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0， 其中m，n表示非零已知数，求x，y的值． 分析与解 两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式． 将已知等式变形为m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0， (m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0，即 (mx-y)2+(my-n)2=0． 　 5．利用分式、根式的性质求值 分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明． 例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值： 分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变． 解 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同． 同理 　 　 分析 计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算． 同样(但请注意算术根！) 将①，②代入原式有 　 一般题型 1、先化简，再求值：，其中x＝－2． 2、先化简，再求值：，其中a=﹣1． 3、先化简，再求值：，其中x=． 4、先化简，再求值：，其中． ※5、先化简，再求值，其中x满足x2﹣x﹣1=0． 6、化简： 7、先化简，再求值：，其中a=． 8、先化简，再从﹣1、0、1三个数中，选择一个合适的数作为x的值代入求值． 9、先化简，再求值：（+1），其中x=2． 10、先化简，再求值： – ，其中x = –3 11、先化简下列式子，再从2，﹣2，1，0，﹣1中选择一个合适的数进行计算．． 12、先化简，再求值：(-2),其中x=2. 13、先化简，再求值：，其中． ※14、先化简，然后从不等组的解集中，选取一个你认为符合题意的x的值代入求值． 15、先化简，再求值：，其中． 16、先化简，再求值：，其中． 17、先化简。再求值： ，其中。 18、先化简，再求值：，其中x＝－5． ※19、先化简再计算：，其中x是一元二次方程的正数根. 20、化简，求值： ） ，其中m=． 21、（1）化简：．（2）化简： 22、先化简，再求值：，其中． 23.先化简分式 24、先化简再求值其中a=+1 25、化简，其结果是． 26、先化简，再求值：(－2)，其中x＝－4． 27、先化简，再求值：－，其中x＝2. 28、先化简，再求值：，其中． 29、先化简，再求值：，其中 30、先化简，再求值：，其中 31、（1）化简：．（2）（3） 32．（1）。（2）计算 33、先化简，再求值：，其中． 34、化简：． 35．先化简，再求值：，其中． 36、先化简－，再选一个合适的值求值. 39、当时，求的值． 40、先化简，再把 取一个你最喜欢的数代入求值： 41、先化简，再选择一个你喜欢的数代入求值。(+1) 42、先化简，再求值：，其中． 43、先化简：（）．再从1，2，3中选一个你认为合适的数作为a的值代入求值． 44、先化简，再求值．（x+1）2+x（x﹣2）．其中． 45、（2011•常德）先化简，再求值，（+），其中x=2． 46、先将代数式化简，再从－1，1两数中选取一个适当的数作为x的值代入求值． 47、先化简再求值：，其中x=tan60﹣1． 48、先化简，再求值：，其中x=3. 49.先化简，再求值：，其中 50、先化简分式：（a﹣）•，再从﹣3、﹣3、2、﹣2中选一个你喜欢的数作为a的值代入求值． 51、先化简，再求值：， 其中x所取的值是在﹣2＜x≤3内的一个整数． 52、先化简，再求值:（2x — ）其中，x=+1 53、先化简，再求值：（1﹣），其中a=sin60． 54、先化简，再求代数式的值，其中，x=5 ※55、已知、满足方程组，先将化简，再求值。 56、先化简，后从－2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值. 57、先化简，再求值：，其中x=2，y=﹣1． 58、化简，求值： ）, 其中m=． ※59、先化简，再求代数式的值，其中x=tan600-tan450 60、化简：, 其中 61、计算：． 62、先化简，再求值：，其中． 63、先化简再求值：，其中x＝－6． 64、先化简再求值： ，其中a＝2＋ . ※65、先化简，再求值：，其中a为整数且－3＜a＜2. 66、先化简，再求值：，其中，． 67、先化简，再求值：，其中. ※68、先化简，再求值：，其中（tan45-cos30） 69、化简． ※70、先化简再求值：，其中满足． 71、先化简：，并从0，，2中选一个合适的数作为的值代入求值。 72、先化简，再求值：，其中x=2 73、化简：． ※74、先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解 较难竞赛题型 2．已知x+y=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值． 3．已知a-b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值． 5．设a+b+c=3m，求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值． 　 8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0，求 (x+y)13x10 的值． 9、设，求的值． 10、已知：，求的值． 11、若，且，则． 12、若，则的值为____________． 13、已知，则的值为_____________． 14、已知为正整数，且，则的值是_________；的值是___________． 15、已知，那么． 16、已知，则． 17、若满足，且 ． 18、已知的值为__________________． 教研部建议： 教研部签字： 日期： 年 月 日