“直线与双曲线的位置关系”教学案例.doc

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1、在问题中成长髙中数学“直线与双曲线的位置关系”教学案例一、教学设计背景1、课标内容与要求: “双曲线”是高中数学圆锥曲线与方程中的重要内容.教材安排了两节内容：双曲线及其标准方程和双曲线的几何性质.要求学生了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质，能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题.2、教学进行时: 学生在学习了双曲线及其标准方程和双曲线的几何性质的基础上，作为双曲线方程的应用之一进行本节课的学习.这节课的学习，一方面可以巩固学生知识网络中已构建的对圆，椭圆与直线位置关系的认知，使学生对直线与双曲线的位置关系的认识从定性上升到

2、定量，为下面抛物线的学习以及对四种圆锥曲线辨证统一的理解在认识上和方法上打下基础.另一方面，可以进一步加深用代数方程研究曲线性质的“以数论形，数形结合”的数学思想方法，对解析几何教学思想的认识有着重大的影响.二、教学设计思路1、设计重点: 直线与双曲线的几种位置关系的认识，利用方程讨论直线与双曲线的位置关系的基本方法.2、难点突破:对直线与双曲线位置关系的认识上的“数形统一”，对渐近线的“无限趋近”意义的认识，用运动的观点，数形对应转化的思想理解及解决相关问题.3、教学方法：采用问题教学法，以问题思考为向导，以问题解决为目标，灵活创设情景，引导学生主体参与，自主探索，逐步深入，主动“创造”知识

3、，动态生成概念，有效提升能力三、教学目标1、知识与技能掌握直线与双曲线的几种位置关系；能利用方程讨论直线与双曲线的位置关系；能解决与直线有关的双曲线的一些综合问题.2、过程与方法使学生进一步熟练用代数方法（坐标，方程）讨论图形性质的能力；培养学生运用对应转化，数形结合，运动变化等观点和数学思想方法获取数学知识，分析问题和解决问题的实践能力.通过与圆，椭圆知识的类比联系，提高知识间纵横迁移的视角转换能力.3、情感、态度与价值观通过学生主体参与，培养自主学习的内在发展能力，体验获取数学知识的成功感；通过观察，联想，猜测，归纳等合情推理，激发学生勇于探索敢于创新的精神；通过知识的纵横迁移感受数学的系

4、统特征，辨证特征；通过师生，生生的交互讨论，共同探索，培养合作学习，提高数学交流表达能力.四、教学过程实录（一）创设情境，引入课题1、导言：前面我们学习了双曲线的定义，标准方程和几何性质，今天我们要继续研究双曲线，研究“直线与双曲线的位置关系”.2、提出问题：问题1 ：直线与双曲线有那些不同的位置关系？根据什么特征加以区分？生：有三种位置关系：相交，相切，相离.可以根据它们公共点的个数来区分.问题2：直线与双曲线的公共点个数可能有几个？各对应什么位置关系？ 学生由观察图象得出三种位置关系，但对相交时公共点的个数不少同学认为最多有4个，也有可能是3个，2个；对有1个公共点，普遍认为是相切.【设计

5、意图】问题出在学生思维水平的最近发展区，打破已有的认知平衡，引发认知冲突，激发起学生构建认知结构的主动性和迫切性以问题1作为教学活动的开端，使学生初步了解这节课的教学任务，无论是操作层面或思维层面上，作好迎接挑战的准备.问题2让学生面临一个似曾相识，已有一些感性认识，但理性认识欠缺的问题，而由观察产生的偏差所引发的不同认识，更容易激发起学生的好奇心，好胜心和进一步探索的兴趣，形成一个欲罢不能的追求目标.针对这种情形，教师没有给出确定答案，而是以类化式问题引导学生回忆前面学过的知识及研究方式，构建数学知识点间的比较，同时使新知识类化到知识网络的恰当位置，重建与改组知识网络.问题3：除了观察公共点

6、的个数，有没有其他判定方法？在研究圆，椭圆与直线的位置关系时，我们是如何进行判定的？生：可以由方程组的解的个数确定，具体可用d法或判别式法.【设计意图】直观的“形”公共点个数与“数”方程组的解的个数的对应，为“依形判数”与“就数论形”的相互转化奠定了基础，使学生初步领略了数形结合这一解析几何的基本思想方法的作用，为下面的进一步研究提供了方法的依据.（二）自主探究，构建新知建构一.尝试体验,探究结论：以操作式问题丰富感性认识，构建具体的可操作的问题，引导学生用方程继续进行问题研究，并借助多媒体演示，调动学生眼、耳、口、手、脑等多种感官参与，使抽象问题具体化和可操作化，充分调动其学习的积极性和主动

7、性.问题1：当时，试讨论直线与双曲线的公共点情况.分析：公共点即方程组的解. （1）当时，直线与双曲线有一个公共点，相交；(2)当时，即时，直线与双曲线有一个公共点，相切；（3）当，即或时，直线与双曲线无公共点，相离.（4）当，即 且时，直线与双曲线有两个公共点，相交.【设计意图】在学生从研究方程得出准确结论后，结合多媒体演示，引导学生再观察各种相应图形情况，分析，归纳，自己去发现结论，并加以表述，完成对该知识的形成.建构二. 归纳提炼，形成方法以目标式问题实现知识结构的完整和认知结构的整体优化，帮助学生识记、理解、运用、分析数学问题，及时反馈教与学的效果，调控教与学的进程，进行教学目标的有效

8、构建，以达到掌握新知识的目的.问题2：哪位同学给我们归纳一下直线与双曲线的位置情况？生：相交：有一个公共点（直线与渐近线平行）或两个公共点（）；相切：（）；相离：（问题3：双曲线 与直线， 各是什么位置关系？各有几个公共点？问题4：过平面上一点作双曲线的切线，最多有几条？为什么？由什么因素决定？生：最多有两条，可能有一条或无，由点的位置决定.教师多媒体演示各种情况.【设计意图】提出问题是思维活动的出发点，从意识到问题的存在并提出相关的问题，教师作为学习活动有力的合作者与促进者，要根据学生探究能力不同，设计开放程度不同的探究问题，引导鼓励学生运用观察，类比，归纳，猜想等方式围绕整个问题情境作深入

9、而宽广的扫描，尽量扩大学生的感知范围.而计算机提供对数学活动过程的直观演示，使学生体验到用运动的观点来研究图形的思想，为下面学习提供启示.让图形说话，可以充分调动学生的直觉思维，极大地激发学生学习的兴趣，并能使学生更深刻地理解几何.（三）应用拓展，激活思维拓展1、以多变式问题活跃学生思维，构建一题多变，一题多问，一题多用，一题多解的数学问题，培养学生思维的变通性，实现知识的有效迁移和开拓应用.问题5：过双曲线的右焦点作倾斜角为的弦，求弦的长及中点到右焦点的距离.师生分析探究：（1）在圆与椭圆的学习中，我们是任何计算弦长的？这些方法适用于双曲线吗？（用弦长公式）（2）本题中的弦并非一般弦，而是焦

10、点弦，有其他方法求弦长吗？（利用焦半径公式）（3）哪一种方法比较合理？(4)椭圆是否也可用焦半径公式计算焦点弦长？具体操作时有什么不同？（双曲线要根据弦的两端点在一支还是两支上分别处理，椭圆则不需要分情况考虑）拓展2、以提升式问题提高认知水平，注重对学生逻辑思维的训练及非逻辑思维的强化，构建速度与难度式的数学问题，鼓励学生运用直觉思维，以量的模糊换取质的生动，实现对问题解决的直觉领悟，培养敏锐的洞察力.问题6：已知双曲线，试问过点（1，1），能否作一直线与双曲线交于两点，且使为的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在，则说明理由.【设计意图】学生不难求出方程，但实际上这样的直线与双

11、曲线不相交.此例可以训练思维的逻辑性、严密性和对开放式问题的思考角度.3、巩固练习：（1）过双曲线的左焦点作直线，交双曲线于两点，若，这样的直线共有 _ 条 （2）已知双曲线的左焦点为，点为双曲线在第三象限内的任意一点，则直线的斜率的取值范围是 _（3）过右焦点的直线与双曲线的右支相交于两点，则直线的斜率的取值范围是_【设计意图】在学生初步达到本课时知识目标后，设置新疑点，使此问题向彼问题迁移，以应用知识解决新的数学问题.以上这些问题若采用常规方法通过设斜率解方程去解决运算量相当大，而结合图象与双曲线性质能比较迅速获解.使学生能更深刻地体会“数形结合”的思想方法，提高运用数学思想解决实际问题的

12、意识.（四）总结提炼，感悟深化1、请学生归纳本节课的学习内容和思想方法，师生讨论补充；2、作业：作业本.五、教学思考和感悟1、课堂实施（1）学生之“学”：在本节课学习之前，学生已经学习了“圆和椭圆”这两种圆锥曲线，从定义，标准方程，几何性质，直线与其位置关系，方程的应用，这几个方面进行知识的构建，所以对研究的程序、内容、方法以及相关结论都有所积累，具有相当清晰的知识背景，这是目前的认知状态和能力状态.在继续学习了双曲线的定义，标准方程，几何性质之后，进一步研究双曲线与直线的位置关系自然成为学生构建完整知识网络系统的内在需要，当前的认知、情感状态为本节课“以学生为主体，从问题到问题”的教学设计提

13、供了可能性.学生完全有能力在教师引导下自主探索，完成本课的学习，多渠道获取知识，并将学到的知识加以综合应用，解决新问题.（2）教师之“教”：建构主义理论认为，学生对新知识，新方法的接受不是消极，被动的，而是积极地利用现有的知识和方法去吸收内化新知识，新方法，将之内存于自己已有的知识结构中，教师必须抛弃那种单纯传授知识，视学生为“知识容器”的被动的教学模式和思想，把教学过程变成一个学生主动参与探索，互动交流，不断发现问题、解决问题的实践过程，在学会知识的同时，更学会学习.2.教学效果 本节课课堂气氛民主热烈，学生情绪饱满，思维活跃，所有的问题都是在学生共同参与下，通过热烈讨论，相互启发，思考探索

14、解决的，教师处于引导和平等参与的地位.通过本节课的学习，学生不仅掌握了有关知识，而且深刻地领略了平面解析几何的基本思想“以数论形，数形结合”对于解决实际问题的重要意义，提高运用思想方法的自觉性，并进一步发展了思维的严密性和灵活性.3.反思提高以学生为本，是现代课堂教学设计的基本理念.以教师的“教”为本，学生只能处于“观众”席位，丧失了学习过程中的自主性和主动性.以书本知识为本，忽视了师生，生生之间的情感交流，学生只能获得僵化的知识，丧失了学习过程中的情感性和发展性.而以学生的学为本，发展为本设计课堂教学，通过学生积极，主动的思维和创造性的探索活动，实现思维结构的优化和认知系统的建构，使学生的知识获得“生成和生长”，从而使数学课堂成为思维的课堂，学生再创造的课堂，生命活力焕发的课堂.问题是数学的心脏，问题也是思维的出发.数学教学的核心就是培养学生解决数学问题的能力，形成良好的思维品质.所以在本节课的教学设计中，主要采用问题教学法，通过类化式问题、操作式问题、目标式问题、多变式问题、提升式问题等数学问题系统构建，以一系列问题，配合多媒体动态演示，引导学生主体参与，积极思维，主动探索，勇于发现，敢于创新，在优化认知机构的同时，发展学生从特殊到一般的问题类比、方法迁移、归纳推理的思维能力，把学生引向探索学习之路.