初一数学方法和思想主题材料.doc

\ 初中数学思想和解题方法专题 一、学习指引 1．知识要点： 数形结合思想；分类讨论思想；转化化归思想；方程思想 2．方法指引： （1）数形结合法： 数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．每个几何图形中蕴含着一定的数量关系，而数量关系常常又通过图形的直观性作出反映和描述，数与形之间可以相互转化，将问题化难为易，化抽象为具体. 数形结合的思想方法通过借数解形、以形助数，能使某些较复杂的数学问题迎刃而解． （2）分类讨论法：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分讨论应逐级进行． （3）转化化归思想：所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等．（4）方程与函数思想：方程与函数是研究数量关系的重要工具，在处理某些问题时，往往根据已知与未知之间的内在联系和相等关系建立方程（或方程组）或函数关系，这种通过方程（组）或函数来沟通已知与未知，从而使问题获得解决的思想方法称之为方程与函数思想． 二、分类突破 （一）数形结合 1．最小的正整数是_____最大的负整数是 ______绝对值最小的数是 ______ 2、大于-2.5而不大于4的整数有________个，分别是__________ 3、绝对值小于3的非负整数是_________绝对值不大于4的整数是________ 4、设。 点拨：借助数轴可以让此类题形象直观，简便准确 5、化简三个数a、b、c在数轴上的对应点如图1，化简 变式1、化简 变式2、化简 点拨：从图形中获取有用信息是解决此类题的关键 6、线段AB,延长AB到C，使BC=AB，D为AC的中点，若AB＝9cm，则DC的长为 。 7、已知，线段AB=6cm，在直线AB上截取线段BC=4cm，若M，N分别是AB，BC中点 （1）求M，N两点间的距离。 （2）AB=a cm，BC=b cm，其他条件不变，此时MN是多少？ （3）由（1），（2），你发现什么规律？ 8、平面内，若，，则 ； 点拨：正确画出图形是突破此类题的关键 二、 分类讨论法 1、解绝对值方程 |x+5|+2=5 2、 已知_______. 3、已知 变式、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的平方是4，求的值。 4、已知a为有理数且a≠0，则a|a|+=________ 变式1、、已知、均为不等于的有理数，则代数式的值为 ； 变式2、求代数式的值为___________ 变式3、若的所有可能值是__________ 点拨：合理分类是解决这类题的关键 5、 解关于x的方程． 6、如果A、B、C在同一条直线上，线段AB=6 cm，BC=2 cm，则A、C两点间的距离是（ ） A、8 cm B、4 cm C、8cm或4cm D、无法确定 变式1：如果在同一条直线上顺次截取A、B、C，线段AB=6 cm，BC=2 cm，则A、C两点间的距离是（ ） 变式2、线段AB=6 cm，BC=2 cm，则A、C两点间的距离是（ ） A、8 cm B、4 cm C、8cm或4cm D、无法确定 7、已知A、B、C三点共线，线段AB=60，M为其中点，线段BC=28，N为其中点，求MN的长。(2)如果设AB=a，BC=b，表示出MN的长 （三）整体代入法 1、( 变式1、已知代数式x＋2y的值是3，则代数式2x＋4y＋1的值是 （ ） 变式2、．当代数式的值为7时，代数式的值是_______． 变式3、已知则的值为（ ） 变式4、 已知代数式的值是3，代数式的值为（ ）. 变式5、当时，的值为9，那么当时，多项式的值为（ ） 变式6、已知代数式的值是3，代数式的值为（ ）. 变式7、 则（ ） 思考：已知： 求的值. 2、【例6】如图：是线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点。①、如果，，求EB ②、如果,求AB 5、如图,已知,,平分,平分。 （1）求的度数； （2）若（1）中,其他条件不变,求的度数； （3）若（2）中，其他条件不变,求的度数； （4）从前3问中可以看出什么规律. 四、化归思想 所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． 1、 2、 点拨：根据乘方的意义转化为乘法解决 3、 点拨：由于负因数的个数无法确定，所以转化为等差数列的项数问题解决 变式：（9-10）（10-11）…（101-102）（102-103） 4、 11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100； 变式、 1995-1992+1989-1986+1983-……+15-12+9-6+3 B C D E F G A 5、①下图中共有 条线段， 个三角形。 点拨：一条直线上的线段条数可以有序思考后转化为等差数列的求和。数三角形和角可以转化为数线段问题。生活中很多问题也可以用此法解决。 变式、一条汽车线路上共有7个站，用于这条线路上的车票最多________种。 ②时钟在12点、1点、1点半、1点20分、1点57分时，时针和分针的夹角分别是 、 、 、 、 。 点拨：钟表夹角问题可以转化为追及问题解决 6、先阅读下面的材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的n（n＞1）台机床在工作，我们要设置零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先退到比较简单的情形： 如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙走的距离之和等于A1到A2的距离. 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲乙和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离，而如果把P放到别 处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到D的这一段，在是多出来的，一次P放在A2处是最佳选择. 不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台的位置. 问题⑴：有n台机床时，P应设置在何处？ 问题⑵：根据问题⑴的结论,求︱x－1︱+︱x－2︱+︱x－3︱+…+︱x－617︱的最小值. 五、方程的思想 1、已知方程是关于的一元一次方程，试求字母的值； 2、要使是方程的解，则 ； 3、若与互为相反数，则的值为 ； 4、若与是同类项，则 ； 5、若，则关于的方程的解是（ ） 6、1 B、－1 C、 D、－2 7、要使多项式中，不含项，则应取（ ） A、―1 B、1 C、― D、 8、已知方程和方程的解相同。 （1）求的值； （2）求代数式的值； 8、如图，线段AB被点C、D分成了3︰4︰5三部分，且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40 cm，求AB的长． 9、如图，∠AOC、∠BOD都是直角，且∠AOB与∠AOD的度数比是2︰11，求∠AOB和∠BOC的度数． 　10、 若一个角的余角与这个角的补角之比是2∶7，求这个角的邻补角． 六、特值法 1、已知y=x-1,那么 x2-2xy+3y2-2的值是_________ 点拨：当已知代数式中有两个字母时可以用特值法更简单。 2、已知，比较的大小（ ） 七、排除法： 1、下列说法错误的是( )。 A、不相交的两条直线叫做平行线 B、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 C、平行于同一条直线的两条直线互相平行 D、平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2、下列判断中，正确的是（ ） 、正整数和负整数统称为整数 、整数和分数统称为有理数 、正数和负数统称为有理数 、整数、分数和零统称为有理数 3、已知一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是（ ） 、正有理数 、正有理数和 、负有理数 、或 4、若为有理数，下列判断正确的是（ ） 、是正数 、是负数 、不是正数 、总比大 八、从特殊——一般——特殊的方法解规律题 1、观察下列算式：2=2，2=4，2=8，2=16，2=32，2=64，2=128，2=256……，则2的结果的个位数应为（ ）。 A、2 B、4 C、8 D、6 2．(2009年咸宁市)如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2009次输出的结果为___________． （第23题） 输入 +3 输出 为偶数 为奇数 3．（2009年重庆）观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（ ） …… 第1个 第2个 第3个 A． B． C． D． 4 (2009年抚顺市)观察下列图形（每幅图中最小的三角形都是全等的），请写出第个图中最小的三角形的个数有 个． 第1个图 第2个图 第3个图 第4个图 5、（2009年青海）观察下面的一列单项式：，，，，…根据你发现的规律，第7个单项式为 ；第个单项式为 6．（2009年广西钦州）一组按一定规律排列的式子：－，，－，，…，（a≠0）则第n个式子是_ _（n为正整数）．