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初一数学基础知识讲义第一讲 和绝对值有关的问题一、 知识结构框图：数二、 绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。(2)代数意义：正数的绝对值是它的本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。 也可以写成： 说明：（）|a|0即|a|是一个非负数；（）|a|概念中蕴含分类讨论思想。三、 典型例题例1（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ） A-3a B 2ca C2a2b D b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。例2已知：，且， 那么的值（ C ）A是正数B是负数C是零D不能确定符号解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示： 所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。例3（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为x，乙数为y由题意得：， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧，即 x0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x0，y0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即 x0，y0，y0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12例4（整体的思想）方程 的解的个数是（ D ）A1个 B2个 C3个 D无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。 例5（非负性）已知|ab2|与|a1|互为相互数，试求下式的值分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab2|=|a1|=0，解得：a=1,b=2于是 在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果同学们可以再深入思考， 如果题目变成求 值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。例6（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与，3与5，与，与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：_相等 .（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为1，则A与B两点间的距离可以表示为 分析：点B表示的数为1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢？ 结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。当x-1时，距离为-x-1, 当-1x0，距离为x+1综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为（3）结合数轴求得的最小值为 5 ，取得最小值时x的取值范围为 -3x_2_.分析：即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。如图，x在数轴上的位置有三种可能：图1 图2 图3图2符合题意（4） 满足的的取值范围为 x-1 分析： 同理表示数轴上x与-1之间的距离，表示数轴上x与-4之间的距离。本题即求，当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。借助数轴，我们可以得到正确答案：x-1。说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上， 表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题。 四、 小结1理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性2体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1 “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。2用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。 二、典型例题例1若多项式的值与x无关，求的值.分析：多项式的值与x无关，即含x的项系数均为零因为所以 m=4将m=4代人，利用“整体思想”求代数式的值例2x=-2时，代数式的值为8，求当x=2时，代数式的值。分析： 因为当x=-2时， 得到，所以当x=2时，=例3当代数式的值为7时,求代数式的值.分析：观察两个代数式的系数由 得 ，利用方程同解原理，得 整体代人，代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。例4 已知，求的值.分析：解法一（整体代人）：由 得 所以：解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。由，得，所以： 解法三（降次、消元）：（消元、减项） 例5（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？分析：分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入（元）第一年：A公司 10000； B公司 5000+5050=10050第二年：A公司 10200； B公司 5100+5150=10250第n年：A公司 10000+200(n-1）； B公司：5000+100(n-1)+5000+100(n-1)+50=10050+200(n-1)由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元，如不细心考察很可能选错。例6三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，则 的值是_ 。解：因为abc0，所以a、b、c中只有一个是负数。不妨设a0，c0则ab0，ac0所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。同理，当b0，c0时，即x， 5x-2=3， 5x=5， x=1 因为x=1符合大前提x，所以此时方程的解是x=1当5x-2=0时，即x=， 得到矛盾等式0=3，所以此时方程无解当5x-20时，即x， 5x-2= -3，x= 因为x=符合大前提x0时，即x1，x-1=-2x+1，3x=2，x=因为x=不符合大前提x1，所以此时方程无解当x-1=0时，即x=1，0=-2+1，0 =-1，此时方程无解 当x-10时，即x1，1-x=-2x+1，x=0因为x=0符合大前提xAD B.ACBD D. CD310. 如图所示,L1,L2,L3交于点O,1=2,3:1=8:1,求4的度数.( 方程思想)答案：3611 如图所示,已知ABCD,分别探索下列四个图形中P与A,C的关系,请你从所得的四个关系中任选一个加以说明. (1) (2) (3) (4)（1）分析：过点P作PE/AB APE+A+C=360（2）P=A+C（3）P=C-A,（4）P=A-C12如图，若AB/EF，C= 90，求x+y-z 度数。分析：如图，添加辅助线证出：x+y-z=9013已知：如图， 求证：分析：法一法二：由AB/CD证明PAB=APC， 所以EAP=APF 所以AE/FP 所以第七讲：平面直角坐标系一、知识要点：1、特殊位置的点的特征（1）各个象限的点的横、纵坐标符号（2）坐标轴上的点的坐标： 轴上的点的坐标为,即纵坐标为0;轴上的点的坐标为，即横坐标为0;2、具有特殊位置的点的坐标特征设、两点关于轴对称，且;、两点关于轴对称，且;、两点关于原点轴对称，且。3、距离（1）点A到轴的距离：点A到轴的距离为|；点A到轴的距离为|；（2）同一坐标轴上两点之间的距离：A、B，则；A、B，则；二、典型例题1、已知点M的坐标为（x，y），如果xy0 , 则点M的位置( ) (A)第二、第三象限 (B)第三、第四象限 (C)第二、第四象限 (D)第一、第四象限2点P（m，1）在第二象限内，则点Q（-m，0）在（ ） Ax轴正半轴上 Bx轴负半轴上 Cy轴正半轴上 Dy轴负半轴上3已知点A（a，b）在第四象限，那么点B（b，a）在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4点P（1
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初一数学基础知识讲义
第一讲 和绝对值有关的问题
一、 知识结构框图：
数
二、 绝对值的意义：
(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；
③零的绝对值是零。
也可以写成：
说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；
（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、 典型例题
例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：
则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ）
A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b
解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a
分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．已知：，，且， 那么
的值（ C ）
A．是正数 B．是负数 C．是零 D．不能确定符号
解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示：
所以
分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？
分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。
解：设甲数为x，乙数为y
由题意得：，
（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：
若x在原点左侧，y在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6
若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6
（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：
若x、y在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12
若x、y在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12
例4．（整体的思想）方程 的解的个数是（ D ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个
分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。
例5．（非负性）已知|ab－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值．
分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab－2|=|a－1|=0，解得：a=1,b=2
于是
在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再深入思考，
如果题目变成求 值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。
例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与，3与5，与，与3.
并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____相等 .
（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离
可以表示为 ．
分析：点B表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢？
结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。
当x<-1时，距离为-x-1, 当-10，距离为x+1
综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为
（3）结合数轴求得的最小值为 5 ，取得最小值时x的取值范围为 -3≤x_≤2______.
分析：即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。
即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。
如图，x在数轴上的位置有三种可能：
图1 图2 图3
图2符合题意
（4） 满足的的取值范围为 x<-4或x>-1
分析： 同理表示数轴上x与-1之间的距离，表示数轴上x与-4之间的距离。本题即求，当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。借助数轴，我们可以得到正确答案：x<-4或x>-1。
说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上， 表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题。
四、 小结
1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性
2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用
第二讲：代数式的化简求值问题
一、知识链接
1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。
注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化
3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。
二、典型例题
例1．若多项式的值与x无关，
求的值.
分析：多项式的值与x无关，即含x的项系数均为零
因为
所以 m=4
将m=4代人，
利用“整体思想”求代数式的值
例2．x=-2时，代数式的值为8，求当x=2时，代数式的值。
分析： 因为
当x=-2时， 得到，
所以
当x=2时，=
例3．当代数式的值为7时,求代数式的值.
分析：观察两个代数式的系数
由 得 ，利用方程同解原理，得
整体代人，
代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。
例4． 已知，求的值.
分析：解法一（整体代人）：由 得
所以：
解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。
由，得，
所以：
解法三（降次、消元）：（消元、、减项）
例5．（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？
分析：分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入（元）
第一年：A公司 10000； B公司 5000+5050=10050
第二年：A公司 10200； B公司 5100+5150=10250
第n年：A公司 10000+200(n-1）；
B公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]
=10050+200(n-1)
由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元，如不细心考察很可能选错。
例6．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，
则 的值是_______ 。
解：因为abc<0，所以a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数
又因为a+b+c>0，所以a、b、c中只有一个是负数。
不妨设a<0，b>0，c>0
则ab<0，ac<0，bc>0
所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。
同理，当b<0，c<0时，x=0。
另：观察代数式 ，交换a、b、c的位置，我们发现代数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a、b、c再讨论。有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质。
1
7
2
8
3
9
4
10
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6
12
规律探索问题：
例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．
（1）“17”在射线 ____上，
“2008”在射线___________上．
（2）若n为正整数，则射线OA上数字的排列规律可以用含n的代数式表示为__________________________．
分析：OA上排列的数为：1，7，13，19，…
观察得出，这列数的后一项总比前一项多6，
归纳得到，这列数可以表示为6n-5
因为17=36-1，所以17在射线OE上。
因为2008=3346+4=3356-2，所以2008在射线OD上
例8． 将正奇数按下表排成5列:
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列
第一行 1 3 5 7
第二行 15 13 11 9
第三行 17 19 21 23
第四行 31 29 27 25
根据上面规律，2007应在
A．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D. 251行,5列
分析：观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找
第三列数： 3，11，19，27， 规律为8n-5
因为2007=2508+7=2518-1
所以，2007应该出现在第一列或第五列
又因为第251行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列，
所以2007应该在第251行第5列
例9．（2006年嘉兴市）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：
26
13
44
11
第一次
F②
第二次
F①
第三次
F②
…
若n＝449，则第449次“F运算”的结果是__________．
分析：问题的难点和解题关键是真正理解“F”的第二种运算，即当n为偶数时，结果为（其中k是使 为奇数的正整数），要使所得的商为奇数，这个运算才能结束。
449奇数，经过“F①”变为1352；1352是偶数，经过“F②”变为169，
169是奇数，经过“F①”变为512，512是偶数，经过“F②”变为1，
1是奇数，经过“F①”变为8，8是偶数，经过“F②”变为1，
我们发现之后的规律了，经过多次运算，它的结果将出现1、8的交替循环。
再看运算的次数是449，奇数次。因为第四次运算后都是奇数次运算得到8，偶数次运算得到1，
所以，结果是8。
三、小结
用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。希望同学们能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。
第三讲：与一元一次方程有关的问题
一、知识回顾
一元一次方程是我们认识的第一种方程，使我们学会用代数解法解决一些用算术解法不容易解决的问题。一元一次方程是初中代数的重要内容，它既是对前面所学知识——有理数部分的巩固和深化，又为以后的一元二次方程、不等式、函数等内容打下坚实的基础。
典型例题：
二、典型例题
例1．若关于x的一元一次方程=1的解是x=-1，则k的值是（ ）
A． B．1 C．- D．0
分析：本题考查基本概念“方程的解”
因为x=-1是关于x的一元一次方程=1的解，
所以，解得k=-
例2．若方程3x-5=4和方程的解相同，则a的值为多少？
分析：题中出现了两个方程，第一个方程中只有一个未知数x，所以可以解这个方程求得x的值；第二个方程中有a与x两个未知数，所以在没有其他条件的情况下，根本没有办法求得a与x的值，因此必须分析清楚题中的条件。因为两个方程的解相同，所以可以把第一个方程中解得x代入第二个方程，第二个方程也就转化为一元一次方程了。
解：3x-5=4， 3x=9， x=3
因为3x-5=4与方程 的解相同
所以把x=3代人中
即 得3-3a+3=0，-3a=-6，a=2
例3.（方程与代数式联系）
a、b、c、d为实数，现规定一种新的运算 .
（1）则的值为 ；（2）当 时，= .
分析：（1）即a=1，b=2，c=-1，d=2，
因为，所以=2-（-2）=4
（2）由 得：10-4（1-x）=18
所以10-4+4x=18，解得x=3
例4．（方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ）
不考虑瓶子的厚度.
A． B． C． D．
分析：左右两个图中墨水的体积应该相等，所以这是个等积变换问题，我们可以用方程的思想解决问题
解：设墨水瓶的底面积为S，则左图中墨水的体积可以表示为Sa
设墨水瓶的容积为V，则右图中墨水的体积可以表示为V-Sb
于是，Sa= V-Sb，V= S(a+b)
由题意，瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的比为
例5． 小杰到食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多，就站在A窗口队伍的里面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。此时，若小李迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队，将比继续在A窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，有多少人排队。
分析：“B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人”相当于B窗口前的队伍每分钟减少1人，
题中的等量关系为：小李在A窗口排队所需时间=转移到B窗口排队所需时间+
解：设开始时，每队有x人在排队，
2分钟后，B窗口排队的人数为：x-62+52=x-2
根据题意，可列方程：
去分母得 3x=24+2(x-2)+6
去括号得3x=24+2x-4+6
移项得3x-2x=26
解得x=26
所以，开始时，有26人排队。
课外知识拓展：
一、含字母系数方程的解法：
思考：是什么方程？
在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a≠0，所以不是一元一次方程
我们把它称为含字母系数的方程。
例6．解方程
解：（分类讨论）当a≠0时，
当a=0，b=0时，即 0x=0，方程有任意解
当a=0，b≠0时，即 0x=b，方程无解
即方程的解有三种情况。
例7．问当a、b满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。
分析：先解关于x的方程，把x用a、b表示，最后再根据系数情况进行讨论。
解： 将原方程移项得2x+bx=1+a-5，合并同类项得：(2+b)x=a-4
当2+b0，即b-2时，方程有唯一解，
当2+b=0且a-4=0时，即b=-2且a=4时，方程有无数个解，
当2+b=0且a-4≠0时，即b=-2且a≠4时，方程无解，
例 8． 解方程
分析：根据题意，ab≠0，所以方程两边可以同乘ab
去分母，得b(x-1)-a(1-x)=a+b
去括号，得bx-b-a+ax=a+b
移项，并项得 (a+b)x=2a+2b
当a+b≠0时，=2
当a+b=0时，方程有任意解
说明：本题中没有出现方程中的系数a=0，b≠0的情况，所以解的情况只有两种。
二、含绝对值的方程解法
例9． 解下列方程
解法1：（分类讨论）
当5x-2>0时，即x>， 5x-2=3， 5x=5， x=1
因为x=1符合大前提x>，所以此时方程的解是x=1
当5x-2=0时，即x=， 得到矛盾等式0=3，所以此时方程无解
当5x-2<0时，即x<， 5x-2= -3，x=
因为x=符合大前提x<，所以此时方程的解是x=
综上，方程的解为x=1 或x=
注：求出x的值后应注意检验x是否符合条件
解法2：（整体思想）
联想：时，a=3
类比：，则5x-2=3或5x-2=-3
解两个一元一次方程，方程的解为x=1 或x=
例10． 解方程
解：去分母 2| x-1|-5=3
移项 2| x-1|=8
| x-1|=4
所以x-1=4或x-1=-4
解得x=5或x=-3
例11． 解方程
分析：此题适合用解法2
当x-1>0时，即x>1，x-1=-2x+1，3x=2，x=
因为x=不符合大前提x>1，所以此时方程无解
当x-1=0时，即x=1，0=-2+1，0 =-1，此时方程无解
当x-1<0时，即x<1，1-x=-2x+1，x=0
因为x=0符合大前提x<1，所以此时方程的解为x=0
综上，方程的解为x=0
三、小结
1、体会方程思想在实际中的应用
2、体会转化的方法，提升数学能力
第四讲：图形的初步认识
一、相关知识链接：
1．认识立体图形和平面图形
我们常见的立体图形有长方体、正方体、球、圆柱、圆锥，此外，棱柱，棱锥也是常见的几何体。我们常见的平面图形有正方形、长方形、三角形、圆
2． 立体图形和平面图形关系
立体图形问题常常转化为平面图形来研究，常常会采用下面的作法
（1）画出立体图形的三视图
立体图形的的三视图是指正视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）得到的三个平面图形。
（2）立体图形的平面展开图
常见立体图形的平面展开图
圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥、正方体（共十一种）
二、典型问题：
（一）正方体的侧面展开图（共十一种）
分类记忆：
第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种。
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种。
第四类，两排各三个，只有一种。
基本要求：
1. 在右面的图形中是正方体的展开图的有（ C ）
（A）3种 （B）4种 （C）5种 （D）6种
2．下图中, 是正方体的展开图是( B )
A B C D
3．如图四个图形都是由6个大小相同的正方形组成，其中是正方体展开图的是（ D）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
1
2
3
6
4
5
较高要求：
4．下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体，每三个带数字的面交于正方体的
一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是( A )
A． 7 B． 8 C． 9 D． 10
5．一个正方体的展开图如右图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对
两个面所写的两个数之和相等，那么a+b-2c= （ B ）
A．40 B.38 C.36 D. 34
分析： 由题意 8+a=b+4=c+25
所以 b=4+a c=a-17
所以 a+b-2c=a+(4+a)-2(a-17)=4+34=38
6．将如图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的图形是（ C ）
A． B． C． D．
7．下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（ D ）
A．
B．
C．
D．
还原正方体，正确识别正方体的相对面。
（二）常见立体图形的平面展开图
8．下列图形是四棱锥的展开图的是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
9．下面是四个立体图形的展开图，则相应的立体图形依次是( A )
A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 B.正方体、圆锥、三棱柱、圆柱
C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 D.正方体、圆柱、四棱柱、圆锥
10．下列几何体中是棱锥的是（ B ）
A. B. C. D.
11．如图是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母，请根据要求回答问题：
（1）如果A面在长方体的底部，那么哪一个面会在上面？
（2）若F面在前面，B面在左面，则哪一个面会在上面？（字母朝外）（3）若C面
在右面，D面在后面，则哪一个面会在上面？（字母朝外）
答案：（1）F ；（2）C，A
（三）立体图形的三视图
12．如图，从正面看可看到△的是( C )
13．对右面物体的视图描绘错误的是 （ C ）
1
4．如图的几何体，左视图是 （ B ）
15．如图，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个
俯视图
左视图
主视图
几何体的小正方体的个数是 ( )
A．3 B．4
C．5 D．6
（四）新颖题型
16. 正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字，将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体，那么长方体的下底面数字和为 .
分析：正面—黄，右面—红，上面—蓝，后面—紫，下面—白，左面—绿
所以，从右到左，底面依次为：白、绿、黄、紫
数字和为：4+6+2+5=17
17．观察下列由棱长为 1的小正方体摆成的图形，寻找规律，如图⑴
所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图⑵所示：
共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图⑶所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见……（1）写出第⑹个图中看不见的小立方体有 125 个；（2）猜想并写出第(n)个图形中看不见的小立方体的个数为____ (n-1)3 ______个.
分析：
1 1=1 0=03
2 8=23 1=13
3 27=33 8=23
4 64=43 27=33
n n3 (n-1) 3
第五讲：线段和角
一、知识结构图
二、典型问题：
（一）数线段——数角——数三角形
问题1、直线上有n个点，可以得到多少条线段？
分析： 点 线段
2 1
3 3 =1+2
4 6=1+2+3
5 10=1+2+3+4
6 15=1+2+3+4+5
……
n 1+2+3+ … +(n-1)=
问题2．如图，在∠AOB内部从O点引出两条射线OC、OD，则图中小于平角的角共有（ D ）个
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
拓展：1、 在∠AOB内部从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个？
射线 角
1 3 =1+2
2 6=1+2+3
3 10=1+2+3+4
……
n 1+2+3+ … +(n+1)=
类比：从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个？
射线 角
2 1
3 3 =1+2
4 6=1+2+3
5 10=1+2+3+4
……
n 1+2+3+ … +(n-1)=
类比联想：如图，可以得到多少三角形？
（二）与线段中点有关的问题
线段的中点定义：
文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点
图形语言：
几何语言： ∵ M是线段AB的中点
∴ ，
典型例题：
1．由下列条件一定能得到“P是线段AB的中点”的是（ D ）
（A）AP=AB （B）AB＝2PB （C）AP＝PB （D）AP＝PB=AB
2．若点B在直线AC上，下列表达式：①；②AB=BC；③AC=2AB；④AB+BC=AC．
其中能表示B是线段AC的中点的有（ A ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.如果点C在线段AB上,下列表达式①AC=AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB中, 能表示C是AB中点的有( C )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4．已知线段MN，P是MN的中点，Q是PN的中点，R是MQ的中点，那么MR= ______ MN．
分析：据题意画出图形
设QN=x，则PQ=x，MP=2x，MQ=3x，
所以，MR=x ，则
5．如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD中点，若MN=a，BC=b，则线段AD的长是（ ）
A 2（a-b） B 2a-b C a+b D a-b
分析：不妨设CN=ND=x，AM=MB=y
因为MN=MB+BC+CN
所以a=x+y+b
因为AD=AM+MN+ND
所以AD=y+a+x=a-b+a=2a-b
（三）与角有关的问题
1． 已知：一条射线OA，若从点O再引两条射线OB、OC，使∠AOB=600，∠BOC=200，
则∠AOC=____80或40________度（分类讨论）
2． A、O、B共线，OM、ON分别为∠ AOC 、∠ BOC的平分线，猜想∠ MON的度数，试证明你的结论．
猜想：_90______
证明：因为OM、ON分别为∠ AOC 、∠ BOC的平分线
所以∠MOC=∠AOC ，∠CON=∠COB
因为∠MON=∠MOC+∠CON
所以∠MON=∠AOC +∠COB=∠AOB=90
3．如图，已知直线和相交于点，是直角，平分，，
求的度数．
分析：因为是直角，，
所以∠EOF=56
因为平分
所以∠AOF=56
因为∠AOF=∠AOC+∠COF
所以∠AOC=22
因为直线和相交于点
所以=∠AOC=22
4．如图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
（1）若∠A = 60，求∠O；
（2）若∠A =100，∠O是多少？若∠A =120，∠O又是多少？
（3）由（1）、（2）你又发现了什么规律？当∠A的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？
（提示：三角形的内角和等于180）
答案：（1）120；（2）140 、150（3）∠O=90+∠A
5．如图，O是直线AB上一点,OC、OD、OE是三条射线,则图中互补的角共有（ B ）对
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
6．互为余角的两个角（ B ）
（A）只和位置有关 （B）只和数量有关
（C）和位置、数量都有关 （D）和位置、数量都无关
7．已知∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（ C ）
A.（∠1＋∠2） B.∠1 C.（∠1－∠2） D.∠2
分析：因为∠1＋∠2=180，所以（∠1＋∠2）=90
90-∠2= （∠1＋∠2）-∠2= （∠1－∠2）
第六讲：相交线与平行线
一、知识框架
二、典型例题
1.下列说法正确的有( B )
①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;
④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图所示,下列说法不正确的是( D )毛
A.点B到AC的垂线段是线段AB; B.点C到AB的垂线段是线段AC
C.线段AD是点D到BC的垂线段; D.线段BD是点B到AD的垂线段
3.下列说法正确的有( C )
①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;
④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4．一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，
这两次拐弯的角度可能是（ A ）
A. 第一次向左拐30第二次向右拐30 B. 第一次向右拐50第二次向左拐130
C. 第一次向右拐50第二次向右拐130 D. 第一次向左拐50第二次向左拐130
5．如图，若AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，则下列结论必定成立的是（ C ）
A. CD>AD B.ACBD D. CD∠3
10. 如图所示,L1,L2,L3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.( 方程思想)
答案：36
11． 如图所示,已知AB∥CD,分别探索下列四个图形中∠P与∠A,∠C的关系,请你 从所得的四个关系中任选一个加以说明.
(1) (2) (3) (4)
（1）分析：过点P作PE//AB
∠APE+∠A+∠C=360
（2）∠P=∠A+∠C
（3）∠P=∠C-∠A,
（4）∠P=∠A-∠C
12．如图，若AB//EF，∠C= 90，求x+y-z 度数。
分析：如图，添加辅助线
证出：x+y-z=90
13．已知：如图，
求证：
分析：法一
法二：由AB//CD证明PAB=APC，
所以EAP=APF
所以AE//FP
所以
第七讲：平面直角坐标系
一、知识要点：
1、特殊位置的点的特征
（1）各个象限的点的横、纵坐标符号
（2）坐标轴上的点的坐标： 轴上的点的坐标为,即纵坐标为0;
轴上的点的坐标为，即横坐标为0;
2、具有特殊位置的点的坐标特征
设、
、两点关于轴对称，且;
、两点关于轴对称，且;
、两点关于原点轴对称，且。
3、距离
（1）点A到轴的距离：点A到轴的距离为||；点A到轴的距离为||；
（2）同一坐标轴上两点之间的距离：
A、B，则；A、B，则；
二、典型例题
1、已知点M的坐标为（x，y），如果xy<0 , 则点M的位置( )
(A)第二、第三象限 (B)第三、第四象限
(C)第二、第四象限 (D)第一、第四象限
2．点P（m，1）在第二象限内，则点Q（-m，0）在（ ）
A．x轴正半轴上 B．x轴负半轴上 C．y轴正半轴上 D．y轴负半轴上
3．已知点A（a，b）在第四象限，那么点B（b，a）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．点P（1
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