第十二章《轴对称》知识总结.docx

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1、精品名师归纳总结轴对称学问总结学问网络图示基本学问提炼整理一、基本概念1. 轴对称图形假如一个图形沿一条直线折叠, 直线两旁的部分能够相互重合, 这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就叫做对称轴. 折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.2. 线段的垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线3. 轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.4. 等腰三角形有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形. 相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.5. 等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形 .二、主要性质1. 假如两个

2、图形关于某条直线对称, 那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 . 或者说轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.2. 线段垂直平分钱的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.3. （ 1）点 P（x,y）关于 x 轴对称的点的坐标为 P（ x,-y ）.（2）点 P（ x,y ）关于 y 轴对称的点的坐标为 P（ -x ,y）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 等腰三角形的性质（1） 等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角” ）.（2） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（3） 等腰三角形是轴对称图形,底

3、边上的中线（顶角平分线、底边上的高） 所在直线就是它的对称轴 .（4） 等腰三角形两腰上的高、中线分别相等,两底角的平分线也相等.（5） 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。（6） 等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.5. 等边三角形的性质（1） 等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60.（2） 等边三角形是轴对称图形,共有三条对称轴.（3） 等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线相互重合.三、有关判定1. 与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.2. 假如一个三角形有两个角相等, 那么这两个角所对的边也相等 （简写成“等角对等边”

4、） .3. 三个角都相等的三角形是等边三角形 .4. 有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形 .专题总结及应用一、用轴对称的观点证明有关几何命题例 1试说明在直角三角形中, 假如一个锐角等于 30,那么它所对的直角边等于斜边的一半 .已知：在 ABC中, C=90, A=30,如图 14102 所示.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证：1BC=2AB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：如图 14103 所示.作出 ABC关于 AC对称的 AB C.AB=AB.又 CAB=30, B=B= B AB=60.AB=BB=AB又 ACBB,可编辑资料 - -

5、- 欢迎下载精品名师归纳总结B1C=BC=2BB= 12AB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1即 BC=2AB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2如图 14 104 所示,已知 ACB=90, CD 是高, A=30 . 求证1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BD=4AB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：在 ABC中, ACB=90, A=30,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1BC=2AB, B=60.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 CDBA,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

6、师归纳总结 BDC=90, BCD=301. BD=2BC.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11BD=22即11AB=4AB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BD=4AB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、有关等腰三角形的内角度数的运算例 3如图 14105 所示, AB=AC,BC=BD=ED=,EA求 A 的度数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（分析） 图形中有多个等腰三角形, 因而有很多对相等的角, 设定其中的某个角,再用这个角把另外的角表示出来,即可解决.解： AB=AC,BC=BD=ED=E,A ABC= C=BDC

7、,ABD=BED, A=EDA.设 A=,就 EDA=, ABD= BED=2,ABC=C=BDC=3 （依据三角形的外角性质） .在 ABC中, A=, ABC=ACB=3 ,由三角形内角和可得 +3 +3=180,=180, A=180 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7 A的度数为7180.7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4如图 14106 所示,在 ABC中, D在 BC上,如 AD=BD,AB=AC=C,D求 BAC的度数 .解： AD=BD,AB=AC=C,D B=C=BAD, CAD=CDA.设 B=C=BAD= ,就 CAD= CDA=2

8、 , BAC=3.在 ABC中, BAC=3, B= C=,3+=180,=36”, 3 =108,即 BAC=108 . BAC的度数是 108 .三、作帮助线解决问题例 5如图 14107 所示, B=90, AD=AB=B,CDEAC.求证 BE=DC.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：连接 AE.EDAC, ADE=90.又 B=90,在 Rt ABE和 RtADE中,Rt ABERt ADE（HL）, BE=ED.AB=BC, BAC=C.又 B=90, BAC+ C=90 . C=45 . DEC=45 . C=DEC=45 .DE=DC, BE=DC.例 6如

9、图 14108 所示,在 ABC中, AB=AC,在 AB上取一点 E,在 AC延长线上取一点 F,使 BE=CF, EF交 BC于 G.求证 EG=FG.证明：过 E 作 EM AC,交 BC于点 M, EMB= ACB, MEG= F.又 AB=AC, B=ACB. B=EMB, EB=EM.又 BE=CF, EM=FC.在 MEG和 CFG中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 MEG CFG（AAS） .EG=FG.例 7 如图 14-109 所示,在 ABC中, B=60, AB=4,BC=2.求证 ABC是直角三角形 .（分析）欲证 ABC是直角三角形,只需证明 BCA=90即可 .证明：取 AB的中点 D,连接 CD.BC=2,AB=4, BC=BD=AD=2. BCD= BDC.又 B=60, BCD= BDC=60 .DC=BD=DA. A=DCA.又 BDC是 DCA的一个外角, BDC= A+DCA=60 . A=30, BCA=180 - B- A=180 -60 -30 =90. ABC是直角三角形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载