二次函数的图像及其性质 .docx

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1、精品名师归纳总结26.2二次函数的图像【学习目标】1、会做函数 y=ax2 和 y=ax2+c 的图象，并能比较它们的异同。懂得a,c 对二次函数图象的影响，能正确说出两函数的开口方向，对称轴和顶点坐标。2、明白抛物线 y=ax2 上下平移规律。3、娴熟把握二次函数的性质。4、应用二次函数解决实际问题.【主要概念】二次函数的图像是一条关于xb对称的曲线，这条曲线叫抛物线2a.抛物线的主要特点：有开口方向。有对称轴。有顶点.【2】二次函数图像的画法五点法：1、先依据函数解读式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点对称轴M ，并用虚线画出2、求抛物线yax2bxc 与坐标轴的交点：当抛物线与x

2、 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点C 的对称点 D. 将这五个点按从左到右的次序连接起来，并向上或向下延长，就得到二次函数的图像 .当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点 C 及对称点 D.由 C、M 、 D 三点可粗略的画出二次函数的草图.假如需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像.【3】二次函数的性质函数yax2二次函数bxca, b,c是常数， a0a0a0yy图像0x0x性质（ 1）抛物线开口向上，并向上无限延长。（ 1）抛物线开口向下，并向下无限延长。【1】二

3、次函数的图像可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）对称轴是 x=b，顶点坐标是（2ab ，（ 2 ） 对 称 轴 是x=2ab， 顶 点 坐 标 是2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4acb 2）。4 a（b ，2 a4acb 2）。4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）在对称轴的左侧，即当xb时， y 随 x2a（ 3）在对称轴的左侧，即当x时， y 随 x 的增大而增大，简记左2ax时， y 随 x 的增大而减小，简记2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结减右增。（ 4 ）抛物线有最低点，当x=b时， y 有最2a左增

4、右减。（ 4）抛物线有最高点，当x=b时， y 有最2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小值，y最小值4acb 24 a大值，y最大值4 acb 24a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2【4】二次函数 yaxbxca,b,c是常数， a0 中，a、b、c 的含义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 表示开口方向： a 0 时，抛物线开口向上a 0 时，图像与 x 轴有两个交点。 当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点。 当 0【或向下 k0【或左 h0 【或左 h0 【或下 k0 【或下 k0【或左

5、h0.抛物线开口向a0.抛物线对称轴在 y 轴的 侧b=0抛物线对称轴是轴b0.抛物线与 y 轴交于C=0抛物线与 y 轴交于c0.抛物线与 x 轴有个交点b 24 ac =0抛物线与 x 轴有个交点b 24 ac 0,b0,c0B、a0,b0 C、 a0,b0,c0,b0,c0, 图象交 y 轴于负半轴 , 可得 c0, 图象对称轴在y 轴的左侧 , 知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x=-b0, 可得 b0. 选 C2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 14】如图 2，正方形 ABCD边长是 16 cm， P 是 AB 上任意一点（与 A、B 不重合）

6、， QPDP.设 AP=x cm， BQ=y cm.试求出 y 与 x 之间的函数关系式.图 2【解】 ABCD是正方形 , A= B=90 ,ADP+ APD=90 .又 QP DP, APD+ QPB=90 . ADP=QPB.有 ADP BPQ.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BQ =APPB .DA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 y = 16x . y=-1 x2+x.x1616可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 15】如图，已知抛物线C1： ya x2 25的顶点为 P，与 x 轴相交于 A 、B 两点可编辑资料 - - - 欢迎

7、下载精品名师归纳总结（点 A 在点 B 的左边），点B 的横坐标是 1 1、求P点坐标及 a的值。2、如图（ 1），抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称，将抛物线C2 向右平移，平移后的抛物线记为C3， C3 的顶点为 M ，当点 P、 M 关于点 B 成中心对称时，求C3 的解读式。3、如图（ 2），点 Q 是 x 轴正半轴上一点，将抛物线C1 绕点 Q 旋转 180 后得到抛物线C4抛物线 C4 的顶点为 N，与 x 轴相交于 E、F 两点（点 E 在点 F的左边），当以点P、N、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C1

8、yMBAOC1yABQxONEFx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P图（ 1图） 1C2C3PC4图（图2）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C1yBAHOPMGxC2C3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图1【解】 1、由抛物线 C1 ： y2a x25 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结顶点 P 的为（ -2， -5）点 B （ 1， 0）在抛物线 C1 上2 0a 1255解得， a

9、92、连接 PM，作 PH x 轴于 H ，作 MG x 轴于 G点 P、 M 关于点 B 成中心对称 PM 过点 B ，且 PB MB PBH MBGMG PH 5， BG BH 3C顶点 M 的坐标为（ 4， 5）y抛物线 C2 由 C1 关于 x 轴对称得到，抛物线C3 由 C2 平移得到1N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结抛物线 C3 的表达式为 y5 x4 259AHB QG可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、抛物线 C4 由 C1 绕点 x 轴上的点 Q 旋转 180 得到顶点 N 、P 关于点 Q 成中心对称由（ 2）得点 N 的纵坐标为 5设点

10、N 坐标为（ m， 5）作 PH x 轴于 H ，作 NG x 轴于 G作 PK NG 于 K旋转中心 Q 在 x 轴上 EF AB 2BH 6 FG 3，点 F 坐标为（ m+3 ， 0）H 坐标为（ 2， 0）， K 坐标为（ m，-5）， 依据勾股定理得PN2 NK2+PK2 m2+4m+104 PF2PH2+HF2 m2+10m+50 NF2 52+32 34当 PNF 90o时， PN2+ NF2 PF2，解得 m 44， Q 点坐标为（ 190）OEFxKPC4图2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33 ，当 PFN 90o时， PF2+ NF2 PN2，解得 m 1

11、0， Q 点坐标为（ 2，0）33 PN NK 10 NF ， NPF90o综上所得，当Q 点坐标为（ 19， 020）时，以点 P、N、 F 为顶点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的三角形是直角三角形）或（ ，33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 16】如图，直线 y35x+6 分别与 x 轴、 y 轴交于 A， B 两点，直线 yx 与44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB 交于点 C，与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于点D.点 E 从点 A 动身，以每秒 1 个单位yD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的速度沿 x 轴向左运动过点E 作 x 轴的垂线，分别