天津专用2020届高考数学一轮复习考点规范练23等差数列及其前n项和.docx

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1、考点规范练23等差数列及其前n项和一、基础巩固1.已知Sn为等差数列an的前n项和,a2+a8=6,则S9等于()A.272B.27C.54D.1082.张丘建算经卷上一题为“今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织布390尺,最后一天织布21尺”,则该女第一天织布多少尺?()(注:尺是中国古代计量单位,1米=3尺)A.3B.4C.5D.63.已知在每项均大于零的数列an中,首项a1=1,且前n项和Sn满足SnSn-1-Sn-1Sn=2SnSn-1(nN*,且n2),则a81等于()A.638B.639C.640D.6414.设等差数列an的前

2、n项和为Sn,且a10,a3+a100,a6a70的最大自然数n的值为()A.6B.7C.12D.135.若等差数列an的前n项和为Sn,且满足a2+S3=4,a3+S5=12,则a4+S7的值是()A.20B.36C.24D.726.已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a2=2,S9=9,则a8=.7.已知在数列an中,a1=1,a2=2,其前n项和为Sn.当整数n2时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,则S15=.8.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.(1)求a及k的值;(2)设数列bn的通项bn=Snn,证明:数列bn是等差数列,并求其

3、前n项和Tn.二、能力提升9.已知函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,且f(x)在(-1,+)内单调,若数列an是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则数列an的前100项的和为()A.-200B.-100C.-50D.010.等差数列an的前n项和为Sn,已知a1=13,S3=S11,当Sn最大时,n的值是()A.5B.6C.7D.811.已知等差数列an的前n项和为Sn,a20,a6a70,a70,a1+a13=2a70,S130的最大自然数n的值为12.5.C解析由a2+S3=4及a3+S5=12,得4a1+4d=4,6a1+12d=12,解得a1=0,d=1,所以a

4、4+S7=8a1+24d=24.故选C.6.0解析an为等差数列,Sn为其前n项和,a2=2,S9=9,a2=a1+d=2,S9=9a1+982d=9,解得d=-13,a1=73,a8=a1+7d=0.7.211解析由Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1),得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=2,即an+1-an=2(n2),数列an从第二项起构成以2为首项,2为公差的等差数列,则S15=1+214+141322=211.8.(1)解设该等差数列为an,则a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,所以Sk=ka1+k(k-1)2d=2

5、k+k(k-1)22=k2+k.由Sk=110,得k2+k-110=0,解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10.(2)证明由(1)得Sn=n(2+2n)2=n(n+1),则bn=Snn=n+1,故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,即数列bn是首项为2,公差为1的等差数列,所以Tn=n(2+n+1)2=n(n+3)2.9.B解析因为函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,函数f(x)在(-1,+)内单调,所以f(x)在(-,-1)内也单调,且数列an是公差不为0的等差数列.又f(a50)=f(a51),所以a50+a51=-2,所以S100=100(a1+a100)2=5

6、0(a50+a51)=-100.10.C解析(方法一)由S3=S11,得a4+a5+a11=0,根据等差数列的性质,可得a7+a8=0.根据首项等于13可推知这个数列为递减数列,从而得到a70,a80,故n=7时Sn最大.(方法二)由S3=S11,可得3a1+3d=11a1+55d,把a1=13代入,得d=-2,故Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n.根据二次函数的性质,知当n=7时Sn最大.(方法三)由a1=13,S3=S11,知这个数列的公差不等于零,且这个数列的和是先递增后递减.根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数,以及二次函数图象的对称性,可得只有当n=3+112

7、=7时,Sn取得最大值.11.解(1)a3+a7=-6=2a5,a5=-3.1,a2,81成等比数列,a22=181.又a20,a3a4,a3=9,a4=13,a1+2d=9,a1+3d=13,a1=1,d=4.通项公式an=4n-3.(2)由(1)知a1=1,d=4,Sn=na1+n(n-1)2d=2n2-n=2n-142-18.当n=1时,Sn最小,最小值为S1=a1=1.(3)由(2)知Sn=2n2-n,bn=Snn+c=2n2-nn+c,b1=11+c,b2=62+c,b3=153+c.数列bn是等差数列,2b2=b1+b3,即62+c2=11+c+153+c,2c2+c=0,c=-12(c=0舍去),故c=-12.13.解(1)a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列,a1+3d=2(a1+d),a1(a1+3d)=16,解得a1=2,d=2.数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.(2)n同时满足:20n116;n能够被5整除,满足条件的n组成等差数列bn,且b1=20,d=5,bn=115,项数为115-205+1=20.bn的所有项的和为S20=2020+1220195=1350.又an=2n,即an=2bn,满足条件的所有an的和为2S20=21350=2700.