2019年高考数学高考题和高考模拟题分项版汇编专题05平面解析几何理.docx
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1、专题05 平面解析几何1【2019年高考全国卷理数】已知椭圆C的焦点为,过F2的直线与C交于A,B两点若,则C的方程为ABCD【答案】B【解析】法一:如图,由已知可设,则,由椭圆的定义有在中,由余弦定理推论得在中,由余弦定理得,解得所求椭圆方程为,故选B法二:由已知可设,则,由椭圆的定义有在和中,由余弦定理得,又互补,两式消去,得,解得所求椭圆方程为,故选B【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养2【2019年高考全国卷理数】若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆的一个焦点,则p=A2 B3 C4 D8【答案】
2、D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,所以,解得,故选D【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质,渗透逻辑推理、运算能力素养解答时,利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程,从而解出,或者利用检验排除的方法,如时,抛物线焦点为(1,0),椭圆焦点为(2,0),排除A,同样可排除B,C,从而得到选D3【2019年高考全国卷理数】设F为双曲线C:的右焦点,为坐标原点,以为直径的圆与圆交于P,Q两点若,则C的离心率为ABC2D【答案】A【解析】设与轴交于点,由对称性可知轴,又,为以为直径的圆的半径,又点在圆上,即,故选A【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解,难度适中,审题时注意半
3、径还是直径,优先考虑几何法,避免代数法从头至尾运算繁琐,准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题,需强化练习,才能在解决此类问题时事半功倍,信手拈来解答本题时,准确画图,由图形对称性得出P点坐标,代入圆的方程得到c与a的关系,可求双曲线的离心率4【2019年高考全国卷理数】双曲线C:=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若,则PFO的面积为ABCD【答案】A【解析】由,又P在C的一条渐近线上,不妨设为在上,则,故选A【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取公式法,利用数形结合、转化与化归和方程思想解题忽视圆
4、锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅,采取列方程组的方式解出三角形的高,便可求三角形面积5【2019年高考北京卷理数】已知椭圆(ab0)的离心率为,则Aa2=2b2B3a2=4b2Ca=2bD3a=4b【答案】B【解析】椭圆的离心率,化简得,故选B.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.6【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:就是其中之一(如图)给出下列三个结论:曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);曲线C上任意一点到原点的距离都不超
5、过;曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3其中,所有正确结论的序号是ABCD【答案】C【解析】由得,所以可取的整数有0,1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,1),(1,0),(1,1), (1,0),(1,1),共6个整点,结论正确.由得,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论正确.如图所示,易知,四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法错误.故选C.【名师点睛】本题考查曲线与方程曲线的几何性质,基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整
6、点坐标和个数,结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围,利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.7【2019年高考天津卷理数】已知抛物线的焦点为,准线为,若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点,且(为原点),则双曲线的离心率为ABCD【答案】D【解析】抛物线的准线的方程为,双曲线的渐近线方程为,则有,.故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解,解题关键是求出AB的长度.解答时,只需把用表示出来,即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.8【2019年高考浙江卷】渐近线方程为xy=0的双曲线的离心率是AB1CD2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为
7、,所以,则,所以双曲线的离心率.故选C.【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得,进一步可得离心率,属于容易题,注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念,准确计算,是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.9【2019年高考浙江卷】已知圆的圆心坐标是,半径长是.若直线与圆C相切于点,则=_,=_【答案】,【解析】由题意可知,把代入直线AC的方程得,此时.【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线的斜率,进一步得到其方程,将代入后求得,计算得解.解答直线与圆的位置关系问题,往往要借助于数与形的结合,特别是要注意应用圆的几何性质.10【2019年
8、高考浙江卷】已知椭圆的左焦点为,点在椭圆上且在轴的上方,若线段的中点在以原点为圆心,为半径的圆上,则直线的斜率是_【答案】【解析】方法1:如图,设F1为椭圆右焦点.由题意可知,由中位线定理可得,设,可得,与方程联立,可解得(舍),又点在椭圆上且在轴的上方,求得,所以.方法2:(焦半径公式应用)由题意可知,由中位线定理可得,即,从而可求得,所以.【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用,利用数形结合思想,是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现,利用三角形中位线定理,将线段长度用圆的方程表示,与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解
9、决,则更为简洁.11【2019年高考全国卷理数】设为椭圆C:的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形,则M的坐标为_.【答案】【解析】由已知可得,设点的坐标为,则,又,解得,解得(舍去),的坐标为【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养解答本题时,根据椭圆的定义分别求出,设出的坐标,结合三角形面积可求出的坐标.12【2019年高考全国卷理数】已知双曲线C:的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点若,则C的离心率为_【答案】2【解析】如图,由得又得OA是三角形的中位线
10、,即由,得,又OA与OB都是渐近线,得又,又渐近线OB的斜率为,该双曲线的离心率为【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养,采取几何法,利用数形结合思想解题解答本题时,通过向量关系得到和,从而可以得到,再结合双曲线的渐近线可得进而得到从而由可求离心率.13【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系中,若双曲线经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 .【答案】【解析】由已知得,解得或,因为,所以.因为,所以双曲线的渐近线方程为.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质,往往以小题的形式考查,其难度一般较小,是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线
11、标准方程中的密切相关,事实上,标准方程中化1为0,即得渐近线方程.14【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系中,P是曲线上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 .【答案】4【解析】当直线x+y=0平移到与曲线相切位置时,切点Q即为点P,此时到直线x+y=0的距离最小.由,得,即切点,则切点Q到直线x+y=0的距离为,故答案为【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离,渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法,利用数形结合和转化与化归思想解题.15【2019年高考全国卷理数】已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P
12、(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若,求|AB|【答案】(1);(2).【解析】设直线(1)由题设得,故,由题设可得由,可得,则从而,得所以的方程为(2)由可得由,可得所以从而,故代入的方程得故【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题,涉及平面向量、弦长的求解方法,解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立,利用根与系数的关系构造等量关系.16【2019年高考全国卷理数】已知点A(2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第
13、一象限,PEx轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G.(i)证明:是直角三角形;(ii)求面积的最大值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】(1)由题设得,化简得,所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点(2)(i)设直线PQ的斜率为k,则其方程为由得记,则于是直线的斜率为,方程为由得设,则和是方程的解,故,由此得从而直线的斜率为所以,即是直角三角形(ii)由(i)得,所以PQG的面积设t=k+,则由k0得t2,当且仅当k=1时取等号因为在2,+)单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为因此,PQG面积的最大值为【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程,以及利
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