直线与方程知识点总结例题习题精讲详细答案提高训练 .docx

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1、精品名师归纳总结课程星级：知能梳理【学问点一：倾斜角与斜率】（ 1）直线的倾斜角关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与 x 轴相交。 2、x 轴正向。 3、直线向上方向。直线与 x 轴平行或重合时 ,规定它的倾斜角为 00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结倾斜角的范畴 00（ 2）直线的斜率1800可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,而倾斜角为900 的直线斜率不存在.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记作 ktan900 可编辑

2、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当直线 l 与 x轴平行或重合时 ,00 , ktan 000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当直线 l 与 x轴垂直时 ,90 0, k 不存在 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结经过两点Px , y , P x , y （ xx ）ky2y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1112212的直线的斜率公式是x2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

3、每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）求斜率的一般方法：已知直线上两点,依据斜率公式ky2x2y1 x2x1x1 求斜率。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知直线的倾斜角或的某种三角函数依据ktan来求斜率。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）利用斜率证明三点共线的方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知 A x1, y1, Bx2 , y2 , C x3, y3 ,如 x1x2x3或kABkBC,就有 A 、B、C 三点共线。可

4、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【学问点二：直线平行与垂直】（ 1）两条直线平行： 对于两条不重合的直线l1 ,l 2 ,其斜率分别为k1, k2 ,就有l1 / l 2k1k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特殊的, 当直线l1, l2 的斜率都不存在时,l1与l 2 的关系为平行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）两条直线垂直： 假如两条直线l1, l2 斜率存在,设为k1, k2 ,就有 l 1l

5、 2k1 k2-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注： 两条直线l1, l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由两直线的斜率之积为-1,可以得出两直线垂直。 反过来, 两直线垂直, 斜率之积不肯定为 -1。假如 l1 ,l 2 中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0 时,l1与l 2 相互垂直 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【学问点三：直线的方程】（ 1）直线方程的几种形式需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.： 高考

6、复习资料高中数学 学问点总结例题精讲 具体解答 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹【学习资料网】名称方程的形式已知条件局限性点斜式yy1k xx1不包括垂直于x 轴的斜截式ykxb x1 , y1 为直线上肯定点,k 为斜率k 为斜率, b 是直线在 y 轴直线不包括垂直于x 轴的上的截距直线两点式yy1y2y1xx2x1x1经过两点 x1, y1, x2 , y2 不包括垂直于x 轴和且 x1x2, y1y2 y 轴的直线截距式xay1ba 是直线在 x 轴上的非零截距,b 是直线在 y 轴上的非零截距不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线一般式AxByC0A, B, C为系数无限制,可表示任何

7、 A2B20位置的直线问题：过两点P1x1, y1, P2 x2 , y2 的直线是否肯定可用两点式方程表示？【不肯定】1 如 x1x2且y1y2 ,直线垂直于x 轴,方程为 xx1 。2 如 x1x2且y1y2 ,直线垂直于 y 轴,方程为 y1y2 。3 如 x1x2且y1y2 ,直线方程可用两点式表示直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式 。利用斜截式求直线方程时,需要先判定斜率存在与否 .用截距式方程表示直线时,要留意以下几点：方程的条件限制为a0, b0 ,即两个截距均不能为零,因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线。用截距式方程最便于作图,要留意截距

8、是坐标而不是长度 .截距与距离的区分： 截距的值有正、负、零。距离的值是非负数。截距是实数,不是“距离”,可正可负。截距式方程的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与坐标轴围成的三角形的周长为: |a|+|b|+a2b2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线与坐标轴围成的三角形面积为: S= 1 | ab | 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线在两坐标轴上的截距相等,就k1 或直线过原点,常设此方程为xya或ykx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）线段的中点坐标公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如点

9、P1, P2的坐标分别是 x1, y1, x2, y2 ,x1x2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且线段P1P2的中点M x,y的坐标为y2y1y2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【学问点四直线的交点坐标与距离】（ 1）两条直线的交点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设两条直线的方程是l1 :A1xB1 yC10 ,l2: A2xB2 yC20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两条直线的交点坐标就是方程组A1xB1 yC1 A2 xB2 yC20的解。0可编辑资料 - - - 欢迎

10、下载精品名师归纳总结如方程组有唯独解,就这两条直线相交,此解就是交点的坐标。如方程组无解,就两条直线无公共点,此时两条直线平行.（ 2）几种距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22两点间的距离： 平面上的两点P1 x1, y1, P2 x2 , y2 间的距离公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| P1P 2| x 2x1 y 2y1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特殊的,原点O 0,0与任一点P x,y 的距离22| OP |xy可编辑资料 - -

11、 - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点到直线的距离： 点 P0 xo , y0 到直线AxByC0 的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d| Ax0By 0C | A 2B 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两条平行线间的距离：两条平行线AxByC10与AxByC20 间的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d|C1 A2C2 | B2可编辑资料 - - - 欢

12、迎下载精品名师归纳总结注 :1 求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式。2 求两条平行线间的距离时,必需将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用公式运算。需要更多的高考数学复习资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.： 高考复习资料高中数学 学问点总结例题精讲 具体解答 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹【学习资料网】精讲精练【例】 已知,直线 l 过原点 O 且与线段 AB 有公共点,就直线 l 的斜率的取值范畴是（）ABCD答案： B分析：由于直线 l 与线段 AB 有公共点,故直线 l 的斜率应介于OA , OB 斜率之间 解：由题意,由

13、于直线 l 与线段 AB 有公共点,所以直线 l 的斜率的取值范畴是考点：此题主要考查直线的斜率公式,考查直线l 与线段 AB 有公共点,应留意结合图象懂得【例】 在坐标平面内,与点A （ 1, 2）距离为 1,且与点 B （ 3, 1）距离为 2 的直线共有（）A 1 条B 2 条C 3 条D 4 条答案： B分析：由题意, A、 B 到直线距离是1 和 2,就以 A、 B 为圆心,以 1、2 为半径作圆,两圆的公切线的条数即可解：分别以 A 、B 为圆心,以 1、2 为半径作圆,两圆的公切线有两条,即为所求 考点：此题考查点到直线的距离公式,考查转化思想【例】 将直线 l 1：y=2x 绕

14、原点逆时针旋转60得直线 l2,就直线 l 2 到直线 l3： x+2y 3=0 的角为（）A30B 60 C 120 D 150 答案： A分析：结合图象,由题意知直线l1 l3 相互垂直,不难推出l 2 到直线 l 3： x+2y 3=0 的角解：记直线l1 的斜率为 k1,直线 l 3 的斜率为 k 3,留意到 k 1k3= 1, l1 l3,依题意画出示意图,结合图形分析可知,直线 l2 到直线 l 3 的角是 30需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.： 高考复习资料高中数学 学问点总结例题精讲 具体解答 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹【学习资料网】可编辑资料

15、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结考点：此题考查直线与直线所成的角,涉及到角公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例】 方程 x答案： 2解：方程xy1 所表示的图形的面积为 。y1 所表示的图形是一个正方形,其边长为2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例】 设 ab11k k0, k为常数 ,就直线 axby1 恒过定点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案：,kk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： axby1 变化为 axka y1,a xyky10,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于任何 aR 都成立,就

16、xy0ky10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例】 始终线过点M 3,4,并且在两坐标轴上截距之和为12 ,这条直线方程是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： 4 xy160 ,或 x3 y9044可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设 y4k x3, y0, x3; x0, y3k4;33k412可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3k4 k110,3 k 211k40, k4, 或k13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例】 已知 A （ 1,2）, B（

17、3, 4）,直线 l1： x=0 , l 2： y=0 和 l3： x+3y 1=0 、设 Pi 是 l i（i=1 , 2, 3） 上与 A 、B 两点距离平方和最小的点,就P1P2P3 的面积是 答案：分析：设出P1,P2, P3,求出 P1 到 A , B 两点的距离和最小时, P1 坐标,求出 P2,P3 的坐标,然后再解三角形的面积即可解：设 P1（ 0, b）, P2（ a,0）, P3（ x0, y 0）由题设点 P1 到 A , B 两点的距离和为明显当 b=3 即 P1（ 0, 3）时,点 P1 到 A , B 两点的距离和最小,同理P2（ 2,0）, P3（ 1, 0）,所

18、以考点：此题考查得到直线的距离公式,函数的最值,考查函数与方程的思想,是中档题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例】 已知直线（ a 2） y=（ 3a 1） x1,为使这条直线不经过其次象限,就实数a 的范畴是 答案： 2 , +）分析：由已知中直线（a2） y=（ 3a 1） x 1 不经过其次象限,我们分别争论a 2=0 （斜率不存在）, a 20（斜率存在）两种情形,争论满意条件的实数a 的取值,进而综合争论结果,得到答案解：如 a2=0 ,即 a=2 时,直线方程可化为x=,此时直线不经过其次象限,满意条件。如 a 20,直线方程可化为y=x,此时如直线不经过其次象限

19、,就0,0,解得 a 0综上满意条件的实数a 的范畴是 2 , +）考点：此题考查的学问点是确定直线位置的几何要素,其中依据直线的斜截式方程中,当k0且 b0时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线不过其次象限得到关于a的不等式组,是解答此题的关键,但解答时,易忽视对a 2=（0时的争论,而错解为（2, +）。斜率不存在）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例】 过点A5,4 作始终线 l ,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢

20、迎下载精品名师归纳总结解：设直线为 y4k x5, 交 x 轴于点 45,0 ,交 y 轴于点 0,5 k k4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1416S55k45, 4025k1020 ,或 25 k50k1602 x5y1 0,0 或 8 x5 y200 为所求。2kk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 25k 230k16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 k2 , 或 k855可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例】 直线

21、y3 x1 和 x 轴, y 轴分别交于点3A, B ,在线段 AB 为边在第一象限内作等边ABC ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如在第一象限内有一点1Pm, 使得 ABP 和 ABC 的面积相等,求 m的值。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由已知可得直线CP /AB ,设 CP 的方程为 y3xc, c13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就c1AB33, c3 , y3 x13 过 Pm,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1232131353得m3, m232122可编辑

22、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例】 已知点A1,1, B2, 2 ,点 P 在直线 yx 上,求 PA2PB取得最小值时 P 点的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设2P 2t, t ,就 PA2PB2t12t122 t2 2t2 210t 214t10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结72当 t时, PA 102PB取得最小值,即77P,5 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例】 求函数f xx22x2x24x8 的最小值。可

23、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： f x x12012 x2 202 2可看作点 x,0到点 1,1和点 2, 2 的距离之和, 作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 1,1关于 x 轴对称的点 1, 1f xmin123210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例】 在 ABC 中,已知 BC 边上的高所在直线的方程为x 2y+1=0 , A 的平分线所在直线的方程为y=0 如点 B 的坐标为（ 1, 2）,求点 C 的坐标分析：依据三角形的性质解A

24、 点,再解出 AC 的方程,进而求出 BC 方程,解出 C 点坐标逐步解答 解：点 A 为 y=0 与 x2y+1=0 两直线的交点,点 A 的坐标为（ 1, 0） kAB =1又 A 的平分线所在直线的方程是y=0 ,k AC= 1 直线 AC 的方程是 y= x 1 而 BC 与 x 2y+1=0 垂直,kBC= 2 直线 BC 的方程是 y 2= 2（x 1）由 y= x1, y= 2x+4 ,解得 C（ 5, 6）考点：直线的点斜式方程。此题可以借助图形帮忙懂得题意,将条件逐一转化求解【例】 直线 l 过点 P（ 2,1）,且分别与 x ,y 轴的正半轴于 A , B 两点, O 为原

25、点（ 1）求 AOB 面积最小值时l 的方程。（ 2） |PA|.|PB取| 最小值时l 的方程分析：（ 1）设 AB方程为,点 P（ 2,1）代入后应用基本不等式求出ab 的最小值,即得三角形OAB 面积面积的最小值（ 2）设直线 l 的点斜式方程,求出A ,B 两点的坐标,代入|PA|.|PB|的解析式, 使用基本不等式,求出最小值,留意检验等号成立条件解：（ 1）设 A （a, 0）、 B （ 0,b ）, a0, b 0, AB 方程为,点 P（2, 1）代入得2, ab 8（当且仅当 a=4, b=2 时,等号成立）,故三角形 OAB 面积 S=ab4,此时直线方程为：,即 x+2y

26、 4=0（ 2）设直线 l ：y 1=k （x 2）,分别令 y=0, x=0,得 A （ 2 , 0）, B（ 0, 1 2k） 就|PA|.|PB|=4,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2当且仅当 k=1,即 k= 1 时, |PA|.|PB取|最小值,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又k 0,k= 1,这时 l 的方程为 x+y 3=0考点：此题考查直线在坐标轴上的截距的定义,直线的截距式方程,以及基本不等式的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例】 求倾斜角是直线 y 3x 1的倾斜角的1,且分别满意以下条件的直线方程：4可编辑资料 -

27、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结1经过点 3, 1。 2在 y 轴上的截距是5.解：直线的方程为y 3x 1, k 3,倾斜角 120,由题知所求直线的倾斜角为30,即斜率为3.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 直线经过点 3, 1,所求直线方程为y 133 x 3,即 3x 3y 6 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 直线在 y 轴上的截距为 5,由斜截式知所求直线方程为y33 x 5,即 3x 3y 150.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结需要更多的高考数学复习资料请在淘 .

28、宝 .上.搜.索.宝.贝.： 高考复习资料高中数学 学问点总结例题精讲 具体解答 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹【学习资料网】【例】 已知直线 l： kx y 1 2k 0 1证明：直线 l 过定点。2如直线 l 交 x 负半轴于 A,交 y 正半轴于 B, AOB 的面积为 S,试求 S 的最小值并求出此时直线l的方程。解： 1 证明：由已知得 kx 2 1 y 0, 无论 k 取何值,直线过定点 2,1。2 令 y 0 得 A 点坐标为 21, 0,k令 x0 得 B 点坐标为 0,2k 1 k0,1111111 SAOB 2| 2 k|2k 1| 22 k 2k 1 24k 44 4 4可

29、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当 4k1 k,即k21k 时取等号。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2即 AOB 的面积的最小值为4,此时直线 l 的方程为 1x y 1 1 0 , 即 x 2y 4 0【例】 已知函数, g（ x） =x+a（ a 0）（ 1）求 a 的值,使点 M （ f（ x）, g（ x ）到直线 x+y 1=0 的最短距离为。（ 2）如不等式在 x 1 , 4 恒成立,求 a 的取值范畴。分析：（ 1）先用点到直线的距离公式表示距离,利用换元法,进而利用二次函数的配方法即可求解。2（ 2）将肯定值符号化去,从而转化为上恒成立,进而利用换元法转化为at 2t+a20在 t 1 , 2 上恒成立,从而得解解：（ 1）由题意得 M 到直线的距离,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令就t 0a1时,即 t=0 时,a =30a 1 时, dmin=0 ,不合题意综上 a=3（ 2）由即上恒成立,也就是在1 ,4 上恒成立令,且 x=t , t 1 , 22,由题意at 2t+a 0在 t 1 , 2 上恒成立22设 .（ t） =at 2t+a ,就要使上述条件成立,只需22即满意条件的 a 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载