三角函数三角恒等变换知识点总结3.docx

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1、精品名师归纳总结高中数学苏教版必修4 三角函数学问点总结一、角的概念和弧度制：（ 1）在直角坐标系内争论角：角的顶点在原点,始边在x 轴的正半轴上,角的终边在第几象限,就说过角是第几象限的角。如角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何象限,它叫象限界角。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）与角终边相同的角的集合：|360 0 k, kZ 或|2k, kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与角终边在同一条直线上的角的集合：。与角终边关于 x 轴对称的角的集合：。与角终边关于y 轴对称的角的集合：。与角终边关于yx 轴对称的角的集合：。一些特别角集合的表示：终边在

2、坐标轴上角的集合：。终边在一、三象限的平分线上角的集合：。终边在二、四象限的平分线上角的集合：。终边在四个象限的平分线上角的集合：。（ 3）区间角的表示：象限角：第一象限角：。第三象限角：。 第一、三象限角：。写出图中所表示的区间角：yyOxOx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）正确懂得角：要正确懂得“0o 90 o 间的角” =。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结“第一象限的角”=。“锐角” =。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结“小于90 o 的角” =。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）由的终边所在的象限,通过来判定

3、 2 所在的象限。来判定 3 所在的象限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 6）弧度制：正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零。任一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知角的弧度数的肯定值 |l ,其中 l 为以角作为圆心角时所对圆弧的长,r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r 为圆的半径。留意钟表指针所转过的角是负角。（ 7）弧长公式：。半径公式：。 扇形面积公式：。二、任意角的三角函数：（ 1）任意角的三角函数定义：以角的顶点为坐标原点,始边为x 轴正半轴建立直角坐标系,在角的终边上任取一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

4、师归纳总结异于原点的点Px, y ,点 P 到原点的距离记为r ,就 sin。 cos。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan。 cot。 sec。 csc。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：角的终边上一点a,3a ,就cos2 sin。留意 r0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线。yyyyaaxaxxaOOOO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结比较 x 0, , sinx ,2tan x , x 的大小关系：。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）特别角的三角函数值：0

5、364322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin costancot三、同角三角函数的关系与诱导公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）同角三角函数的关系平方关系倒数关系tancot=1商数关系sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin2+ cos2=1 , 1+tan2=1, 1+cot2=cos21sin 2cos=tan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作用：已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值。2k：,。：,。：,。2：,。：,。：,。（ 2）诱导公式：2

6、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2：,。：,。3232诱导公式可用概括为：2K,-,2, 32的三角函数奇变偶不变,符号看象限的三角函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作用： “去负脱周化锐” ,是对三角函数式进行角变换的基本思路即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数去负。利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间0 o ,360 o或0 o,180o内的三角函数脱周。利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数化锐 .（ 3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值。可编辑资料 - - -

7、欢迎下载精品名师归纳总结留意：用平方关系,有两个结果,一般可通过已知角所在的象限加以取舍,或分象限加以争论。求任意角的三角函数值。步骤：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结任意负角的三角函数公式三、 一任意正教的三角函数求值公式一0o360o 角的三角函数0o90 o 角的三角函数公式二、四、五、六、七、八、九可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知三角函数值求角：留意：所得的解不是唯独的,而是有很多多个 步骤： 确定角所在的象限。如函数值为正,先求出对应的锐角1 。如函数值为负,先求出与其肯定值对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应的锐角1 。依据角所在

8、的象限,得出0 2间的角假如适合已知条件的角在其次限。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就它是1 。假如在第三或第四象限,就它是1 或 21 。假如要求适合条件的全部角,再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的全部角的集合。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 tanmcot 152, 就 s i n, cos。 。sin 3。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（ 3 ,4 ,5）。（ 6,8 ,10）。（ 5 ,12,13）。（ 8 , 15, 17）。四、三角函数图像和性质可编辑资料 - - - 欢迎下

9、载精品名师归纳总结1 周期函数定义定义对于函数f x,假如存在一个不为零的常数T ,使得当 x 取定义域内的每一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值时,f xT f x 都成立, 那么就把函数f x叫做 周期函数 ,不为零的常数 T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结叫做这个函数的 周期 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结请你判定以下函数的周期ysin xycosxy| cos x |ycos | x |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y|

10、s i nx |y=tan xy=tan |x|y=|tan x|ys i n| x |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k例 求函数 fx=3sinx5于 1 k30 的周期。并求最小的正整数k, 使他的周期不大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意懂得函数周期这个概念,要留意不是全部的周期函数都有最小正周期,如常函数f x c（ c 为常数）是周期函数,其周期是异于零的实数,但没有最小正周期可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结论： 如函数f xk f xk 对于任意的 xR ,那么函数 fx 的周可编

11、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结期 T=2k; 如函数f xk f kx) 对于任意的 xR ,那么函数 fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的对称轴是 x2 图像 xkkxk2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3。图像的平移对函数 y Asin x k A0,0, 0,k0, 其图象的基本变换有：(1) 振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A 的变化引起的 A 1, 伸长。 A1, 缩短(2) 周期变换 横向伸缩变换 ：是由 的变化引起的 1,缩短。 1, 伸长

12、(3) 相位变换 横向平移变换 ：是由 的变化引起的 0, 左移。 0,右移(4) 上下平移 纵向平移变换 :是由 k 的变化引起的 k 0,上移。 k 0, 下移四、三角函数公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两角和与差的三角函数关系sin=sincoscossincos=coscossinsin倍角公式sin2=2sincos22cos2=cos-sin=2cos2-1=1-2sin 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tantan1tantantantan 22 tan1tan2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下

13、载精品名师归纳总结积化和差公式sincos=1sin2+sin-+-sin-+cos-1半角公式1cos221cos21cossin, cos1cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cossin=sin2 221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结coscos=21sinsin= -coscos+-cos-tan1cos=sinsin1cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结和差化积公式sin+sin=2 sincos升幂公式1+cos= 2 cos22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s

14、in- sin= 2 cos22sin221-cos= 2 sin 221sin= sin2cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos+cos= 2 cos2cos21=sin222+ cos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos- cos= -tan+ cot=2 sin21sin22sin= 2 sin降幂公式cos22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sintan- cot= -2cot22cossin 2sin221cos 2 21 cos 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

15、结1+cos= 2 cos2cos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21-cos= 2sin2sin2+ cos2=11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1sin= sin2cos22sincos=sin 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三倍角公式：sin 33 sin4 sin 3。 cos 34 cos 33 cos。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、三角恒等变换：三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换才能,要学会创设条件,敏捷运用三角公式,把握运算,化简的方

16、法和技能常用的数学思想方法技巧如下：（ 1）角的变换：在三角化简,求值,证明中,表达式中往往显现较多的相异角,可依据角与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2是的二倍。 4是 2的二倍。是的二倍。2是的二倍。 3是 3的二242可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结倍。是的二倍。3622 是的二倍。430o可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 15o45o30o60o45 o。问： sin。 cos。可编辑资

17、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结。421212 。24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2 4 。等等4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）函数名称变换：三角变形中,经常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常化切、割为弦,变异名为同名。（ 3）常数代换：在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“ 1”的代换变形有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1sin 2cos 2sec2tan 2tancotsin 90otan 45o可编辑资料 -

18、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）幂的变换：降幂是三角变换经常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采纳降幂处理的方法。常用降幂公式有：。降幂并非肯定,有时需要可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结升 幂 , 如 对 无 理 式1cos常 用 升 幂 化 为 有 理 式 , 常 用 升 幂 公 式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有：。（ 5）公式变形：三角公式是变换的依据,应娴熟把握三角公式的顺用,逆用及变形应用。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1如：1tant a n t a n_ _ _ _ _ _ _ _ 。_11tan 。 1tan ta

19、ntan 。tan _ 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tantan 。 1tantan _ 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 tan。 1tan 2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan 20 otan 40o3 tan 20 o tan 40 o。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sincos=。asinbcos=。（其中 t a n。）1cos。 1c o s。（ 6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手。基本规章是：切割化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结理,和积互化,特别值与特别角的三角函数互化。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如： sin 50o 123 tan10o 4。 tancot。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c o s9cosc o s9cos 3c o s9cos 5。推广：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7cos 277cos 477cos 67。推广：可编辑资料 - - - 欢迎下载