空间向量立体几何教案 .docx

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1、精品名师归纳总结学习过程一、课前预备（预习教材 P102 P104，找出疑问之处）复习 1：可以确定一条直线。确定一个平面的方法有哪些？ 复习 2：如何判定空间 A,B,C 三点在一条直线上？复习 3：设 a a1 , a2 ,a3 ， b b1, b2 , b3 ， a b二、新课导学 学习探究探究任务一 ：向量表示空间的点、直线、平面问题 ：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中位置置？ 新知 ：uuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 点：在空间中，我们取肯定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 位置置就可以用向量OP 来表uuur示，我们把向量 OP 称为点 P 位置置

2、向量 . 直线：直线的 方向向量 ：和这条直线平行或共线的非零向量.uuuruuur对于直线 l 上的任一点 P ,存在实数 t ，使得 APt AB ，此方程称为 直线的向量参数方程. 平面：r r空间中平面位置置可以由内两个不共线向量确定.对于平面上的任一点 P , a, b 是平面内uuurrr两个不共线向量，就存在有序实数对 x, y ,使得 OPxayb .空间中平面位置置仍可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面位置置.rr 平面的法向量： 假如表示向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面，就称这个向量 n 垂直于平面rr,记作 n ，那么向量 n叫做平面的法向量 .试试 ：

3、.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 假如r ra, b 都是平面的法向量，就r ra,b 的关系 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrr2. 向量 n 是平面的法向量，向量 a 是与平面平行或在平面内，就n 与 a 的关系是 .反思 ：1. 一个平面的法向量是唯独的吗？2. 平面的法向量可以是零向量吗？ 向量表示平行、垂直关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设直线l , m 的方向向量分别为r ra, b ， 平面 ,的法向量 分别为r ru,v ， 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrrr可编辑资料 - - - 欢

4、迎下载精品名师归纳总结 l ma b rakb rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 l au rra u0rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结u v 典型例题ukv.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 已知两点A 1, 2,3 , B2,1, 3,求直线 AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与坐标平面 YOZ 的交点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 ：已知三点A 1,2,3 , B2,1,2 , P1,1,2uuuruuur,点 Q在 OP 上运动（ O

5、 为坐标原点） ,求当 QA . QB取得最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小值时 ,点 Q的坐标 .小结 ：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可.例 2 用向量方法证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，就这两个平面平行 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 ：在空间直角坐标系中,已知A 3,0,0, B0,4,0, C0,0,2,试求平面 ABC 的一个法向量 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小结 ：平面的法向量与平面内的任意向量都垂直. 动手试试r r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

6、结练 1. 设 a,b 分别是直线rrl1 ,l 2 的方向向量，判定直线l1 , l2 位置置关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a1,2,2 , b2,3,2。rr a0,0,1 , b0,0,3.r r练 2. 设 u, v 分别是平面,的法向量，判定平面,位置置关系：rr u1,2,2 , v2,4,4。rr u2,3,5 ,v3,1, 4 .三、总结提升 学习小结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 空间点，直线和平面的向量表示方法2. 平面的法向量求法和性质. 学问拓展 ：求平面的法向量步骤 r ：设平面的法向量为nx, y, z 。找出 求出

7、平面内的两个不共线的向量的坐标。依据法向量的定义建立关于x, y, z 的方程组。解方程组 ,取其中的一个解 ,即得法向量 .计分. 当堂检测 （时量： 5 分钟满分： 10 分）：rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 设 a2,1, 2 , b6,3,6分别是直线l1 ,l 2 的方向向量，就直线l1 , l 2 位置置关系是 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 设 ur2, 2,5 , v6,4, 4分别是平面,的法向量，就平面,位置置关系是 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.

8、已知 n，以下说法错误的是（）rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 如 a，就 naB. 如 a /，就 na可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结urC. 如 m, ，就rurn / murD. 如 mrur, ，就 nm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 以下说法正确的是（）A. 平面的法向量是唯独确定的B. 一条直线的方向向量是唯独确定的C. 平面法向量和直线的方向向量肯定不是零向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ur如D. m 是直线 l 的方向向量，uuuruuurl /ur，就 m /可编辑资料 - - - 欢迎下载精

9、品名师归纳总结5. 已知 AB1,0,1 , AC10,3,1，能做平面 ABC 的法向量的是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.1,2,1B.课后作业1,13C. 1,0,0D.2,1,3uuuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 在正方体ABCDA1B1C1D1 中，求证：DB1是平面ACD1 的一个法向量 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知 AB2,2,1 , AC4,5,3，求平面 ABC 的一个法向量 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.

10、2 立体几何中的向量方法（ 2）学习目标1. 把握利用向量运算解几何题的方法，并能解简洁的立体几何问题。2. 把握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的运算方法.学习过程一、课前预备（预习教材 P105 P107，找出疑问之处 .rrrrurrrur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复习 1：已知a . b1 ， a1, b2 ，且 m2ab ，求 m .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复习 2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范畴是什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、新课导学 学习探究探究任务一 ：用向量求空间线段的

11、长度问题 ：如何用向量方法求空间线段的长度？新知 ：用空间向量表示空间线段，然后利用公式rr 2aa求出线段长度 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结试试 ：在长方体ABCDA B C D 中，已知 AB1, BC2,CC 1 ,求AC 的长 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反思 ：用向量方法求线段的长度，关键在于把未知量用已知条件中的向量表示. 典型例题例 1 如图，一个结晶体的势状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是 60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么

12、关系？4 / 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 1：上题中平行六面体的对角线BD1 的长与棱长有什么关系？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 2：假如一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗.探究任务二 ：用向量求空间图形中的角度例 2 如图，甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B 处.从 A， B 到直线 l （库底与水坝可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的交线）的距离AC, BD 分别为a, b

13、， CD 的长为 c ， AB 的长为 d .求库底可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与水坝所成二面角的余弦值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 ：如图， 60 的二面角的棱上有A, B 两点，直线AC, BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结都垂直于AB, 已知 AB4, AC6, BD8 ,求 CD 的长 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 动手试试练 1. 如 图 ， 已 知 线 段 AB在 平 面 内 ， 线 段 AC， 线 段 BD AB

14、 ， 线 段DD ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DBD30o ，假如 AB a， AC BD b，求 C、D 间的距离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练 2. 如图， M、N 分别是棱长为 1 的正方体MN 与 CD 所成的角 .ABCDA B C D 的棱BB 、 B C 的中点求异面直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、总结提升 学习小结1. 求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式rr 2aa。可编辑资料 - - - 欢

15、迎下载精品名师归纳总结2. 空间的二面角或异面直r 线r 的夹角，都可以转化为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用公式 cos 学问拓展r ra,ba brr 求解 .ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解空间图形问题时 ,可以分为三步完成 :（ 1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题 仍常建立坐标系来帮助。（ 2）通过向量运算，讨论点、直线、平面之间位置置关系以及它们之间距离和夹角等问题。（ 3）把向量的运算结果 “翻译 ”成相应的几何意义. 当堂检测 （时量： 5 分钟满分： 10 分） 计分

16、：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 已知A 1,02 , B1,1,3，就 AB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知cosr ra,b1 ，就2r ra,b 的夹角为 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 如 M、N 分别是棱长为 1 的正方体的角的余弦为（）ABCDA B C D 的棱A B , BB的中点 ,那么直线AM ,CN 所成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.3B.10210C. 35D. 2 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 将锐角为 60 边长为 a 的菱形 ABCD 沿较短的

17、对角线折成60 的二面角，就（）A. 3 aB.3 aC. 3 aD.3 aAC, BD 间的距离是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12244uuuuruuuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 正方体ABCDA B C D 中棱长为 a ，AMAC 3, N 是 BB 的中点，就 MN 为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.21 aB.6 aC.15 a D.15 a6663可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结课后作业1.如图，正方体ABCDA B C D 的棱长为 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结M ,

18、 N 分别是 BB , B C 的中点，求： MN ,CD 所成角的大小。 MN , AD 所成角的大小。 AN 的长度 . 3.2 立体几何中的向量方法（ 3）.学习目标1. 进一步娴熟求平面法向量的方法。2. 把握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的运算方法。3. 娴熟把握向量方法在实际问题中的作用.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.学习过程 一、课前预备复习 1：已知A 1,2,0 , B0,1,1 , C1,1,2，试求平面 ABC 的一个法向量 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复习 2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？

19、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、新课导学 学习探究探究任务一 ： 点到平面的距离的求法ruuurr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结问题 ：如图 A, 空间一点 P 到平面的距离为 d ,已知平面的一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线 ,uuurr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结能否用 AP 与 n 表示 d .Purn7 / 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析 :过 P 作 PO 于 O,连结 OA,就uuuruuurd=| PO |=| PA | cosAPO.uuurr PO , n,uuurr可编辑资料 -

20、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结 PO n . cos APO=|cosuuur D. =| PA |cosuuur r PA, n | uuur rPA,n |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuurruuur ruuurr| PA | | n | | cos PA, n | PA n |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=uur=| n |uur| n |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结新知 ：用向量求点到平面的距离的方法：r设 A, 空间一点 P 到平面的距离为 d ,平面的一个法向量为 n ，就uuurr| PA . n |可编辑资料

21、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结D. =uur| n |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结试试 ：在棱长为 1 的正方体 ABCDA B C D 中，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求点 C 到平面A BCD 的距离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反思 ：当点到平面的距离不能直接求出的情形下，可以利用法向量的方法求解. 典型例题例 1 已知正方形 ABCD 的边长为 4， E、F 分别是 AB 、AD 的中点， GC平面 ABCD ，且 GC 2，求点 B 到平面 EFG 的距离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 ：如

22、图 , ABCD 是矩形 , PD平面 ABCD , PDDCa , AD点,求点 A 到平面 MNC 的距离 .2a , M 、N分别是 AD、PB 的中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PNDCM8 / 13AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小结 ：求点到平面的距离的步骤：建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标。求平面的一个法向量的坐标。找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标。代入公式求出距离.探究任务二 ： 两条异面直线间的距离的求法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 如图，两条异面直线a,b 所成的角为，在直线a,

23、b 上分别取点A , E 和A, F ,使得 AAa ,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AAb.已知A Em, AFn, EFl ，求公垂线AA 的长 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 ：已知直三棱柱ABC A1 B1C1 的侧棱AA14 ,底面 ABC 中,ACBC2 ，且BCAo90 , E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是 AB 的中点 ,求异面直线 CE 与AB1 的距离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r小结 ：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公

24、垂线方向的一个向量n ，再在两ruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结条直线上分别取一点三、总结提升 学习小结A, B ，就两条异面直线间距离n . ABduur求解 .n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 空间点到直线的距离公式2. 两条异面直线间的距离公式 学问拓展用向量法求距离的方法是立体几何中常用的方法. 当堂检测 （时量： 5 分钟满分： 10 分） 计分：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 在棱长为 1 的正方体ABCDA B C D 中，平面ABB A 的一个法向量为。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

25、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.在棱长为1 的正方体ABCDA B C D 中，异面直线A B 和 CB 所成角是。3.在棱长为1 的正方体ABCDA B C D 中，两个平行平面间的距离是。4. 在棱长为1 的正方体ABCDA B C D 中，异面直线A B 和 CB 间的距离是。5. 在棱长为离是 .1 的正方体ABCDA B C D 中，点 O 是底面 A B C D 中心，就点课后作业O 到平面ACDB 的距可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，点 M 是棱AA

26、1 中点，点 O 是 BD1 中点，求证： OM 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结异面直线AA1 与 BD1 的公垂线，并求 OM 的长.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9 / 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 如图，空间四边形 OABC 各边以及运算 DE 的长。求点 O 到平面 ABC 的距离 .AC, BO 的长都是 1，点D, E 分别是边OA, BC 的中点，连结 DE .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第三章空间向量（复习）学习目标1. 把握空间向量的运算及其坐

27、标运算。2. 立体几何问题的解决娴熟把握向量是很好的工具.学习过程一、课前预备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（预习教材 P115 116，找出惑之处）复习 1：如图，空间四边形OABC 中，uuuur中点，就 MNuuurr uuurr uuurrOAa, OBb,OCc .点 M 在 OA 上，且 OM= 2MA , N 为 BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuurr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复习 2：平行六面体ABCDA B C D 中， ABa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuurruuurr可编辑资料 - -

28、 - 欢迎下载精品名师归纳总结ADb, AAc ，点 P,M,N 分别是CA ,CD , C D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的中点，点 Q 在 CA 上，且r r rCQ : QA4 :1 ,用基底可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a,b,c表示以下向量：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuuuruuuruuru可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AP ; AM; AN; AQ .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 主要学问点：1. 空间向量的运算及其坐标运算：空间向量是平面对量的推广, 有关运算方法几乎一样

29、 ,只是 “二维的 ”变成 “三维的 ”了 .2. 立体几何问题的解决向量是很好的工具可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平行与垂直的判定角与距离的运算 典型例题例 1如图 ,一块匀称的正三角形面的钢板的质量为500kg ，在它的顶点处分别受力uurF1 、uur F2uru、 F3 ，每可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ouuruuruur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60 ，且 F1F2F3200kg .这块钢板在这些力的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作用下将会怎样运动？这三个力最小为多

30、大时，才能提起这块钢板？变式 ：上题中，如不建立坐标系，如何解决这个问题？小结 ：在现实生活中的问题，我们可以转化我数学中向量的问题来解决，详细方法有坐标法和直接向量运算法，对能建立坐标系的题，尽量使用坐标运算会给运算带来便利.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 如图，在直三棱柱ABCA1 B1C1 中，ABC90 , CB1,CA2, AA16 ,点 M 是 CC1 的中点，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证： AMBA1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 ：正三棱柱ABCA1 B1C1 的底面边长为 1，棱长为 2，点 M 是 B

31、C 的中点，在直线CC1 上求一点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结N，使 MNAB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3如图，长方体ABCDA1 B1C1D1 中，点 E,F 分别在BB1 , DD1 上，且AEA1 B , AFA1 D .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证：A1C平面 AEF ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 AB4, AD3, AA15 时，求平面 AEF 与平面D1 B1 BD 所成的角的余弦值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 动手

32、试试练 1.如图，正三棱柱ABCA1 B1C1 的底面边长为 a ，侧棱长为2a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结试建立适当的坐标系，写出点A, B, A1 ,C 1 的坐标求 AC1 的侧面 ABB1A1 所成的角 .ruuurruuurr练 2. 已知点 A1,-2,0, 向量 a3, 4,12，求点 B 的坐标，使得AB / a ，且 AB2a .三、总结提升 学习小结1. 空间向量的运算与平面对量的方法相同。2. 向量的数量积和平面的法向量是向量解决立体几何问题常用的方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 学问拓展如二面角两个面的法向量分别是uur u

33、uruur uur n1 , n2，二面角为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 coscos n1, n2，而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosn1 n2r , rn1 . n2rr| n1 | n2 |rr. 当堂检测 （时量：r 1.已知 ar 1,1,0 ,b5 分钟满分： 10 分） 计分：1,0,2r，且 kar br 2 arb ，就 k。r2. 已知 ar 1t,2 t1,0 , brr2, t, t，就 ba 的最小值是（）A.5B.6C.2D.33.空间两个单位向量uuur OAuuur m,n,0 ,OBuuur 0, n, p 与 OC1,1,1 的夹角都等于，就 cosAOB44.将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角后，异面直线AB,CD 所成角的余弦值为.5. 正方体 ABCDuuuur A1B1C1D1 的棱长为 a ， AM1 uuuur3AC1 ,N 是 BB1 的中点，就MN （）A.21 a6B.6 a6C.15 a6D.15 a3课后作业1.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1 B1C1 D1 中，点 E, F, G 分别为 DD 1, BD, BB1 的中点 .求证： EFCF ; 求 EF 与 CG 所成角的余弦值。求 CE 的长 .可编辑资料 - - - 欢迎下载