[理学]气体动理论.ppt

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1、2上节内容回顾上节内容回顾一一. 热热平衡态：平衡态：二二 热平衡定律（热力学第零定律）热平衡定律（热力学第零定律）“分别与第三个系统处于同一热平衡态的两分别与第三个系统处于同一热平衡态的两个系统必然也处于热平衡。个系统必然也处于热平衡。” 三三 温度：温度： 处于同一热平衡态下的热力学系统处于同一热平衡态下的热力学系统所具有的共同的宏观性质。所具有的共同的宏观性质。四四 . 温标温标（temperature scales） 五五. 理想气体的物态方程的另一种形式理想气体的物态方程的另一种形式RTMmpV nkTp 3一一 . 理想气体的微观假设理想气体的微观假设1.关于每个分子的力学性关于每

2、个分子的力学性质质2.关于大量分子的统计假设（对平衡态）关于大量分子的统计假设（对平衡态）二二. 理想气体压强公式的推导理想气体压强公式的推导 t32 np 气体压强公式气体压强公式三三 方均根速率方均根速率mkT32 vMRT3 4T是大量分子热运动平均是大量分子热运动平均平动平动动能的量度。动能的量度。温度的统计意义：温度的统计意义：2.3 能量均分定理能量均分定理一一. 气体分子自由度气体分子自由度（degree of freedom）i = t =31.单原子分子单原子分子（monatomic molecule）2. 双原子分子双原子分子 （biatomic molecule）i =

3、t + r + v = 63. 多原子分子多原子分子 （multi-atomic molecule） i = t + r + v = 3N5一个平动自由度对应的一个平动自由度对应的平均平均动能为动能为kT21kTmmmzyx21212121222 vvv即：即： 能量均分定理能量均分定理由于分子碰撞频繁，平均地说，能量分配由于分子碰撞频繁，平均地说，能量分配没有任何自由度占优势。没有任何自由度占优势。即：即：在温度为在温度为T 的平衡态下，的平衡态下， 分子热运动的每一分子热运动的每一个自由度所对应的平均动能都等于个自由度所对应的平均动能都等于kT21 23 tkT 3 t由由及及有：有：二二

4、 . 能量均分定理能量均分定理（ equipartition theorem）6能量均分定理能量均分定理的更普遍的说法是：的更普遍的说法是：的平均能量。的平均能量。能量中每具有一个平方项，能量中每具有一个平方项， 就对应一个就对应一个kT21 能量均分定理不仅适用于气体，也适用于液体能量均分定理不仅适用于气体，也适用于液体和固体，和固体， 甚至适用于任何具有统计规律的系统。甚至适用于任何具有统计规律的系统。对有振动（非刚性）的分子：对有振动（非刚性）的分子：i = t + r + v 振动势能也是平方项，振动势能也是平方项，v kT21kP kTv kPv 7kTrt21)2(vrt v 根据

5、量子理论，能量是分立的，根据量子理论，能量是分立的，的能级间距不同。的能级间距不同。振动能级间隔大振动能级间隔大转动能级间隔小转动能级间隔小平动能级连续平动能级连续eV)1010(53 eV)1010(12 一般情况下（一般情况下（T j )由由 T 决定决定由由 V 决定决定对理想气体：对理想气体：， 0p ij ； )(TEE （不包括系统整体质心运动的能量）（不包括系统整体质心运动的能量）),(VTE 相互作用势能相互作用势能 pij系统内部各种形式能量的总和。系统内部各种形式能量的总和。11刚性分子理想气体内能：刚性分子理想气体内能： ：气体系统的气体系统的摩尔摩尔（mol）数数NkT

6、iE 2AANTNRi 2RTi 2 12结论：结论：一定质量的某种理想气体的内能，只取一定质量的某种理想气体的内能，只取 决于分子的决于分子的自由度自由度和气体的和气体的温度温度，与气，与气 体的体积、压强无关。体的体积、压强无关。即：内能是温度的单值函数！即：内能是温度的单值函数！RTiE 21314讨论讨论 当盛有理想气体的密封容器相对某惯当盛有理想气体的密封容器相对某惯性系运动时，有人说：性系运动时，有人说：“容器内的气体分容器内的气体分子相对该惯性系的速度也增大了，从而气子相对该惯性系的速度也增大了，从而气体的温度就升高了体的温度就升高了”。对否？为什么？若。对否？为什么？若容器突然

7、停止运动，容器内气体的状态将容器突然停止运动，容器内气体的状态将如何变化？如何变化？152.1 理想气体的压强理想气体的压强2.3 能量均分定理能量均分定理2.4 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律2.5 麦克斯韦速率分布的实验验证麦克斯韦速率分布的实验验证*2.6 玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布2.7 真实气体等温线真实气体等温线*2.8 范德瓦耳斯方程范德瓦耳斯方程2.9 气体分子的平均自由程气体分子的平均自由程*2.10 输运过程输运过程2.2 温度的统计意义温度的统计意义本章目录本章目录16一一 . 速率分布函数速率分布函数要深入研究气体的性质，要深入研究气体的性质，一步弄清分子按速率和按

8、一步弄清分子按速率和按能量等的能量等的分布分布情况。情况。等等；，如如 v 2t 不能光是研究一些平均值，不能光是研究一些平均值，还应该进还应该进整体上看，气体的速率分布是有统计规律性的。整体上看，气体的速率分布是有统计规律性的。麦克斯韦麦克斯韦2.4 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律17viNi0一种是像前面那样用分立数据描写：一种是像前面那样用分立数据描写： v1， v2 vi N1，N2 Ni 描写分子的速率分布可以有两种方式：描写分子的速率分布可以有两种方式：这种描写既繁琐，又不能很好地体现统计这种描写既繁琐，又不能很好地体现统计的规律性。的规律性。18另一种是另一种是用连续的分布

9、函数来描述：用连续的分布函数来描述：设：设：dNv 为速率为速率v v +dv 区间内的分子数，区间内的分子数，N 为总分子数，为总分子数，则：则：， vvddNN 即即vvdd NN由于由于dNv / N 是速率是速率v 附近附近dv 区间的分子数与区间的分子数与写成：写成：， vvvd)(dfNN 总分子数之比，总分子数之比，所以它应与所以它应与v 的大小有关，的大小有关， 可以可以即即vvvdd)(NNf （function of distribution of speeds）称称速率分布函数速率分布函数)(vf19占总分子数的比例。占总分子数的比例。” vvvdd)(NNf 由定义式由

10、定义式可看出可看出 f (v)的意义是：的意义是： 因为因为 01d vvNN 所以所以 01d)(vvf这称为速率分布函数这称为速率分布函数的的归一化条件归一化条件。， vv 0dNN 即即 “ 在速率在速率v 附近，附近， 单位速率区间内的分子数单位速率区间内的分子数 对于速率分布函数我们还可以用概率的概念对于速率分布函数我们还可以用概率的概念来理解：来理解：20率率v 附近单位速率区间的附近单位速率区间的概率，也可以叫做概率，也可以叫做分子速率分布的概率密度。分子速率分布的概率密度。对于一个分子来说，对于一个分子来说，f (v) 就是分子处于速就是分子处于速 各个分子的速率不同，可以看成

11、是一个分子各个分子的速率不同，可以看成是一个分子具有不同速率的概率不同；具有不同速率的概率不同； dNv /N就是一个分子的速率在就是一个分子的速率在v附近附近dv区间内区间内的概率；的概率； 那么归一化条件的概率意义就是一个分子具那么归一化条件的概率意义就是一个分子具有无论什么速率的概率，这个确定发生的事件，有无论什么速率的概率，这个确定发生的事件，概率当然等于概率当然等于1了了。21二二 . 麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数 1859年年麦克斯韦麦克斯韦（Maxwell）导出了理气在导出了理气在无外场的平衡态（无外场的平衡态（T）下，）下， 分子分子速率分布函数速率分布函数为：为：

12、22/2/32)2(4)(vvv kTmekTmf f(v)0v v +dvNNfvvvdd)( T，m 一定一定vm 气体分子的质量气体分子的质量曲线下面的总面积等于曲线下面的总面积等于1。在左图上的几何意义为：在左图上的几何意义为： 01dvvf归一化条件归一化条件22 麦克斯韦速率分布是大量分子的统计规律性。麦克斯韦速率分布是大量分子的统计规律性。碰撞使得个别分子的速率变化是随机的，碰撞使得个别分子的速率变化是随机的，概率概率的原则使得大量分子通过频繁碰撞达到的原则使得大量分子通过频繁碰撞达到 v 很小很小和和v 很大的概率都必然很小。很大的概率都必然很小。23三三. 三种统计速率三种统

13、计速率 1.最概然（可几）速率最概然（可几）速率（most probable speed）相应于速率分布函数相应于速率分布函数 f(v)的极大值的极大值的速率的速率v p 称为最概然速率。称为最概然速率。 f(v)0vpT，m 一定一定vTMRTmkT 22pv处在最概然速率处在最概然速率 v p 附近附近就单位速率区间来比较，就单位速率区间来比较，的分子数占总分子数的百分比最大。的分子数占总分子数的百分比最大。如图示，如图示， 0d)(d P vvvvf由由有：有：2412/18)( ekTmfpv 当分子质量当分子质量 m 一定时，一定时， )(ppfTvv速率大的分子数比例越大，速率大的

14、分子数比例越大， f(v)0vp1m 一定一定vvp2T1T2 T1 mkT2pv气体分子的热运动越激烈。气体分子的热运动越激烈。左图表明：左图表明： 温度越高，温度越高，25 iiiNN vv分立：分立：连续：连续：vi v， 对麦氏速率分布经计算得：对麦氏速率分布经计算得：MRTmkT88 v NNNN00ddvvvv NNNvvd0 0d)(vvvfNi dNv=N f (v)dv，2.平均速率平均速率（average speed）平均速率平均速率 任意函数任意函数 (v)对对全体分全体分子按速率分布的子按速率分布的平均值：平均值： 0d)()(vvvvf 26 例例 设某气体的速率分布

15、函数设某气体的速率分布函数)0(02vv v ，a )(vf)(00vv ，求：求：（3）速率在）速率在200v 之间分子的平均速率之间分子的平均速率v 解：解：（1）常量）常量 a 和和 v0 的关系的关系v（2）平均速率）平均速率1d)(0 vvf3000231dd)(0vvvvvvaaf （1）归一化条件）归一化条件303v a)(vfvv00为为27（2）设总分子数为）设总分子数为N，（3） 202000d)(d)(vvvvvvvvvfNNf则则对否？对否？不对！不对！ 上式分母上的上式分母上的N应为应为 200d)(vvvNf 202000d)(d)(vvvvvvvvff323424

16、)()(00vvaa vv 083NNf 0d)(vvvv 0d)(vvvf404va 002dvvvv a0403043)3(41vvv 28（与前同）（与前同） 讨论分子平均平动动能时用讨论分子平均平动动能时用 讨论分子碰撞问题时用讨论分子碰撞问题时用 讨论分子的速率分布时用讨论分子的速率分布时用pvv2v 3. 方均根速率方均根速率（root-mean-square speed） MRTmkT332 vmkTf3d)(022 vvvv（麦）（麦）73. 1:60. 1:41. 13:8:2:2p v v v 29 整个速率范围整个速率范围（全体分子）（全体分子）的某一的某一物理量物理量

17、的平均值的平均值0 x0( )xxf v dv 4. 利用麦克斯韦速率分布函数计利用麦克斯韦速率分布函数计 算算微观量的平均值微观量的平均值08( )RTvvf v dv 30 速率范围内速率范围内（部分分子）（部分分子）的某一物的某一物理量理量 平均值平均值12vv2121( )( )vvvvxf v dvxf v dv x21( )vvxf v dv 31（1 1）最可几）最可几速率和平均速率的物理意义各速率和平均速率的物理意义各 是是什么？有人认为最可几什么？有人认为最可几速率就是速速率就是速 率分布中的最大速率值，对吗？率分布中的最大速率值，对吗？ 如果把整个如果把整个速率范围速率范围

18、分成分成许多许多相等的相等的小区间的话小区间的话, ,则则最可几最可几速率速率所在的区间内的分子数占总分子数的百所在的区间内的分子数占总分子数的百分比分比最大最大。物理意义物理意义 最可几最可几速率：速率：32 认为最可几认为最可几速率就是速率分布中的最大速率就是速率分布中的最大 速率值，对吗？速率值，对吗？ 不对不对 平均平均速率：所有分子速率的平均值速率：所有分子速率的平均值33（2 2）一个分子具有最可几）一个分子具有最可几速率的几率是多速率的几率是多 少？少？ 等于零等于零dvvfNdN)(0dv一个分子具有任何一个分子具有任何定值定值速率速率的几率的几率等于零等于零0NdN34（3）

19、麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中）麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中 A、B两部分两部分面积面积相等，这说明什么？相等，这说明什么？0vAB( )dSf v dv dNN 00( )vASf v dv 000vNdNN 00vNN v)(vf0350( )BvSf v dv 0vNdNN 0vNN 说明：说明：百分比的分子数占总分子数的速率区间内子数的百分比总分速率区间内的分子数占000vv或：或：速率区间内的分子数速率区间内的分子数000vv36dvvfpv)(dvvfvm0)(22dvvNfvmvv21)(22（4）说明下列各式的物理意义）说明下列各式的物理意义37清楚清楚 、 、 代表

20、什么，并且将代表什么，并且将表达式用（物理）语言描述出来。表达式用（物理）语言描述出来。 说明某一个含有麦克斯韦速率分布函数说明某一个含有麦克斯韦速率分布函数 的物理意义：的物理意义：( )f v( )dNf vNdv首先：首先：其次：其次：化简表达式化简表达式dNNdv最后：最后：38dvvfpv)( ( )pPvvdvdNf vNvdvd PvNN 物理意义：物理意义：分子数的百分比总速率区间内的分子数占pv39dvvfvm0)(22NdNvmdvvfvm2022)(20NdNvm022分子总数所有分子平动动能总和 物理意义：物理意义： 一个分子的一个分子的平均平动平均平动动能动能40dv

21、vNfvmvv21)(22dNvmvv2212子的平动动能之和速率区间内所有分21 vv 物理意义：物理意义：练习：练习：的物理意义说明dvvfvmvv21)(2241 物理意义：NdNvmdvvfvmvvvv2121222)(2的贡献。动能的平动动能对平均平动速率区间内所有分子21 vv42 多次观察某一分子的速率，发现速率多次观察某一分子的速率，发现速率 大于大于 的几率的几率 分布在分布在 速率区间内的分子的速率区间内的分子的 平均速率平均速率 速率大于速率大于 的那些分子的平均速率的那些分子的平均速率 速率大于速率大于 的分子数的分子数（5）用总分子数）用总分子数 ，气体分子速率，气体

22、分子速率 和速和速 率分布函数率分布函数 表示下列各量表示下列各量Nv( )f v0v0v12vv0v43 速率大于速率大于 的分子数的分子数0v0vN 0vdN 0( )vN f v dv 速率大于速率大于 的那些分子的平均速率的那些分子的平均速率0v0vv vdNdN 00( )( )vvvNf v dvNf v dv 00( )( )vvvf v dvf v dv 44 分布在分布在 速率区间内的分子速率区间内的分子 的平均速率的平均速率12vv12vvv2121( )( )vvvvvf v dvf v dv 45 多次观察某一分子的速率，发现速率多次观察某一分子的速率，发现速率 大于大

23、于 的几率的几率0v速率大于速率大于 的几率的几率0v总观察次数的次数观察到速率大于0v0VNN 0vdNN vdvfv0)(46例例1 1 有有N N个分子，其速率分布函数为个分子，其速率分布函数为 （ 已知）已知） 求：（求：（1 1）画出速率分布曲线；）画出速率分布曲线； （2 2）常数）常数C C； （3 3）分子的平均速率）分子的平均速率)( , 0)0 ( ,)(00vvvvCvf0vN，47（1 1）画出速率分布曲线）画出速率分布曲线00,(0)( )0,()Cvvf vvv Ov)(vf0vC（2 2）常数）常数C C （归一化条件）（归一化条件）0( )1f v dv 00v

24、Cdv 00vdv 1 01Cv 48（3 3）分子的平均速率）分子的平均速率0( )vvf v dv 00vvCdv 02v 49练习练习已知速率分布函数为已知速率分布函数为 ，且，且 是最是最 可几可几速率，写出速率，写出 速率速率的分子平的分子平 均速率公式。均速率公式。例例2 2 一个分子的平均动能和平均平动动能一个分子的平均动能和平均平动动能 有何不同？有何不同？pvv ( )f vPv平均动能平均动能+ +平均平均转动转动动能动能= =平均平均平动平动动能动能50( )( )ppvvvf v dvvf v dv 512.9 气体分子的平均自由程气体分子的平均自由程碰撞在分子运动中是

25、个最活跃的因素，碰撞在分子运动中是个最活跃的因素，它在气体动理论中占有重要地位：它在气体动理论中占有重要地位：非平衡非平衡平衡平衡碰撞碰撞一一. 平均碰撞频率与平均自由程的定义平均碰撞频率与平均自由程的定义平均次数。平均次数。 平均碰撞频率平均碰撞频率(mean collision frequency)：z单位时间内一个气体分子与其它分子碰撞的单位时间内一个气体分子与其它分子碰撞的 自由程自由程52平均自由程平均自由程（mean free path）： zv 相邻两次碰撞间飞行的平均路程相邻两次碰撞间飞行的平均路程 二二. 平均碰撞频率与平均速率的关系平均碰撞频率与平均速率的关系 理想气体，在

26、平衡态下，并理想气体，在平衡态下，并假定：假定： （1）只有只有一种分子一种分子； （2）分子可视作直径为分子可视作直径为 d 的的刚球刚球；u（3）被考虑的分子以被考虑的分子以平均平均相对速率相对速率 运动，运动，其余的分子静止。其余的分子静止。气体分子在气体分子在53 碰撞截面碰撞截面 （collision cross-section）u 单单位位时时间间内内扫扫过过的的体体积积undnuz2 uvv 碰撞夹角碰撞夹角 有各种可能（有各种可能（0 180 ）中心在中心在 扫过的柱体内的分子都能碰撞扫过的柱体内的分子都能碰撞 2ddu2 d n 90 v2 uv22ndz 54三三 . 平均

27、自由程与压强平均自由程与压强、温度的关系温度的关系ndz221 vpT pdkT22 nkTp 1 710-810-7 0.7（灯泡内）（灯泡内）10-11 7103（几百公里高空）（几百公里高空）T = 273K：p(atm) (m)55求：求：? zm/s4258 MRTv325/m1069. 2 kTpn秒秒！）亿亿次次（/66s1058. 62192 v ndzm1046. 68 zv 记住记住数量数量级级解：解：T = 273K、 p = 1atm例例O2，d 3.610-10m，已知：已知：56为何多原子分子在碰撞中能看成球形？为何多原子分子在碰撞中能看成球形？说明：说明： kTJ

28、21212 JkT 2 在在 T = 300K 时：时：z 分子在碰撞中可视为球形分子在碰撞中可视为球形H2O2CO2N20.04071.941.391.453.19 10134.62 10125.45 10125.34 1012气体气体J(10-46 kg m2)(s1 57例例1.1.一定量理想气体先经一定量理想气体先经等容等容过程使温度升高为原过程使温度升高为原来的来的4 4倍，再经倍，再经等温等温过程使体积膨胀为原来的过程使体积膨胀为原来的 2 2倍。根据倍。根据 和和 ，则，则 增至原来的增至原来的2 2倍。倍。 再根据再根据 , ,可知可知 增至原来的增至原来的4倍。倍。 问：上面

29、的说法有没有错误？如果有，请改正。问：上面的说法有没有错误？如果有，请改正。22Zd vn 8kTvm Z212 d n 58解：解： 对平均碰撞次数对平均碰撞次数20002Zd v n 状态未变时：状态未变时：经经等容等容过程后：过程后：21112Zd v n 01VV 014TT 102ZZ 20082RT NdV 21182RT NdV 5922222Zd v n 12TT 122VV 1221ZZ 20ZZ 2211111822RT NZd v ndV 经等温过程后：22282RT NdV 60 对平均自由程对平均自由程状态未变时：状态未变时：NVdnd020202121经经等容等容过

30、程后：过程后：NVdnd12121212101VV 014TT 0161NVd2222112TT 122202 NVdnd121212121经经等温等温过程后：过程后：122VV 62例例2 2（44664466）今测得温度为今测得温度为t1=15，压强为，压强为 P1=0.76m汞柱高时，氩分子和氖分子的汞柱高时，氩分子和氖分子的 平均自由程分别为平均自由程分别为: 和和 。 求：求： （1）氖分子和氩分子）氖分子和氩分子有效直径有效直径之比之比=? （2） t2=20，压强为，压强为P2=0.15m汞柱高汞柱高 时，时， 氩分子的平均自由程氩分子的平均自由程8 6.710m 813.210

31、aNm ? 氩氩氩氩63氩氩氩nd221212eaaNNNdn71. 0aaNNdd氩氩解：解： （1）氖分子和氩分子有效直径之比）氖分子和氩分子有效直径之比=?PkTd221氩PkTdaN22164222121PkTdnd氩氩氩氩mTTPP71221105 . 3)(）（氩（2） t2=20，压强为，压强为P2=0.15m汞柱高时，汞柱高时， 氩分子的平均自由程氩分子的平均自由程65练习（练习（40554055）氨气在标准状态下的分子平均氨气在标准状态下的分子平均 碰撞次数为碰撞次数为5.42108s- -1, 分子平均自由分子平均自由 程为程为610- -6m, 若温度不变，气压降为若温度

32、不变，气压降为 0.1atm，则分子的平均碰撞次数变为？，则分子的平均碰撞次数变为？ 平均自由程变为？平均自由程变为？答案：答案：平均碰撞次数平均碰撞次数171042. 5sZ平均自由程平均自由程m510666气体动理论小结提纲气体动理论小结提纲一一. 模型与简化假设：模型与简化假设： 二二. 统计平均的思想：统计平均的思想：，2231vv x三三. 处理问题的方法：处理问题的方法：四四. 统计规律：统计规律：理气、理气、碰撞碰撞 v2u小柱体法、小柱体法、 比较法比较法能量均分、能量均分、 麦氏分布、麦氏分布、五五. 宏观规律：宏观规律：物态方程，物态方程，六六. 微观量的量级及与微观量的量级及与 p、T 的关系：的关系： ，zdnv，z 七七. 重要常量：重要常量：NA，R，k 本章结束本章结束67作业：作业：P87-P90 2.6，2.20，2.23作业：作业：P86-87 2.1 2.5P86-87 2.1 2.5