第二章分解因式知识点总结及例题.docx

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1、精品名师归纳总结一. 分解因式其次章分解因式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式 ,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系。因式分解与整式乘法的区分和联系: 1整式乘法是把几个整式相乘 ,化为一个多项式 ;2因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.二. 提公共因式法1. 假如一个多项式的各项含有公因式 ,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式 .这种分解因式的方法叫做提公因式法 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如:abacabc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

2、纳总结2. 概念内涵 :1因式分解的最终结果应当是“积” ;2公因式可能是单项式 ,也可能是多项式 ;3提公因式法的理论依据是乘法对加法的安排律,即:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mambmcmabc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 易错点点评 :1留意项的符号与幂指数是否搞错 ;2公因式是否提“洁净” ; 3多项式中某一项恰为公因式 ,提出后 ,括号中这一项为 +1,不漏掉.三. 运用公式法1. 假如把乘法公式反过来 ,就可以用来把某些多项式分解因式 .这种分解因式的方法叫做运用公式法 .2. 主要公式 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

3、(1) 平方差公式 :a 2b 2ab ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 完全平方公式 :a 22abb2ab 2a 22abb2 ab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结补充：欧拉公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a333 bc3abc abca 222b cabbcca可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 abcab 22bc 2ca 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精

4、品名师归纳总结3特殊的：（ 1）当 abc0 时,有 ab3c 33abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）当 c0 时,欧拉公式变为两数立方和公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 因式分解要分解究竟 .如 x4y 4x 2y2 x 2y2 就没有分解究竟 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 运用公式法 :(1) 平方差公式 : 应是二项式或视作二项式的多项式 ; 二项式的每项 不含符号 都是一个单项式 或多项式 的平方; 二项是异号 .(2) 完全平方公式 :应是三项式 ; 其中两项同号 , 且各为一整式的平方 ;仍有一项可正负

5、 , 且它是前两项幂的底数乘积的 2 倍.5. 因式分解的思路与解题步骤 :1先看各项有没有公因式 ,如有,就先提取公因式 ;2再看能否使用公式法 ;3用分组分解法 ,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4) 因式分解的最终结果必需是几个整式的乘积,否就不是因式分解 ;(5) 因式分解的结果必需进行到每个因式在有理数范畴内不能再分解为止.四. 分组分解法 :1. 分组分解法 :利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如: amanbmbnamnbmnab mn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 概念内涵 :

6、分组分解法的关键是如何分组 ,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可连续分解 ,分组后是否可利用公式法连续分解因式.3. 留意: 分组时要留意符号的变化 .五. 十字相乘法 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 对于二次三项式ax2bxc ,将 a 和 c 分别分解成两个因数的乘积 , aa1 a 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c c1解.c2 , 且满意 ba1c2a2c1a1a2,往往写成c1 c 2的形式,将二次三项式进行分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎

7、下载精品名师归纳总结如: ax 2bxca1xc1 a2 xc2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22. 二次三项式 xpxq 的分解:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p abq ab1ax 21bpxq xa xb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 规律内涵 :1懂得:把x2pxq 分解因式时 ,假如常数项 q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是正数,那么把它分解成两个同号因数 ,它们的符号与一次项系数 p 的符号相同 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2假如常数项

8、 q 是负数 ,那么把它分解成两个异号因数 ,其中肯定值较大的因数与一次项系数 p 的符号相同 ,对于分解的两个因数 ,仍要看它们的和是不是等于一次项系数 p.4. 易错点点评 :1十字相乘法在对系数分解时易出错 ;2分解的结果与原式不等 ,这时通常采纳多项式乘法仍原后检验分解的是否正确.提公因式法1. 把以下各式因式分解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2m（ 1） a x2abxm 1acx maxm 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） aab 32a 2 ba 22abba可编辑资料 - - - 欢迎下

9、载精品名师归纳总结2. 利用提公因式法简化运算过程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：运算1239871368268987136845698713685219871368可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 在多项式恒等变形中的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：不解方程组2xy3,求代数式 2 xy2 x3yx3 2xy 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5x3y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 在代数证明题中的应用n例：证明：对于任意自然数n, 322n 23n2n 肯定是 10 的倍数。可编辑资

10、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、中考点拨：例 1。因式分解 3x x例 2分解因式：4q12 2p 3x2 p1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型展现：例 1. 运算： 200020012001200120002000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例 2. 已知： xbxc （ b、c 为整数）是 x46x 225 及 3x 44x228x5的公因可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式,求 b、c 的值。例 3. 设 x 为整数,试判

11、定105xx x2) 是质数仍是合数,请说明理由。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【实战模拟】1. 分解因式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）4 m2 n312m3 n 22mn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n（ 2） a x2abxn 1acx nadx n1（ n 为正整数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3（ 3） aab2a 2 ba 22abba 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

12、 - 欢迎下载精品名师归纳总结112. 运算： 2102的结果是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222110010A. B.C.D.3. 已知 x、y 都是正整数,且 x xyy yx12 ,求 x、 y。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24. 证明： 817279913 能被 45 整除。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 化简： 1公式法xxx1xx1xx119 95x0,且当时,求原式的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【

13、分类解析】21. 把 a2 ab22b 分解因式的结果是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. aba2b2B. abab2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C. abab2D. a 22bb 22a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 在简便运算、求代数式的值、解方程、判定多项式的整除等方面的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3例：已知多项式 2xx2m有一个因式是 2 x1 ,求 m的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

14、纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 在几何题中的应用。2例：已知 a、b、c 是 ABC 的三条边,且满意 a22bcabbcac0 ,试判可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结断 ABC 的外形。4. 在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差肯定是8 的倍数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、中考点拨：3例 1：因式分解：x4 xy2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2：分解因式： 2x 3 y8x2 y28xy 3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题

15、型展现：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1例 1. 已知： am 211, bm 212 , cm3 , 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求 aa2 bba2 cc2bc 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2. 已知 abc0,a 3b3c30 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证： a3例 3. 如 xb5c505y327,x 2xyy229 ,求 x2y 的值。可编辑

16、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【实战模拟】1. 分解因式：2252可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） a2 3a1（ 2） xx2 yx 2 yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） a 2 xy 22a xy 3 xy 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结141可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知： xx3 ,求 x4x的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 如 a,b,c 是三角形的三条边,求证：a 2b 2c22bc0可编辑资料 -

17、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 已知：210 ,求2001 的值。5. 已知 a,b,c 是不全相等的实数,且abc0,abc33abc ,试求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33111111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） abc 的值。（ 2） abcbcac 的值。ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分组分解法【分类解析】1. 在数学运算、化简、证明题中的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1. 把多项式 2a a2a1a4a21 分解因式,所得的结果为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

18、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A . a 2C.a 2a1 2a1 2B.a2D.a 2a1 2a1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2. 分解因式 xx542. 在几何学中的应用xx32x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：已知三条线段长分别为a、b、c,且满意 aba , 2c 2b22ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：以 a、b、c 为三边能构成三角形3. 在方程中的应用例：求方程 xyxy 的整数解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、中考点拨

19、例 1.分解因式： 1mn2 22 mn 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2分解因式：x 2y 2xy 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3. 分解因式： x 33x 24x12 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、题型展现：例 1. 分解因式： m 2 n 214mnn21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2. 已知： ab2 21, cd2 21, 且acbd0 ,求 ab+cd 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3. 分解因式： x 32x3【

20、实战模拟】1. 填空题：（ 1） 分解因式： a 23ab 23b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 分解因式： x 2（ 3） 分解因式：12x mn14xy mn4 y 24 ym 3 n 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知： abc0,求 a3a 2 cabcb2 cb 3 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 分解因式：a 5a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

21、结4. 已知： x 2y2zA20, 是一个关于x, y, z的一次多项式,且x 3y 33z xyxzA ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结试求 A 的表达式。5. 证明： ab2ab ab21ab2a12 b1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结十字相乘法【分类解析】1. 在方程、不等式中的应用2例 1. 已知： x11x240 ,求 x 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4例 2. 假如 xx 3mx22mx2 能分解成两个整数系数的二次因式的积,试求 m 的值,可编辑资料 - -

22、- 欢迎下载精品名师归纳总结并把这个多项式分解因式。2. 在几何学中的应用例. 已知：长方形的长、宽为x、y,周长为 16cm,且满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xyx22 xyy220,求长方形的面积。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、在代数证明题中的应用2例. 证明：如 4 xy 是 7 的倍数,其中 x, y 都是整数,就 8x10xy3y 2 是 49 的倍可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数。424、中考点拨 例 1.把 4 x y例 2.5x 2 y29 y 2 分解因式的结果是。可

23、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2因式分解： 6 x7x5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结25、题型展现例 1. 如 xy2mx5y6 能分解为两个一次因式的积,就m 的值为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 1B. -1C.1D. 22例 2. 已知： a、b、c 为互不相等的数,且满意ac求证： abbc4 bacb。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3例 3. 如 x5x 27 xa 有一因式 x1 。求 a,并将原式因式分解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

24、结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【实战模拟】1. 分解因式：（ 1） a 2b 216ab39（ 2） 15x 2n7xn yn 14y2 n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） x 2223x22 x3x72可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 在多项式 xxxx1,2 ,3, 22 xx 3, 22 xx 1, 22 x3 ,哪些是多项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式 x 2422x10 x22x9 的因式？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 已知多项式 2 x3x 213xk有一个因式,求 k 的值,并把原式分解因式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24. 分解因式： 3 x5xy2 y 2x9 y4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 已知： xy0.5,x3y1.2 ,求 3x212 xy9 y 2 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载