2019数学新设计北师大选修2-3课件：第一章 计数原理 1.1.2 .ppt

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1、第2课时,一、两个原理的关系分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题.区别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法互相依存,只有各个步骤都完成才算做完这件事.,二、两个计数原理在解决计数问题中的用法在利用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析,分清是分类还是分步.,名师点拨分类加法计数原理、分步乘法计数原理的选择分类加法计数原理的各类方法是相互独立的,用任何一种方法都可以完成这件事.而分步乘法计数原理的各个步骤是相

2、互依存的,必须完成每个步骤,才能完成这件事.根据具体问题的特征,正确认识分类和分步的特征,才能正确选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决问题.,【做一做】现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为()A.232B.252C.472D.484解析若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色,则有444=64种;若2色相同,则有3264=144种;若红色卡片有1张,则剩余2张若不同色,有4344=192种,若同色,则有436=72种,所以共有64+144+192+72=472,故

3、选C.答案C,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)如果完成一件事情有n个不同步骤,在每一步中都有若干种不同的方法mi(i=1,2,3,n),那么完成这件事共有m1m2m3mn种方法.()(2)所有两位数中,个位数字比十位数字大的两位数共有72个.()(3)应用分类加法计数原理时为了避免漏掉某种情况,可以适当的重复.()(4)有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,那么不同的配法有12种.()答案(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例1】高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中

4、工厂甲必须有班级去,每班去哪个工厂可自由选择,则不同的分配方案有()A.16种B.18种C.37种D.48种分析可以先进行分类,然后对于每一类再进行分步完成.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解析方法一(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类,共分为三类:第一类,三个班级都去甲工厂,此时分配方案只有1种情况;第二类,有两个班级去甲工厂,剩下的班级去另外三个工厂,其分配方案共有33=9(种);第三类,有一个班级去甲工厂,另外两个班级去其他三个工厂,其分配方案共有333=27(种).综上所述,不同的分配方案有1+9+27=37(种).方法二(间接法)先计算3个班自由选择去哪个工厂的总数,再扣除甲工

5、厂无人去的情况,即444-333=37(种)方案.答案C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法.(2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的就按分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行.间接法:去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.(1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法?(2)从

6、这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种不同的选法?(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法?,解(1)分为三类:第一类,从国画中选,有5种不同的选法;第二类,从油画中选,有2种不同的选法;第三类,从水彩画中选,有7种不同的选法.由分类加法计数原理知,共有5+2+7=14种不同的选法.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)要完成的一件事是“从现有3种画中各选1幅画”.分三步:第一步,从5幅不同的国画中选1幅,有5种不同的选法;第二步,从2幅不同的油画中选1幅,有2种不同的选法;第三步,从7幅不同的水彩画中选1幅,有7种不同的选法.由分步乘法计数原理知,共有52

7、7=70种不同的选法.(3)分为三类:第一类是一幅选自国画,一幅选自油画.由分步乘法计数原理知,有52=10种不同的选法;第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有57=35种不同的选法;第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有27=14种不同的选法.所以共有10+35+14=59种不同的选法.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例2】用6种不同颜色为如图所示的广告牌着色,要求在A,B,C,D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色,求共有多少种不同的着色方法?分析按不同的分类标准有不同的计算方法,可以按A,D涂同色或不同色分类,也可以按四个区域所用颜色的种数分类.,探究一,探究二,探究

8、三,思维辨析,解(1)方法一:分类:第一类,A,D涂同色,有654=120(种)涂法,第二类,A,D涂异色,有6543=360(种)涂法,共有120+360=480(种)涂法.方法二:分步:先涂B区,有6(种)涂法,再涂C区,有5(种)涂法,最后涂A,D区域,各有4(种)涂法,所以共有6544=480(种)涂法.方法三:以四个区域涂n种颜色为标准分类,可知至少用三种颜色,最多用四种颜色.第一类:用三种颜色着色,A,D区域必须是同种颜色,有654=120(种)涂法.第二类:用四种颜色着色,四个区域的颜色均不相同,有6543=360(种)涂法.所以共有120+360=480(种)不同方法.,探究一

9、,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.涂色问题的基本要求是相邻区域不同色,但是不相邻的区域可以同色.因此一般以不相邻区域同色、不同色为分类依据,相邻区域可用分步涂色的办法涂色.2.涂色问题往往涉及分类、分步计数原理的综合应用,因此,要找准分类标准,兼顾条件的情况下分步涂色.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成的,现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有种.,解析先涂三棱锥P-ABC的三个侧面,然后涂三棱柱的三个侧面,由分步乘法计数原理,

10、共有3212=12(种)不同的涂法.答案12,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例3】已知集合M=1,-2,3,N=-4,5,6,-7,从两个集合中各取一个元素分别作为平面直角坐标系中点的横、纵坐标,则第一、二象限内不同的点的个数是多少?解可分两类.第一类:以集合M中的元素作为横坐标,集合N中的元素作为纵坐标.从集合M中任取一个元素有3种方法,要使点在第一、二象限内,则从集合N中只能取5,6两个元素中的一个,有2种方法.根据分步乘法计数原理,满足条件的点有32=6个.第二类:以集合N中的元素作为横坐标,集合M中的元素作为纵坐标.从集合N中任取一个元素有4种方法,要使点在第一、二象限内,则从集

11、合M中只能取1,3两个元素中的一个,有2种方法.根据分步乘法计数原理,满足条件的点有42=8个.根据分类加法计数原理,满足条件的点共有6+8=14个.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟按元素性质分类,按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法,区分“分类”与“分步”的关键,是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情,分类中的每一种方法都完成了这件事情,而分步中的每一种方法不能独立完成这件事情,只是向事情的完成迈进了一步.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,求有多少种不同的种植方法

12、.分析因为黄瓜必须种植,所以先将黄瓜种好,再依次选择其他土地上的种植蔬菜种类.解方法一(直接法):若黄瓜种在第一块土地上,则有321=6(种)不同种植方法.同理,黄瓜种在第二块、第三块土地上,均有321=6(种)不同种植方法.故不同的种植方法共有63=18(种).方法二(间接法):从4种蔬菜中选出3种,种在三块土地上,有432=24(种),其中不种黄瓜有321=6(种),故共有不同种植方法24-6=18(种).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因忽视题目的隐含条件而致误【典例】某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人,有多少种不同

13、的选法?易错分析完成这类题目首要的是读清楚题意.若对题目的隐含条件没有读出或理解不准确,则会导致出错.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解“完成一件事”指“从9人中选出会英语与日语的各1人”,故需分三类:既会英语又会日语的不当选;既会英语又会日语的按会英语当选;既会英语又会日语的按会日语当选.既会英语又会日语的有7+3-9=1(人),仅会英语的有6人,仅会日语的有2人.先分类后分步,从仅会英、日语的人中各选1人,有62种选法;从仅会英语与英、日语都会的人中各选1人,有61种选法;从仅会日语与英、日语都会的人中各选1人,有21种选法.根据分类加法计数原理,共有62+61+21=20(种)不同选

14、法.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得1.不要忽视了其中有一人既会英语又会日语这一隐含条件,以免导致解题错误.2.解决计数问题,应特别注意其限制条件,有些条件是隐藏的,要善于挖掘.因为该题中既会英语又会日语的有1人,而选不选该人对下一步都有影响,所以要进行分类:第一类他不当选;第二类按会日语当选;第三类按会英语当选.在每一类中,又要分两步,因此是先分类后分步问题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练已知函数y=ax2+bx+c,其中a,b,c0,1,2,3,4,求不同的二次函数的个数.解若y=ax2+bx+c为二次函数,则a0,要完成该事件,需分步进行:第一步,对于系数a有4

15、种不同的选法;第二步,对于系数b有5种不同的选法;第三步,对于系数c有5种不同的选法.由分步乘法计数原理知,共有455=100(个).,1,2,3,4,5,1.3位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定:每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答,选甲题答对得20分,答错得-20分;选乙题答对得10分,答错得-10分.若3位同学的总分为0,则这3位同学不同得分情况的种数是()A.3B.4C.6D.8解析由题意总分为0分二类:第一类得分为20,-10,-10;第二类为-20,10,10.每类有三种情况,总共有6种情况.答案C,1,2,3,4,5,2.从集合1,2,3,4,5中任取2个不同的数,作为直

16、线Ax+By=0的系数,则形成不同的直线最多有()A.18条B.20条C.25条D.10条解析第一步取A的值,有5种取法,第二步取B的值,有4种取法,其中当A=1,B=2时,与A=2,B=4时是相同的;当A=2,B=1时,与A=4,B=2时是相同的,故共有54-2=18(条).答案A,1,2,3,4,5,3.从1到10的正整数中,任意抽取两个相加所得的和为奇数的不同情形的种数是()A.10B.15C.20D.25解析当且仅当偶数加上奇数后和为奇数,从而不同情形有55=25种,故选D.答案D,1,2,3,4,5,4.如图所示,用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色,要求“眼睛”(即图中A,B所示区

17、域)用相同颜色,则不同的涂法共有种.解析:涂“眼睛”的方法有6种;涂“鼻子”的方法有6种;涂“嘴巴”的方法有6种,由分步乘法计数原理得共有666=216种涂法.答案:216,1,2,3,4,5,5.某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O型血的共有28人,A型血的共有7人,B型血的共有9人,AB型血的共有3人.(1)从中任选1人去献血,有多少种不同的选法?(2)从四种血型的人中各选1人去献血,有多少种不同的选法?解从O型血的人中选1人有28种不同的选法,从A型血的人中选1人有7种不同的选法,从B型血的人中选1人有9种不同的选法,从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.(1)任选1人去献血,即无论选哪种血型的哪一个人,“任选1人去献血”这件事情都可以完成,所以用分类加法计数原理,有28+7+9+3=47种不同的选法.(2)要从四种血型的人中各选1人,即从每种血型的人中各选出1人后,“各选1人去献血”这件事情才完成,所以用分步乘法计数原理,有28793=5292种不同的选法.,