2018-2019版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版讲义：第二章 推理与证明2.2.2 .docx

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1、22.2反证法学习目标1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题知识点反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的”思考本故事中王戎运用了什么论证思想？答案运用了反证法思想梳理(1)定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法(2)反证法常见

2、的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等1反证法属于间接证明问题的方法()2反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理()3反证法的实质是否定结论导出矛盾()类型一用反证法证明否定性命题例1已知a，b，c，dR，且adbc1，求证：a2b2c2d2abcd1.考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设a2b2c2d2abcd1.因为adbc1，所以a2b2c2d2abcdbcad0，即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20.所以ab0，cd0，ad0，bc0，则abcd0，这与已知条件adbc1矛盾，

3、故假设不成立所以a2b2c2d2abcd1.反思与感悟(1)用反证法证明否定性命题的适用类型：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法(2)用反证法证明数学命题的步骤跟踪训练1已知三个正数a，b，c成等比数列但不成等差数列，求证：，不成等差数列考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设，成等差数列，则2，4bac2.a，b，c成等比数列，b2ac，由得b，代入式，得ac2()20，ac，从而abc.这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，假设不成立故，不成等差数列类型二用反证法证明“至多、至少”类问题例2a，b，

4、c(0,2)，求证：(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设(2a)b，(2b)c，(2c)a都大于1.因为a，b，c(0,2)，所以2a0,2b0,2c0.所以1.同理1，1.三式相加，得3，即33，矛盾所以(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.引申探究已知a，b，c(0,1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.证明假设(1a)b，(1b)c，(1c)a都大于.a，b，c都是小于1的正数，1a,1b,1c都是正数.同理，.三式相加，得，即，显然不成立(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.反思与感悟应用反证法常

5、见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n1个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n1个p且q綈p或綈q跟踪训练2已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1ax22bxc，y2bx22cxa和y3cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交

6、点，由y1ax22bxc，y2bx22cxa，y3cx22axb，得14b24ac0，24c24ab0，且34a24bc0.同向不等式求和，得4b24c24a24ac4ab4bc0，所以2a22b22c22ab2bc2ac0，所以(ab)2(bc)2(ac)20，所以abc.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证类型三用反证法证明唯一性命题例3求证：方程2x3有且只有一个根考点反证法及应用题点反证法的应用证明2x3，xlog23.这说明方程2x3有根下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的假设方程2x3至少有两个根b1，b2(b1b2)，则3, 3，两式相除得1，b1b20

7、，则b1b2，这与b1b2矛盾假设不成立，从而原命题得证反思与感悟用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性当证明结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性跟踪训练3若函数f(x)在区间a，b上是增函数，求证：方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设方程f(x)0在区间a，b上至少有两个实根，设，为其中的两个实根因为 ，不妨设，又因为函数f(x)在a，b上是增函数，所以f()f()这与假设f()0

8、f()矛盾，所以方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根1证明“在ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()A三角形中至少有一个直角或钝角B三角形中至少有两个直角或钝角C三角形中没有直角或钝角D三角形中三个角都是直角或钝角考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案B2已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么直线c与b的位置关系为()A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线答案C解析假设cb，而由ca，可得ab，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线3用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设这个三角形中()A有一个内角小于60

9、 B每一个内角都小于60C有一个内角大于60 D每一个内角都大于60考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案B4用反证法证明“在同一平面内，若ac，bc，则ab”时，应假设()Aa不垂直于c Ba，b都不垂直于cCab Da与b相交考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案D5用反证法证明：关于x的方程x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0，当a或a1时，至少有一个方程有实数根考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零，得则解得ab”的反面是“ay或xy”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；“三角形最多有一个钝

10、角”的反面是“三角形没有钝角”其中正确的叙述有()A0个 B1个 C2个 D3个考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案B解析错，应为ab；对；错，应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；错，应为三角形至少有2个钝角5用反证法证明命题：“a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()Aa，b都能被5整除Ba，b都不能被5整除Ca，b不都能被5整除Da不能被5整除考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案B解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”6已知p3q32，证明：pq2.用反证法证明时，可假设pq2；若a，bR，|a|b|2

11、，故中的假设错误；对于，其假设正确，故选D.7设a，b，c都是正数，则三个数a，b，c()A都大于2B至少有一个大于2C至少有一个不小于2D至少有一个不大于2考点反证法及应用题点反证法的应用答案C解析假设a2，b2，c2，则2；a2b22.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)考点反证法及应用题点反证法的应用答案10某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是_考点反证法及应用题点反证法的应用答案甲解析假如甲：我没有偷是真的，则乙：丙是小偷；丙：丁是小偷是假的；丁

12、：我没有偷就是真的，与他们四人中有一人说真话矛盾假如甲：我没有偷是假的，则丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立可以判断偷珠宝的人是甲11若下列两个方程x2(a2)xa20，x2ax2a0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_考点反证法及应用题点反证法的应用答案(，82，)解析若两方程均无实根，则1(a2)24a2(3a2)(a2)0，a.2a28aa(a8)0，8a0，故8a0.这与abc0矛盾，假设不成立，故a，b，c中至少有一个是大于0的13已知f(x)ax(a1)，求证：方程f(x)0没有负数根考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设x0是f(x)0的负数

13、根，则x00且x01，且ax0，0ax01，01，解得x02，这与x00矛盾，故方程f(x)0没有负数根四、探究与拓展14若a，b，c，d都是有理数，都是无理数，且ab，则a与b，c与d之间的数量关系为_考点反证法及应用题点反证法的应用答案ab，cd解析假设ab，令abm(m是不等于零的有理数)，于是bmb，所以m，两边平方整理得.左边是无理数，右边是有理数，矛盾，因此ab，从而cd.15设an是公比为q的等比数列(1)推导数列an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列考点反证法及应用题点反证法的应用(1)解设数列an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，由得，(1q)Sna1a1qn，所以Sn，综上所述，Sn(2)证明假设an1是等比数列，则对任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，因为a10，所以2qkqk1qk1.因为q0，所以q22q10，所以q1，这与已知矛盾所以假设不成立，故数列an1不是等比数列