黄冈名师2020版高考数学大一轮复习11.3变量间的相关关系与统计案例课件理新人教A版.ppt

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1、第三节变量间的相关关系与统计案例(全国卷5年2考),【知识梳理】1.相关关系与回归方程(1)相关关系的分类正相关:从散点图上看,点散布在从_到_的区域内;,左下角,右上角,负相关:从散点图上看,点散布在从_到_的区域内.,左上角,右下角,(2)线性相关关系:如果散点图中点的分布从整体上看大致在_附近,则称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做_.,一条直线,回归直线,(3)回归方程最小二乘法:使得样本数据的点到回归直线的_最小的方法叫做最小二乘法.,距离,的平方和,回归方程:两个具有线性相关关系的变量的一组数据:(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其回归方程为则,其中,是回归

2、方程的_,是在y轴上的_.,斜率,截距,(4)样本相关系数r=,用它来衡量两个变量间的线性相关关系.当r0时,表明两个变量_;当r0.75时,认为两个变量有很强的线性相关关系.,越强,2.残差分析(1)残差:对于样本点(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),它们的随机误差为ei=yi-bxi-a,i=1,2,n,其估计值为i=yi-i=yi-xi-,i=1,2,n,i称为相应于点(xi,yi)的残差.,(2)残差平方和为(3)相关指数:R2=1-_.,3.独立性检验(1)22列联表:假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分别为x1,x2和y1,y2,其样本频数列联表(称22列联表)为:,

3、a+b,b+d,(2)K2统计量K2=(其中n=a+b+c+d为样本容量).,【常用结论】1.函数关系与相关关系的区别与联系(1)区别:函数关系是一种确定性关系,相关关系是一种非确定性关系.函数关系是一种因果关系,相关关系不一定是一种因果关系,也可能是伴随关系.,(2)联系:对于线性相关关系,求出线性回归方程后,可以通过确定的函数关系进行两个变量取值的预测.,2.回归直线及其方程的性质(1)回归直线不一定过样本点,但是一定过样本中心点(,).(2)在回归直线方程中,0时,两个变量呈正相关关系;0时,为正相关,0,则z=by+a=-0.1b+b+a,故x与z负相关.,4.下列关系中,是相关关系的

4、为_.(填序号)(1)学生的学习态度与学习成绩之间的关系.(2)教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系.(3)学生的身高与学生的学习成绩之间的关系.(4)家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系.,【解析】由相关关系的概念知(1)(2)是相关关系.答案:(1)(2),【规律方法】1.判断相关关系的两种方法(1)散点图法:如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近,变量之间就有相关关系.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系.(2)相关系数法:利用相关系数判定,|r|越趋近于1相关性越强.,2.判断拟合效果的两个方法(1)残差平方和越小,拟合效果越好.(2)相关指数R2越大

5、,越接近于1,拟合效果越好.,考点二独立性检验【典例】(1)“人机大战,柯洁哭了,机器赢了”,2017年5月27日,19岁的世界围棋第一人柯洁03不敌人工智能系统AlphaGo,落泪离席,但许多人认为这场比赛是人类的胜利,也有许多人持反对意见,有网友为此进行了调查,在参与调查的2600男性中,有1560人持反对,意见,2400名女性中,有1118人持反对意见,在运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时,应采用的统计方法是()A.分层抽样B.回归分析C.独立性检验D.频率分布直方图,(2)为了研究“晚上喝绿茶与失眠”有无关系,调查了100名人士,得到下面的列联表:,由已

6、知数据可以求得:K2的观测值k=4.398,则根据下面临界值表:,可以做出的结论是()A.在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠有关”B.在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠无关”,C.在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠有关”D.在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠无关”,【解析】(1)选C.在参加调查的2600名男性中有1560名持反对意见,2400名女性中有1118名持反对意见,编写列联表如下:,是针对两个变量,两种判断认定是否有关,因此应该利用独立性检验判断.,(2)选C.由已知数据求得:K2的观测值

7、k=4.398,且4.3983.841,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠有关”.,【误区警示】此处容易混淆“有多大的把握”和“犯错误的概率不超过”两种问法,有多大的把握应为1-P(),犯错误的概率则是P().,【互动探究】本例(1)中,试判断至少有多大的把握认为性别对判断“人机大战是人类的胜利”有关?,【解析】由本例(1)解析中的列联表可得K2的观测值k=90.31710.828,因此有99.9%的把握认为性别对判断“人机大战是人类的胜利”有关.,【规律方法】独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列出22列联表.,(2)计算随机变量K2的观测值k,查下表确定临界值

8、k0:,(3)如果kk0,就推断“X与Y有关系”,这种推断犯错误的概率不超过P(K2k0);否则,就认为在犯错误的概率不超过P(K2k0)的前提下不能推断“X与Y有关”.,【对点训练】1.有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩,得到如表所示的列联表:,已知在全部105人中随机抽取1人,成绩优秀的概率为,则下列说法正确的是()A.列联表中c的值为30,b的值为35B.列联表中c的值为15,b的值为50,C.根据列联表中的数据,在犯错误的概率不超过0.05的前提下,能认为“成绩与班级有关系”D.根据列联表中的数据,在犯错误的概率不超过0.05的前提下,不

9、能认为“成绩与班级有关系”,【解析】选C.由题意知,成绩优秀的学生数是30,成绩非优秀的学生数是75,所以c=20,b=45,选项A,B错误.根据列联表中的数据,得到K2的观测值k=6.1093.841,因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩与班级有关系”.,2.某工厂为了调查工人文化程度与月收入之间的关系,随机调查了部分工人,得到如表所示的22列联表(单位:人):,由22列联表计算可知,我们有_以上的把握认为“文化程度与月收入有关系”.附:K2=,【解析】由表中的数据可得K2的观测值k=6.109,由于6.1095.024,所以我们有97.5%以上的把握认为“文化程度与月收入有关

10、系”.答案:97.5%,考点三线性回归方程【明考点知考法】线性回归方程是高考的常考知识点,在选择题、填空题、解答题中均有考查,主要考查线性回归方程的求法及应用.,命题角度1线性回归直线性质的应用【典例】某食品研究部门为了了解一种酒的储藏年份与芳香度之间的相关关系,在市场上收集到了一部分不同年份的该酒,并测定了其芳香度(如表).,由最小二乘法得到回归方程=1.03x+1.13,但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液,污损了一个数据,请你推断该数据为()A.6.1B.6.28C.6.5D.6.8,【解析】选A.由表中数据:=(0+1+4+5+6+8)=4,回归方程=1.03x+1.13,所以=1.0

11、34+1.13=5.25,所以=(1.3+1.8+5.6+?+7.4+9.3)=5.25,解得“?”=6.1.,【状元笔记】样本中心点的应用回归直线过样本点中心是回归直线的重要性质,在求回归直线的系数、求未知数据中有着广泛的应用.,命题角度2回归直线方程的求法【典例】实验测得四组数对(x,y)的值为(1,2),(2,5),(4,7),(5,10),则y与x之间的回归直线方程是()A.=1.8x+0.6B.=1.8x-0.6C.=1.5x+2.5D.=-0.5x+7.5,参考公式:,【解析】选A.表中数据(xi-)(yi-)=(1-3)(2-6)+(2-3)(5-6)+(4-3)(7-6)+(5

12、-3)(10-6)=18,(xi-)2=(1-3)2+(2-3)2+(4-3)2+(5-3)2=10,所以=1.8,=6-31.8=0.6.则回归方程为:=1.8x+0.6.,【状元笔记】关于回归直线方程的求法求线性回归方程的关键是计算系数,首先要明确公式中各个因式的含义,其次是充分利用合并、约分等运算律简化运算.,命题角度3利用回归直线方程进行预测【典例】某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型,并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(x个月)和市场占有率(y%)的几组相关对应数据:,(1)根据上表中的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程.(2)根据上述回归方程,分析该款旗舰机型市场占有率的

13、变化趋势,并预测自上市起经过多少个月,该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%(精准到月).,【解析】(1)根据表中数据,计算=(1+2+3+4+5)=3,=(0.02+0.05+0.1+0.15+0.18)=0.1,所以=0.042,所以=0.1-0.0423=-0.026,所以线性回归方程为=0.042x-0.026.,(2)由上面的回归方程可知,上市时间与市场占有率正相关,即上市时间每增加1个月,市场占有率都增加0.042个百分点;由=0.042x-0.0260.5,解得x13;预计上市13个月时,市场占有率能超过0.5%.,【状元笔记】线性回归方程的应用求出线性回归方程后可以对变量的取值进

14、行预测,要注意通过回归直线方程求出的数据不同于真实值,是预测值.,【对点练找规律】1.为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验,得到5组数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),(x5,y5),根据收集到的数据可知=20,由最小二乘法求得回归直线方程为=0.6x+48,则yi=(),A.60B.120C.150D.300,【解析】选D.由题意,=20,回归直线方程=0.6x+48,所以=0.620+48=60.则yi=605=300.,2.登山族为了了解某山高y(km)与气温x()之间的关系,随机统计了4次山高与相应的气温,并制作了对照表:,

15、由表中数据,得到线性回归方程=-2x+(R),由此请估计出山高为72(km)处气温的度数为()A.-10B.-8C.-4D.-6,【解析】选D.由题意,代入到线性回归方程=-2x+(R),可得=60,所以y=-2x+60,由-2x+60=72,可得x=-6.,3.在成绩统计中,我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差,班主任为了了解个别学生的偏科情况,为学生数学偏差x(单位:分)与物理偏差y(单位:分)之间的关系进行偏差分析,决定从全班40位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析,得到他们的两科成绩偏差数据如下:,(1)已知x与y之间具有线性相关关系,求y关于x的线性回归方程

16、.(2)若这次考试该班数学平均分为120分,物理平均分为92分,试预测数学成绩126分的同学的物理成绩.,【解析】(1)由题意计算得,=,=,所以,所以线性回归方程为=x+.,(2)由题意,设该同学的物理成绩为,则物理偏差为-92,而数学偏差为126-120=6,则由(1)的结论可得-92=6+,解得=94,所以可以预测这位同学的物理成绩为94分.,数学能力系列27解决相关变量之间的关系时的数学建模能力【能力诠释】数学建模能力是重要的数学能力,也是核心素养之一,收集数据,建立模型,解决问题是最常用的数学思维和方法.,【典例】如图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折

17、线图.,注:年份代码1-7分别对应年份2011-2017(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明.(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2019年我国生活垃圾无害化处理量.,附注:参考数据:yi=9.32,tiyi=40.17,参考公式:相关系数,回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,【解析】(1)由折线图中数据和附注中参考数据得=4,(ti-)2=28,(ti-)(yi-)=tiyi-yi=40.17-49.32=2.89,r=0.99.,因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟

18、合y与t的关系.,(2)由1.331及(1)得=1.331-0.10340.92.,所以,y关于t的回归方程为=0.92+0.10t.将2019年对应的t=9代入回归方程得=0.92+0.109=1.82.所以预测2019年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨.,【技法点拨】数学建模的过程(1)建模准备:了解问题的实际背景,明确其实际意义,掌握对象的各种信息.(2)建模假设:根据实际对象的特征和建模的目的,对问题进行必要的简化,并用精确的语言提出一些恰当的假设.,(3)模型建立:在假设的基础上,利用适当的数学工具来刻画各变量常量之间的数学关系,建立相应的数学结构.(4)模型求解:利用获取的

19、数据资料,对模型的所有参数做出计算(或近似计算).,(5)模型检验:将模型分析结果与实际情形进行比较,以此来验证模型的准确性、合理性和适用性.,【即时训练】棉红铃虫又称红铃虫,是世界性重要害虫,适宜温度为2530,而温度在20以下,或35以上对红铃虫均不利,一只红铃虫的产卵数y与温度x有关,现收集了7组观测数据列于表中,现有模型y=C1x+C2与模型y=两种模型作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系.,参考公式:C1=21.38,C3=0.32,=80,3.57,对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),(u3,v3),(un,vn),其回归直线方程为=u+.(1)根据表中数

20、据,分别建立两个模型下y关于x的回归方程.,(2)假设根据模型,计算得出数据的值分别为0.33与0.22,试计算模型、的相关指数R2,并根据相关指数选择出拟合效果较好的模型.,(3)能否用第(2)问选择的模型来预测在零上45摄氏度时一只红铃虫的产卵数,只给出判断不用说明理由.,【解析】(1)对于模型:C1=21.38,由y=C1x+C2,可得C2=-C1=80-21.3826=-475.88,所以模型的回归方程为:=21.38x-475.88.对于模型:C3=0.32.由可得C4=-C3=3.57-0.3226=-4.75,所以模型的回归方程为:=e0.32x-4.75.,(2)在模型中:=1-=1-0.33=0.67,在模型中:=1-=1-0.22=0.78,所以R2R1,所以模型拟合效果较好.,(3)不能.(因为样本的取值范围会影响回归方程的使用范围),