高中数学知识点总结之三角函数篇.docx

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1、精品名师归纳总结第三章三角函数、解三角形第 1 讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、必记 3 个学问点1. 角的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 终边相同的角：全部与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S | k 360 ,k Z 2. 弧度的定义和公式(1) 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角,弧度记作rad.(2) 公式： 弧度与角度的换算： 360 2弧度。 180 弧度。 弧长公式： l| | r。可编辑

2、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结扇形面积公式： S扇形 1lr 和21| | r2.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 任意角的三角函数(1) 定义：设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点Px,y,就 sin y,cos x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan yx 0 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x 轴上, 余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是1,0如图中有向线段 MP,OM ,AT 分别叫做角 的正弦线, 余弦线和正切线 二、必明 3 个易误区

3、1. 易混概念： 第一象限角、 锐角、小于 90 的角是概念不同的三类角 第一类是象限角,其次、第三类是区间角2. 利用 180 r进ad行互化时,易显现度量单位的混用y3. 三角函数的定义中,当Px, y是单位圆上的点时有sin y,cos x, tan x,yxy但如不是单位圆时,如圆的半径为r,就 sin r, cos r, tan x.三、必会 2 个方法1三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2对于利用三角函数定义解题的题目,假如含有参数,肯定要考虑运用分类争论,而在求解简洁的三角不等式时,可利用单位圆及三

4、角函数线,表达了数形结合的思想考点一角的集合表示及象限角的判定1.给出以下四个命题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 4 是其次象限角。43 是第三象限角。400 是第四象限角。315 是第一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结象限角其中正确的命题有A1 个B 2 个C 3 个D 4个344可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：选 C4 是第三象限角,故错误。33,从而3 是第三象限角,故正可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结确。 400 360 40 ,从而正确。315 360 45 ,从而正确可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

5、归纳总结k2设集合 M x x2 180 45, k Z,N x xk, 180 45 ,k Z 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么 A M NB M .NC N .MD MN .k解析：选 B法一：由于 M x x 2 180 45, k Z , 45 , 45 ,135 , 225 , ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结N x xk 180 45 ,kZ , 45 , 0, 45 , 90 , 135 , 180 , 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结225 , ,明显有M. N ,应选 B.k法二： 由于 M 中,x2 180 45 k

6、 90 45 45 k21,2k1 是奇数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 N 中, xk 180 45 k 45 45 k 1 45 ,k 1 是整数,因此必有M. 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结N,应选 B.3. 终边在直线 y 3x 上的角的集合为解析：终边在直线y 3x 上的角的集合为 | k , k Z 答案： | k ,33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k Z4. 在 720 0范畴内找出全部与 45 终边相同的角为解析：全部与45 有相同终边的角可表示为： 45 k 360 k Z,就令 720 45 k 360 0 ,7

7、6545得 765 k 360 45 ,解得 k0 时,r 10k,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 sin 3k31, cos10 k 10, 10sin 3 310 3100。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10k10kcos 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 k0 时, r 10k, sin 3k31,cos 10k10,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 10k10k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 10sin cos 310 310 0.综上, 10sin

8、 3 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos 考点三扇形的弧长及面积公式典例 已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设圆心角是,半径是 r,就2r r 101 r2 42r 1,.8舍,r 4,1 2,故扇形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1圆心角为.2类题通法 弧度制应用的关注点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 弧度制下 l | | r, S1lr,此时 为弧度在角度制下,弧长lnr,扇形面积 S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2nr2180可编辑资料 -

9、- - 欢迎下载精品名师归纳总结,此时 n 为角度,它们之间有着必定的联系3602在解决弧长、面积及弓形面积时要留意合理应用圆心角所在的三角形 针对训练 ： 已知扇形的圆心角是 120 ,弦长 AB12 cm,求弧长 l.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6解：设扇形的半径为 r cm,如图由 sin 60,得 r 43 cm, l | | rr23 4 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结833 cm 课后作业试一试 1如 k 180 45 kZ ,就在AA第一或第三象限B第一或其次象限C其次或第四象限D 第三或第四象限12已知角 的终边经过点 3, 1,就 si

10、n .答案： 2练一练 ： 如 sin 0 ,就 是A第一象限角B其次象限角C第三象限角D 第四象限角解析：选 C由 sin 0 ,知 在第一或第三象限,因此在第三象限做一做 1. 如下列图,在直角坐标系xOy 中,射线 OP 交单位圆 O 于点 P,如 AOP ,就点 P 的坐标是 Acos , sin B cos , sin C sin , cos D sin , cos 解析：选 A由三角函数的定义知Pcos , sin ,选 A.2. 已知扇形的周长是6 cm,面积是 2 cm2,就扇形的圆心角的弧度数是 A 1 或 4B 1C 4D 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

11、解析：选 A设扇形的半径和弧长分别为r, l,就易得l 2r 6,1lr 2, 2l4解得或r 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l 2,r2.故扇形的圆心角的弧度数是4 或 1.3. 已知角 的终边经过点 3a 9,a 2,且 cos 0,sin 0 ,就实数 a 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 2,3B 2,3C 2,3D 2,3解析：选 A cos 0,sin 0 ,角 的终边落在其次象限或y 轴的正半轴上3a 9 0,a 20 , 2 a 3. 应选A.4. 在与 2 010终边相同的角中,肯定值最小的角的弧度数为 675解析： 2022

12、 6 12 6,与 2 010 终边相同的角中肯定值最小的角的弧度数55 为 6 .答案： 65. 2022 辽源模拟如三角形的两个内角, 满意 sin cos 0,就此三角形为 解析： sin cos 0,且 , 是三角形的两个内角sin 0, cos 0, 为钝角故此三角形为钝角三角形答案：钝角三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 已知角 的终边过点 P 3cos ,4cos ,其中 2, ,求 的三角函数值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 4, , 1cos 0 , r 9cos2 16cos2 5

13、cos ,故 sin ,25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos 34,tan . 53可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 已知 cos tan 0 ,那么角 是A第一或其次象限角B其次或第三象限角C第三或第四象限角D 第一或第四象限角解析：选 C易知 sin s0。2 200 cos 40 cos 40ta0n。10 tan3100 , tan9 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan 910tan 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. 在直角坐标系中,O 是原点, A3,1,将点 A 绕 O 逆时针旋转 90 到

14、B 点,就B 点坐标为解析：依题意知 OA OB 2, AOx 30 ,BOx 120 ,设点 B 坐标为 x,y,所以 x 2cos 1201,y 2sin 1203,即 B 1,3答案： 1, 312. 如下列图,在平面直角坐标系xOy 中,角 的终边与单位圆交于点A,点 A 的纵坐4标为 ,就 cos .5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：由于 A 点纵坐标 yA4,且 A 点在其次象限,又由于圆O 为单位圆,所以 A 点5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结333横坐标 xA 5,由三角函数的定义可得cos 5.答案： 5可编辑资料 - - - 欢迎下载

15、精品名师归纳总结13. 一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是4 cm,求圆心角的弧度数和弦长AB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设圆的半径为 r cm,弧长为 l cm,就1lr 1, 2l2r 4,r 1,解得l 2.l圆心角 r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.如图,过 O 作 OH AB 于 H .就 AOH 1 弧度 AH 1 sin 1 sin 1cm, AB 2sin1cm三角函数1. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为,半径为R 的弧长公式和扇形面积公式吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ l R, S扇1l

16、 R21 R 2 ）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结R1 弧度OR2. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinMP, cosOM, tanAT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yTBSPOMAx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：如0,就8sin, cos, tan的大小次序是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又如：求函数 y12 cos2x 的定义域和值域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

17、- 欢迎下载精品名师归纳总结（ 12 cosx ）21 2 sin x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 sin x2,如图：2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 2 kx42kkZ , 0y124可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 你能快速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin x1, cosx1yytgxxO22对称点为 k2, 0 , kZysinx的增区

18、间为 2k, 2k22kZ减区间为 2k, 2k232kZ图象的对称点为k, 0 ,对称轴为 xk2kZycosx的增区间为 2 k , 2 kkZ减区间为 2 k, 2k2kZ图象的对称点为k2, 0 ,对称轴为xkkZytan x的增区间为k, k22kZ正弦型函数 y = Asinx +的图象和性质要熟记。 或y（ 1）振幅 |A |,周期 T24. A cosx|如f x 0A ,就 xx 0为对称轴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如f x 00,就x 0, 0为对称点,反之也对。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2 ）五点作图：令x依次为0, ,

19、3, 2,求出x与y,依点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（x,y）作图象。（ 3）依据图象求解析式。（求22A 、 、 值）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如图列出x 10x 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解条件组求、 值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正切型函数yA tanx, T|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 在三角函数中求一个角时要留意两个方面先求出某一个三角函数值,再判定角的范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如： cos

20、x623,x,求x值。22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（x3, 7x5, x5, x13）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结266364126. 在解含有正、余弦函数的问题时,你留意（到）运用函数的有界性了吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：函数 ysinxsin|x|的值域是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（x0时, y2sin x2, 2 , x0时, y0,y2, 2 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 娴熟把握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换） 平移公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载

21、精品名师归纳总结（1）点P（x,y）ah,kxxhP （x ,y ）,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平移至yyk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2 ）曲线f x, y0沿向量 a h, k 平移后的方程为f xh, yk 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：函数 y2 sin 2x1 的图象经过怎样的变换才能得到4ysin x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图象？（ y2 sin 2 x41横坐标伸长到原先的 2 倍y2 sin21 x124可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2sin x4左平移个单位1

22、4y2 sinx1上平移1个单位y2 sinx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结纵坐标缩短到原先的 1 倍2ysin x）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 娴熟把握同角三角函数关系和诱导公式了吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如： 1sin2cos2sec2tan2tan cotcos sectan 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin2cos0称为 1的代换。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结“ k2”化为的三角函数“奇变,偶不变,符号看象限”,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结“奇”、“偶”

23、指k 取奇、偶数。97如： costansin 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4又如：函数 y6sintancoscot,就y的值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 正值或负值B. 负值C. 非负值D.正值sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin（ycoscos cossinsin2cos2cos sin10,0）1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9 娴熟把握两角和、差、倍、降幂公式 及其逆向应用了吗？ 懂得公式之间的联系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinsincoscossin令sin 22

24、sincos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结coscoscossinsin令cos2cos2sin 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tantantan2 cos2112 sin2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 tantan 2tan tancos21cos2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21tansin21 cos2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结asin

25、bcosa2b2sin, tanb a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sincos2 sin4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin3 cos2 sin3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数,能求值,尽可能求值。）详细方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）角的变换：如,222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）名的变换：化弦或化切（ 3）次数的变换：升、降幂公式（ 4）形的变换：统一函数形式,留意运用代数运算。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：已知sincos1, tan2 ,求tan2的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1（由已知得：