2022年线性代数知识点归纳 .pdf

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1、名师总结优秀知识点线性代数复习要点第一部分行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行（列）展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算行列式的定义1. 行列式的计算： ( 定义法 )1212121112121222()1212()nnnnnj jjnjjnjj jjnnnnaaaaaaDaaaaaa1 （降阶法） 行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论 ：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 1122,0,.ijijinjnAija Aa Aa Aij精选学习资料 - - - - - - - - -

2、名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页名师总结优秀知识点 ( 化为三角型行列式) 上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. 11221122*0*0*00nnnnbbAb bbb 若AB与都是方阵（不必同阶）, 则=()mnAOAAOA BOBOBBOAAA BBOBO1 关于副对角线：(1)211212112111()n nnnnnnnnnnaOaaaa aaaOaO1 范德蒙德行列式：1222212111112nijnji nnnnnxxxxxxxxxxx111ab型公式：1(1) ()nabbbbabbanb abbbabbbba ( 升阶法 )

3、在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ( 递推公式法 ) 对n阶行列式nD找出nD与1nD或1nD,2nD之间的一种关系称为递推公式，其中nD,1nD,2nD等结构相同，再由递推公式求出nD的方法称为递推公式法. (拆分法 ) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ( 数学归纳法 ) 2. 对于n阶行列式A，恒有：1( 1)nnknkkkEAS，其中kS为 k 阶主子式；3. 证明0A的方法：、AA；、反证法；、构造齐次方程组0Ax，证明其有非零解；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

4、 - - - - - - -第 2 页，共 19 页名师总结优秀知识点、利用秩，证明()r An ；、证明0 是其特征值 . 4. 代数余子式和余子式的关系：( 1)( 1)ijijijijijijMAAM第二部分矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆3. 矩阵的秩的性质4. 矩阵方程的求解1.矩阵的定义由mn个数排成的m行n列的表111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa称为mn矩阵 . 记作：ijm nAa或m nA同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. 矩阵相等 : 两个矩阵同型，且对应元素相等. 矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b.

5、 数与矩阵相乘：数与矩阵A的乘积记作A或A，规定为()ijAa. c. 矩阵与矩阵相乘：设()ijm sAa, ()ijs nBb, 则()ijm nCABc，其中12121 122(,)jjijiiisijijissjsjbbcaaaa ba ba bb注： 矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式00ABBAABA或B=0不成立 . a. 分块对角阵相乘：11112222,ABABAB11112222A BABA B,1122nnnAAA b. 用对角矩阵左 乘一个矩阵 ,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

6、 - - - - -第 3 页，共 19 页名师总结优秀知识点1111211 111 121 12212222 21222221212000000nnnnmmmmnmmmmmmnabbba ba bababbba ba ba bBabbba ba ba b c. 用对角矩阵右乘一个矩阵 ,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量 . 1112111 112 1212122221 212222121122000000nmnnmnmmmnmmmmmnbbbaa ba ba bbbbaaba ba bBbbbaaba ba b d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. 方阵的幂

7、的性质：mnm nA AA，()()mnmnAA矩阵的转置：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作TA. a. 对称矩阵和反对称矩阵:A是对称矩阵TAA. A是反对称矩阵TAA. b. 分块矩阵的转置矩阵：TTTTTABACCDBD伴随矩阵：1121112222*12nTnijnnnnAAAAAAAAAAA，ijA为A中各个元素的代数余子式. *AAA AA E,1*nAA, 11AA.分块对角阵的伴随矩阵：*ABABAB*( 1)( 1)mnmnAA BBB A2. 逆矩阵的求法方阵A可逆0A. 矩阵转置的性质：()TTAA()TTTABB ATAA11()()TTA

8、A()()TTAA矩阵可逆的性质：11()AA111()ABBA11AA11()()kkkAAA伴随矩阵的性质：2()nAAA()ABB A1nAA11()()AAAA()()kkAA( )()1 ()10 ()1 nr Anr Ar Anr An若若若ABA BkkAAAAA AA E（无条件恒成立）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页名师总结优秀知识点伴随矩阵法1AAA注 ：1abdbcdcaadbc1主换位副变号 初等变换法1()()A EE A初等行变换 分块矩阵的逆矩阵：111AABB111ABBA1111

9、ACAA CBOBOB1111AOAOCBBCAB1231111213aaaaaa , 3211111213aaaaaa 配方法或者待定系数法（逆矩阵的定义1A BB AEAB）3. 行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为 行最简形矩阵4. 初等变换与初等矩阵对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换初等变换初等矩阵初等矩阵的逆初等矩阵的行列式ijrr(ijcc)( , )E i j1( , )( , )E i jE i j( , )E i j

10、1irk(ick)( ( )E i k11 ( ) ( )kE i kE i ( )E i kkijrrk(ijcck)( , ( )E i j k1 , ( ) , ()E i j kE i jk , ( )E i j k1?矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A施行一次初等行变换得到的矩阵, 等于用相应的初等矩阵左乘A；对A施行一次初等列变换得到的矩阵, 等于用相应的初等矩阵右乘A. 注意：初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵. 5. 矩阵的秩关于 A 矩阵秩的描述：、()r Ar， A中有r阶子式不为0，1r阶子式(存在的话 ) 全部为 0；、()r

11、 Ar， A的r阶子式全部为0；、()r Ar， A中存在r阶子式不为0；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页名师总结优秀知识点?矩阵的秩的性质：()AOr A1; ()0AOr A;0()m nr Amin(, )m n()()()TTr Ar Ar A A()()r kAr Ak其中0( )(),()0m nn sr Ar BnABr ABBAx若若0的列向量全部是的解()r ABmin( ), ( )r A r B 若 P 、Q可逆，则()()()()r Ar PAr AQr PAQ ；即：可逆矩阵不影响矩阵的

12、秩. 若()( )()m nAxr ABr Br AnABOBOAABACBC只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n sr ABr Br BnB在矩阵乘法中有右消去律 .( )rrEOEOr ArAAOOOO若与唯一的等价，称为矩阵 的等价标准型 . ()r AB()( )r Ar B, max( ), ()r A r B( ,)r A B()()r Ar B( )( )AOOArr Ar BOBBO, ( )( )ACrr Ar BOB?求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法6 矩阵方程的解法(0A) ：设法化成AXBXAB(I)或 (II)A BE X初等行变换(I) 的解法：构造(

13、)()AEBX初等列变换(II)的解法：构造TTTTA XBXX(II)的解法：将等式两边转置化为，用(I) 的方法求出，再转置得第三部分线性方程组1. 向量组的线性表示2. 向量组的线性相关性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页名师总结优秀知识点3. 向量组的秩4. 向量空间5. 线性方程组的解的判定6. 线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）（2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）1. 线性表示： 对于给定向量组12,n，若存在一组数12,nk kk使得1122nnkk

14、k，则称是12,n的线性组合，或称称可由12,n的线性表示 .线性表示的判别定理:可由12,n的线性表示由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：、11112211211222221122nnnnmmnmnna xa xa xba xaxaxbaxaxaxb有解、1112111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbAxaaaxb、1212nnxxaaax（全部按列分块，其中12nbbb）；、1122nna xa xa x（线性表出）、有解的充要条件：()(,)r Ar An （n为未知数的个数或维数）2.设,m nn sABA的列向量为12,n,B的列向量为12,s，则m

15、sABC1112121222121212,ssnsnnnsbbbbbbc ccbbbiiAc，(, )is1,2i为iAxc的解121212,sssAAAAc cc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页名师总结优秀知识点12,sc cc可由12,n线性表 示. 即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵 . 同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，A为系数矩阵 . 即：1112111212222212nnnnmnnmaaacaaacaaac11112212121122222211222nnmmmnmaaacaa

16、acaaac3. 线性相关性判别方法：法 1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页名师总结优秀知识点法 2 法 3 推论?线性相关性判别法（归纳）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页名师总结优秀知识点?线性相关性的性质零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关 , 整体必相关；整体无关, 部分必无关 . （向量个数变动）原向量组无关 , 接长向量组无关；接长向量组相关, 原向

17、量组相关. （向量维数变动）两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. 向量组12,n中任一向量i(1i)n都是此向量组的线性组合. 若12,n线性无关，而12,n线性相关 , 则可由12,n线性表示 , 且表示法唯一4. 最大无关组相关知识向量组的秩向量组12,n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩. 记作12(,)nr矩阵等价A经过有限次初等变换化为B. 向量组等价12,n和12,n可以相互线性表示 . 记作：1212,nn矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩 . 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.矩阵的初等变换不改变矩阵的秩, 且不改变行（列）向量间的

18、线性关系向量组12,s可由向量组12,n线性表示 , 且sn，则12,s线性相关 . 向量组12,s线性无关 , 且可由12,n线性表示 , 则sn. 向量组12,s可由向量组12,n线性表示 , 且12(,)sr12(,)nr, 则两向量组等价；任一向量组和它的极大无关组等价. 向量组的任意两个极大无关组等价. 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 设A是mn矩阵 , 若( )r Am，A的行向量线性无关；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共

19、19 页名师总结优秀知识点5. 线性方程组理论线性方程组的矩阵式Ax向量式1122nnxxx1112111212222212,nnmmmnnmaaaxbaaaxbAxaaaxb其中12,2,jjjmjjn1（1）解得判别定理（2）线性方程组解的性质：1212121211221212(1),(2),(3),(4),(5),(6kkkkAxAxk kAxkAxAxAxAxAx是的解也是它的解是的解 对任意也是它的解齐次方程组是的解 对任意 个常数也是它的解是的解是其导出组的解是的解是的两个解是其导出组的解211212112212112212),(7),100kkkkkkkAxAxAxAxAx是的解

20、 则也是它的解是其导出组的解是的解 则也是的解是的解(3) 判断12,s是Ax的基础解系的条件： 12,s线性无关； 12,s都是Ax的解； ()snr A每个解向量中自由未知量的个数. (4) 求非齐次线性方程组Ax = b 的通解的步骤12112(1()(2)()()(3)(4)10,.,(5)A br A br ArnnrAxbAxAxbxkk0n-r0) 将增广矩阵通过初等行变换化为；当时，把不是首非零元所在列对应的个变量作为自由元；令所有自由元为零，求得的一个；不计最后一列，分别令一个自由元为，其余自由元为零，得到的;写出非齐次线性方程组的阶梯形矩阵特解基础 解系通解212.,.,n

21、 rn rn rkk kk其中为任意常数 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页名师总结优秀知识点（5）其他性质一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. 若是Ax的一个解，1, ,s是Ax的一个解1, ,s线性无关Ax与Bx同解（,A B列向量个数相同）()( )Arr Ar BB, 且有结果： 它们的极大无关组相对应, 从而秩相等； 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系. 矩阵m nA与l nB的行向量组等价齐次方程组Ax与Bx同解PAB（左乘可逆矩阵P）；矩阵m nA与l nB的列向量组等

22、价AQB（右乘可逆矩阵Q） . 第四部分方阵的特征值及特征向量1. 施密特正交化过程2. 特征值、特征向量的性质及计算3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化1.标准正交基n个n维线性无关的向量, 两两正交 , 每个向量长度为1. 向量12,Tna aa与12,Tnb bb的内积1 12 21(,)niinnia ba ba ba b与正交( ,)0. 记为： 向量12,Tna aa的长度2222121( ,)niniaaaa是单位向量(,)1. 即长度为1的向量 . 2. 内积的性质 ： 正定性 ：( ,)0,(,)0且 对称性 ：( ,)(,)精选学习资料 - - - - - -

23、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页名师总结优秀知识点 线性性 ：1212(,)(,)(,)(,)(,)kk3.设 A 是一个 n 阶方阵 , 若存在数和 n 维非零列向量x, 使得Axx，则称是方阵 A 的一个特征值，x为方阵 A 的对应于特征值的一个特征向量. A的特征矩阵0EA（或0AE）. A的特征多项式( )EA（或( )AE） . ( )是矩阵A的特征多项式()AO12nA1niAtr，Atr称为矩阵A的迹 . 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素 . 若0A, 则0为A的特征值 , 且Ax的基础解系即为属于0的线性无

24、关的特征向量. ()1r AA一定可分解为A=1212,nnaabbba、21 122()nnAa ba ba bA, 从而A的特征值为：11 122nnAa ba ba btr, 23n0. 注12,Tna aa为A各行的公比，12,nb bb为A各列的公比 . 若A的全部特征值12,n，()f A是多项式 , 则: 若A满足()f AOA的任何一个特征值必满足()if0()fA的全部特征值为12(),(),()nfff；12( )() ()()nf Afff. A与TA有相同的特征值，但特征向量不一定相同. 4. 特征值与特征向量的求法 (1) 写出矩阵A 的特征方程0AE，求出特征值i.

25、 (2) 根据()0iAE x得到A 对应于特征值i的特征向量 . 设()0iAE x的基础解系为12,in r其中()iirr AE. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页名师总结优秀知识点则 A 对应于特征值i的全部特征向量为1 122,iin rn rkkk其中12,inrk kk为任意不全为零的数. 5.A与B相似1P APB（P为可逆矩阵 ）A与B正交相似1PAPB（P为正交矩阵 ）A可以相似对角化A与对角阵相似 . （称是A的相似标准形）6. 相似矩阵的性质：EAEB, 从而,A B有相同的特征值, 但

26、特征向量不一定相同. 注是A关于0的特征向量 ,1P是B关于0的特征向量 . ABtrtrAB从而,A B同时可逆或不可逆()()r Ar B若A与B相似 , 则A的多项式()fA与B的多项式()fA相似 . 7. 矩阵对角化的判定方法 n 阶矩阵 A 可对角化 ( 即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有 n 个线性无关的特征向量. 这时 ,P为A的特征向量拼成的矩阵，1PAP为对角阵 , 主对角线上的元素为A的特征值 . 设i为对应于i的线性无关的特征向量, 则有：121nP AP. A可相似对角化()iinrEAk，其中ik为i的重数A恰有n个线性无关的特征向量. 注：当i0为A的重的特

27、征值时，A可相似对角化i的重数()nr AAx基础解系的个数. 若n阶矩阵A有n个互异的特征值A可相似对角化. 8. 实对称矩阵的性质： 特征值全是实数, 特征向量是实向量；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页名师总结优秀知识点 不同特征值对应的特征向量必定正交；注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 一定有n个线性无关的特征向量. 若A有重的特征值, 该特征值i的重数 =()inrEA； 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性

28、变换化为标准形； 两个实对称矩阵相似有相同的特征值. 9. 正交矩阵TAAE正交矩阵的性质： 1TAA； TTAAA AE； 正交阵的行列式等于1 或-1 ；A是正交阵 , 则TA，1A也是正交阵； 两个正交阵之积仍是正交阵；A的行（列）向量都是单位正交向量组. 10. 11.施 密 特 正 交 规 范 化123,线性无关 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页名师总结优秀知识点112122111313233121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)正交化单位化：111222333技巧：取正交的基础解系，跳

29、过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方程，确定其自由变量. 第四部分二次型1. 二次型及其矩阵形式2. 二次型向标准形转化的三种方式3. 正定矩阵的判定1. 二次型11121121222212121112(,)(,)nnnnTnijijnijnnnnnaaaxaaaxf x xxa x xxxxx Axaaax其中A为对称矩阵，12(,)Tnxx xxA与B合同TC ACB. （,A BC为实对称矩阵为可逆矩阵）正惯性指数二次型的规范形中正项项数p负惯性指数二次型的规范形中负项项数rp符号差2 pr (r为二次型的秩) 两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他

30、们的秩与正惯性指数分别相等. 两个矩阵合同的充分条件是：A与B等价 两个矩阵合同的必要条件是：()()r Ar B2. 12(,)Tnf x xxx Ax经过正交变换合同变换可逆线性变换xCy化为21niifd y标准形 . 正交变换法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页名师总结优秀知识点配方法（1）若二次型含有ix的平方项，则先把含有ix的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形; （2） 若二次型中不含有平方项，但是0ija (ij), 则先作可逆线性

31、变换1,2,iijjijkkxyyxyyknki jxy且, 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按(1) 中方法配方 . 初等变换法3.正定二次型12,nxxx不全为零，12(,)nf x xx0. 正定矩阵正定二次型对应的矩阵. 4.( )Tf xx Ax为正定二次型（之一成立）：（1）x，Tx Ax0；（2）A的特征值全大于0；（3）f的正惯性指数为n；（4）A的所有顺序主子式全大于0；（5）A与E合同，即存在可逆矩阵C使得TC ACE；（6）存在可逆矩阵P，使得TAP P；5.（1）合同变换不改变二次型的正定性. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

32、- - - - -第 17 页，共 19 页名师总结优秀知识点（2）A为正定矩阵iia0；0A. （3）A为正定矩阵1,TAAA也是正定矩阵. （4）A与B合同，若A为正定矩阵B为正定矩阵（5）,A B为正定矩阵AB为正定矩阵，但,AB BA不一定为正定矩阵. 6. 半正定矩阵的判定一些重要的结论( ),nTAr AnAAAxxAxAAxA AAE可逆的列（行）向量线性无关的特征值全不为 0 只有零解，0总有唯一解是正定矩阵R12,siAp pppnBABEABE是初等阵存在 阶矩阵使得或注 ：全体n维实向量构成的集合nR叫做n维向量空间 . ()Ar AnAAAAxA不可逆0的列（行）向量线性相关0是 的特征值有非零解 , 其基础解系即为关于0的特征向量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页名师总结优秀知识点具有向量组等价矩阵等价 ()反身性、对称性、传递性矩阵相似 ()矩阵合同 () 关于12,ne ee：称为n的标准基，n中的自然基，单位坐标向量；12,ne ee线性无关；12,1ne ee；tr =E n；任意一个n维向量都可以用12,ne ee线性表示 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页