2022年线性代数复习——计算或应用题 .pdf

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1、一21.设123, 线性无关，证明112，223，331也线性无关。22.计算行列式1110110110110111。23.利用逆矩阵解矩阵方程X11012011-111011-1。24.已知1120121012aaA，求 a 的值，使得()r A2。25.求向量组1110，2011，3121，4101的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示。26.求矩阵 A=2112的特征值与特征向量。27.讨论当取何值时， 齐次线性方程组12312312343023020 xxxxxxxxx有非零解， 并在有非零解时求其通解。参考答案 ：21.如果112233kkkO，112223

2、331()()()kkkO，于是131122233()()()kkkkkkO，由123,线性无关知1312230,0,0,kkkkkk此方程组只有零解1230,0,0kkk，因此123,线性无关。22.1110110110110111=1110001101010111=01 1101111=011101003=-10101 10033 23. 1121101-1101111-1101-111故1X11012011-111011-1121-111211-1-11-1111-11230-14-1-2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页

3、，共 17 页24.11 20001012012012012101 2101 2000aaAaaaa当 a=0 时，()r A2。25.记1234,A，A101110111120011101110000向量组的秩1234(,)()2rr A所以1,2是向量组的一个极大线性无关组，且3=1,+2，4=1,2。26.由特征方程21|12EA（ -3）1（）=0 得 A 的特征值1213，。对于特征值11，解方程组1)EA XO（，求得一个基础解系111，故 A 的属于11的全部特征向量为11k，1k 为任意非零数。对于特征值23，解方程组2)EA XO（，即120 xx，求得一个基础解系211，故

4、 A 的属于23的全部特征向量为22k，2k 为任意非零数。27.对增广矩阵作初等行变换得14323112A143011003101011003当3 时r(A) 2 3方程组有非零解。 此时对应方程组为132300 xxxx，基础解系为1X =( 1 1 1)T，所求通解为1XkX ，k 为任意常数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页二21.设12为 n 阶方阵 A 的两个互不相等的特征值与之对应的特征向量分别为X1X2证明 X1X2不是矩阵A 的特征向量。22.设函数22112( )112211f xxx求方程

5、f(x) 0 的根。23.解矩阵方程142031121 101X。24.若向量组 1(1 1 1)T2(1 2 3)T3(1 3 t)T线性相关求（ 1）t 的值； （2）将 3表示为 1和 2的线性组合。25.求方程组123123123320,50,3580.xxxxxxxxx的一个基础解系和通解。26. 已知二次型 f2x1x22x2x32x3x1 (1)求出二次型 f 的矩阵 A的特征值(2)写出二次型 f的标准形。27.当 取何值时方程组12323331 223 (1)(3)(1)xxxxxxx有唯一解，并求解。参考答案 :21.假设 X1X2是矩阵 A 的属于特征向量，即A(X1X2

6、)（X1X2）因为AX1=1X1， AX22X2，所以A(X1X2) AX1AX21X12X2，消减（-1）X1（ -2） X2=O 因为属于不同特征值的特征向量线性无关，所以X1， X2线性无关，得 -1= -2=0 既 =1=2，矛盾。22.2222112112( )112004211211f xxxxx22112004013xx220413xx22(4)(1)xx，得方程 f(x) 0 的根为 x1 x2。23.因为11142412116, 1120101 1122, 所以11143120120111X=12431101101121211212301224. (1)记123,A， 因为1

7、 1 1| 1 2 351 3Att因为向量组123,线性相关充分必精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页要条件是0A，所以当t 5 时 向量组123,线性相关 ) （2）由 x11x223因为增广矩阵123,=1 1 11 011 2 30 121 3 50 00得方程组的解为x11 x22 从而3122。25.132132151021358042A132011/ 2000107 / 2011/ 2000方程组的一个基础解系为 X1(-7/2 1/2 1)T方程组的通解 X k X1(k 为任意常数 )。26.(1)

8、 二次型 f 的矩阵为011101110A因为211|11(1) (2)11AE所以 A的特征值为12132。(2) 二次型 f化为标准形为2221232fyyy27.对增广矩阵进行初等行变换得1111111102120212(,)00130013001(3)(1)0002(3)(1)A b当3 或1 时 r(A b) r(A) 3方程组有唯一解；当3 时，解为3 1,02 2T；当1 时，解为73, 222T。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页三21.若 AkO(k 是正整数 )求证 (E A)1E A A2Ak

9、1。22. 计算行列式xyxyyxyxxyxy。23.111121011011001X。24.已知(1 2 3)11(1 )23设 AT求 A 及 An25.求向量组1242，2110，3231，4352的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示。26.求解线性方程组1212341234522153223xxxxxxxxxx的通解。27.判断矩阵A2112是否可对角化？若可对角化，求可逆矩阵使之对角化。参考答案 : 21.由AkO得E AkE O E而E Ak(E A)(E A A2Ak1)所以(E A)(E A A2Ak1) E因此 (E A)可逆且(E A)1E AA

10、2Ak1 22.xyxyyxyxxyxy=2()2()2()xyyxyxyxyxxyxy12() 11yxyxyxyxxy=12() 00yxyxyxyxyx=2()xyxyxyx=-332()xy23.1111011001=110011001111 112101 101100 1X110121011011001X=13301224.T3(T是个数 )An(T)(T)(T)T(T)(T)(T)T(T)n1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页1T11112311 12332 (1 )212 3333312nn25.记1

11、234,A，A21234135201221230111011121230111000020120111000011012011100001234,记=C，所以向量组的秩1234(,)()()2rr Ar C；因为12,是列向量组1234,的一个极大线性无关组，所以12,是向量组1234,的一个极大线性无关组，(2 分)并且31212，412。26.对增广矩阵作初等行变换得1100510108()211210110135322300012A b对应的方程组为132348132xxxxx取 x30，得方程组的一个特解为0X( 8 13 0 2)T取 x31，得导出组13234000 xxxxx的一

12、个基础解系1X( 1 1 1 0)T，所求方程组的通解为011XXk X ，其中1k为任意常数。27.由221|(2)112EA=0，得 A 的特征值11，23。对11，解方程组)EA XO（，得其一个基础解系111；对23，解方程组)EA XO（3，得其一个基础解系211；因为矩阵 A 有两个线性无关的特征向量，所以A 可相似对角化取1211(,)11P， 则1PAP =1003。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页四21. 设方程组：121xxa ，232xxa ，343xxa ，454xxa ，515xxa 证

13、明方程组有解的充分必要条件是510iia。22.计算行列式1234234134124123。23.设300011014A361123B满足 AX=2X+B求 X。24.设1110，2101，3002，314， (1)验证123, 线性无关；（2）将 用123, 线性表示。26.求矩阵100252241A的特征值和特征向量。27.设12 31 2323kkkA, 试讨论 k 为何值时 ,（ 1） ）r(A) 1； （2） r(A) 2； （3）r(A) 3。参考答案 : 21.方程组的增广矩阵12345110000110000110(, )0001110001aaaA baa1234511100

14、001100001100001100000iiaaaaa前四行都加到第五行因为方程组有解的充分必要条件是r(A b) r(A) 。所以方程组有解的充分必要条件是510iia。22.1234234134124123=10234103411041210123=101234134114121123=101234011302220111=201234011301110111=201234011300220004160 23.(A 2E)X B,因为1002011012AE, 1100(2)021011AE,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7

15、 页，共 17 页所以X (A 2E)1B110036360111141012233224.记123110,100012A，因为()3r A，或者AXO只有零解，所以123,线性无关。或因为0A，所以123,线性无关。由112233xxx，即110100012123xxx=314，得惟一解：1231,2,1xxx故1223。25.111021832101A1110036301211110012100211001/ 201000011/ 2方程组的一个基础解系为X1(1/2,0,-1/2,1)T方程组的通解X k X1(k 为任意常数 )。26.由2100|252(1) (3)241EA=0，得

16、A的特征值11（二重），23。对11，将方程组)EA XO（化简为1232420 xxx，它的一个基础解系为1210，2101。A的属于11的全部特征向量为11k+22k(1k ,2k 不全为零 )。对23，解方程组)EA XO（3，即112312320,2220,2440,xxxxxxx它的一个基础解系为3011。A的属于23的全部特征向量为3k(0k)。27.2123123123022332302233kkkkkkkkA21230223300633kkkkk=B 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页 (1) 当

17、k=1时， B =123000000,()r A1 (2) 当k=-2时， B =126069000,()r A2;(3) 当1.2K时，123023001k，()r A3。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页五21.如果方阵 A 满足2AA ，则 A 的特征值只有0 或者 1。22.计算行列式xyyyyxyyyyxyyyyx。23.已知1PAP, 其中1411P,1 002, 求2A，A11。24.设 3 阶方阵 A B C 满足方程C(2A B) A求矩阵 A其中123012001B124012001C。25.求

18、向量组1 ( 1 1 4)T2( 2 1 5)T3( 4，2 10)T4 (1 01)T的一个极大无关组并把其余向量用极大无关组线性表示。26.已知二次型22212312232344fxxxx xx x (1)求出二次型 f 的矩阵 A的特征值(2)写出二次型 f 的标准形。27.讨论 a、b 为何值时非齐次线性方程组123123123304235xxxxxa xbxxx有无穷多解并求其通解。参考答案 : 21.设为 A 的任一特征值，为 A 的属于的特征向量，即A，所以22AA，2，而O，故20 ，得=0 或 1，因此 A 的特征值只有0 或者 . 23333xyyyxyyyyyxyyxyx

19、yyyyxyxyyxyyyyxxyyyx11(3 )11yyyxyyxyyxyyyx1000(3 )000000yyyxyxyxyxy3(3 )()xyxy23.1114113P，A=P1PA2.=P2P-1=141122( 1)002114113=1151254301 03A11=P111P=14111111( 1)002114113=14111111141223=131311111124212423精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页24. (2C E)A CBCB=103010001， (2C E)可逆并且

20、(2C E)1=148014001得 A (2C E)1(CB)=148103014010001001141101400125.因为1234,1241()1120451011 0010 1210 000所以向量组的秩r(1234,) 2因为12,线性无关所以12,是一个极大无关组并且322，412。26.二次型的矩阵为120222023A因为120|222(1)(2)(5)023AE所以 A的特征值为122531 (2) 二次型 f的标准形为22212325yyy27.对增广矩阵进行初等行变换得13101310(,)14011121350021A babab当 a2且 b1 时 r(A) r(

21、A b) 2 3 方程组有无穷多组解此时1023(,)01110000A b对应的方程组为1323231xxxx取 x30，得方程组的一个特解为0X(3 1 0)T取 x31，得导出组1323200 xxxx的一个基础解系1X( 21 1)T，所求方程组的通解为011XXk X ，其中1k为任意常数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页六21.设方阵 A 满足 A23A E O证明 (A 2E)可逆并求 (A 2E)1。22.计算 n 阶行列式111111111111naaDaaLLLLLLLLL。23.解矩阵方程

22、AX B X其中010111101A112053B。24.求一个非零向量3，使得3与向量11 21T， ，2111T， ，都正交。25.确定a的值，使方程组12312312311xxxaaxxxxxax有无穷多个解，求出它的通解。26.求矩阵1122A的特征值及特征向量。27.设1110，2101，3003，311，能否用123, 线性表示？若能，表示法是否惟一？参考答案 : 21.由A23A E O可知 A23A 2E E即(A 2E)(A E) E所以 (A 2E)可逆且(A 2E)1A E22. 把 第 二 列 加 到 第 一 列 ， 再 把 第 三 列 加 到 第 一 列 一 直 到

23、把 第 n列 加 到 第 一 列 ， 得1111111111111nananaDanaanaLLLLLLLLL1111111(1) 111111aanaaLLLLLLLLL=11110100(1) 00100001aanaaLLLLLLLLL=1(1)(1)nana23.由 AX B X 得(E A)X B因为110101102EA10211()321301 1EA所以1()EXAB021113113212020301 15311精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页24.设3=123,Tx xx，由题意130T，2

24、30T，即123123200 xxxxxx，方程组的基础解系为1,0,1T(2 分) 取31,0,1T即可。25.2111111(, )1110 1111110011aaA baaaaaaa当 a=1 时， R(A) R(A, b) 13方程组有无穷多解。当 a=1 时， (A, b)11 1100 0000 00取 x2x30，得方程组的一个特解为0X(1 0 0)T分别取 x21，x30，和 x20，x31，得导出组的一个基础解系1X(-1 1 0)T，2X(-1 0 1)T .方程组的通解为01122XXk Xk X ，其中12,kk为任意常数。26.由特征方程11|22EA1（）=0

25、得 A 的特征值1201，对于特征值10，解方程组1)EA XO（，即-120 xx求得一个基础解系111，故 A 的属于10的全部特征向量为11k，1k为任意非零数。对于特征值21，解方程组2)EA XO（，即 -2120 xx，求得一个基础解系21/ 21，故 A 的属于21的全部特征向量为22k，2k为任意非零数。27.由112233xxx，即110100013123xxx=311，得惟一解：1231,2,1xxx故1223，(1 分) 且表示法惟一。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页七21.如果向量组a1

26、a2as线性无关证明向量组a1a1a2a1a2as线性无关。22.设1111011xxx求 x。23.设101020101A，且 ABE A2B，求 B。24.设向量组 1(1 1 3 1)T2(31 2 4)T3(2 2 71)T求向量组123, 的秩，并问向量组123, 是线性相关还是线性无关？3能否由向量组12线性表示 ? 25.a取何值时，齐次线性方程组20030 xyzaxzxz有非零解，并求其通解。26. a 取何值时矩阵11123512536aA的秩()r A2？27.判断矩阵A71247是否可对角化？若可对角化，求可逆矩阵使之对角化。参考答案 : 21.设 x1a1x2(a1a

27、2)xs(a1a2as) o则(x1x2xs)a1(x2xs)a2xsaso因为 a1a2as线性无关所以122000sssxxxxxx显然此方程只有零解故向量组a1a1a2a1a2as线性无关。22.112111111121(2) 11112111xxxxxxxxxxx111(2) 010001xxx2(2)(1)0 xx得x2或x 1。23. AB E A2BAB B A2E(A E)B (A E)(A E)因为 A E 可逆，所以(A E)1(A E)B (A E)1(A E)(A E)B A E20103010224.记123,A，对 A 施行初等变换得A132132112010327

28、001141000123(,)r= ()r A = 3 (2 分) 向量组123,是线性无关，3不能由向量组12线性表精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页示。25.211103012111 0301Aaa1030170013a当 a=13时，r(A) 2 3，方程组有非零解或由系数行列式等于0，得 a=13时方程组有非零解，基础解系为13, 7,1TX，所求通解为1XkX ，k 为任意常数。26.对矩阵 A作初等变换11123512536Aa111208440854a111208440010a当 a=1 时，()r

29、 A2。27.由2712|147EA=0，得 A 的特征值11，21对11，解方程组)EA XO（，得其一个基础解系121对21，解方程组)EA XO（-1，得其一个基础解系23 / 21因为矩阵 A 有两个线性无关的特征向量，所以A 可相似对角化取1223/ 2(,)11P，并且1PAP =1001。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页八21. 设 为 n 维非零列向量， 且1T， E 为 n 阶单位矩阵， 则2TAE为正交矩阵。22.计算行列式D=2345345645675678。23.已知1PAP，其中231

30、2P，=1001，计算3A，2nA。24.求向量组 1(1 0 1)T2(1 1 1) T3(011) T4(3 56) T的一个极大线性无关组；并将其他向量表示为极大线性无关组的线性组合。25.求方程组13412341234203202530 xxxxxxxxxxx的一个基础解系和通解。26.求矩阵 A=1102的特征值与特征向量。27. 讨论当a取何值时123(,)f x xx=2221231213235224xxxax xx xx x 为正定二次型。参考答案 : 21.证明因为(2)(2)TTTTAAEE= (2)(2)TTEE=44 ()TTTE44TTEE所以2TAE为正交矩阵。22

31、.第四行减第三行，然后第三行减第二行，得D=2345345611111111，由行列式的性质知：D=0 23.12312P， A=P1P3A=P31P=231233100(1)2312=231210012312=712472nA=P2n1P=231222100( 1)nn2312=231210012312=P1P=E224.12341103(,)0115111611031001101150101400190019所以向量组的秩 r(1234,) 3又 r(123,) 3，所以123,是一个极大线性无关组。并且411114293 25.对系数矩阵作初等行变换得精选学习资料 - - - - - -

32、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页102110211132011121530000A原方程组与方程组1342342xxxxxx同解。当(x3x4) (1 0)时(x1x2) ( 2 1) 当(x3x4) (0 1)时(x1x2) (11)方程组的基础解系为X1( 2 1 1 0)TX2(11 0 1)T方程组的通解为1122Xk Xk X ，其中12,k k为任意常数。26.由特征方程11|02EA（ -1） （ -2 ）=0 得 A 的特征值1212，对于特征值11， 解方程组1)EA XO（， 求得一个基础解系110， 故 A 的属于11的全部特征向量为11k，1k为任意非零数对于特征值22，解方程组2)EA XO（，即120 xx，求得一个基础解系211，故 A 的属于22的全部特征向量为22k，2k为任意非零数。27. 二次型的矩阵为1112125aaA要使 A为正定其各阶顺序子式要大于零即1| 1A0221|11aaaA0311|12(54)125aaaaA0解得405a，即当405a时二次型为正定。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页