解三角形常见题型归纳.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -。解三角形常见题型归纳正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。题型之一 ： 求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角 或二角一边或三边 ，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线 高线、角平分线、中线 及周长等基本问题1.在ABC 中， AB=3， AC=2， BC= 10 ，就 ABAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3AB22C 2D 3332可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】 D2（

2、1）在ABC 中，已知A32.00 ， B81.80 ， a42.9 cm，解三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）在ABC 中，已知a长精确到1cm）。20cm， b28 cm， A400 ，解三角形（角度精确到10 ，边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3（ 1）在ABC中，已知 a23 ， c62 ， B600 ，求 b 及 A。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）在ABC中，已知 a134.6cm ， b87.8cm ， c161.

3、7cm ，解三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结42005 年全国高考江苏卷ABC 中， A， BC 3，就ABC 的周长为（）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 43 sinB33 B 43 sinB36可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C 6 sinB33D 6 sinB36可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：由正弦定理，求出b 及 c，或整体求出b c，就周长为3 b c 而得到结果选 D 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

4、名师归纳总结5 （ 2005 年全国高考湖北卷在 ABC中，已知AB46 ,3cos B6，AC边上的中线6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BD=5 ，求 sin A的值分析：此题关键是利用余弦定理，求出AC及 BC，再由正弦定理，即得sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设 E 为 BC的中点，连接DE，就 DE/ AB，且 DE126AB23，设 BE x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 BDE中利用余弦定理可得：BD 2BE 2ED 22 BEED cos BED ，可编辑资料 -

5、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5x 28262336x ，解得 x61， x7（舍去）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 BC=2，从而AC2AB2BC22AB BCcosB28AC，即32213又 sin B30 ，6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结精选资料，欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下

6、载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -。221故23， sin A70sin A30146在 ABC中，已知a 2， b 22 ， C15，求 A。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： BA，且 00A1800 ， A300可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型之二 ：判定三角形的外形：给出三角形中的三角关系式，判定此三角形的外形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 2005年北京春季高考题 在ABC 中，已知（）2 sin Acos Bsin C ，那么ABC 肯定是可编辑资料 - - -

7、欢迎下载精品名师归纳总结A直角三角形B等腰三角形C 等腰直角三角形D正三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 1：由2 sin AcosBsinC sin A B sin Acos B cos Asin B，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 sin AcosB cos Asin B 0，得 sin A B 0，得 A B应选 B 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 2：由题意，得cos Bsin Cc，再由余弦定理，得cosB ac2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22sin A2a2ac可编辑资料 - - - 欢迎

8、下载精品名师归纳总结a2c2b22acc，即 a b ，得 a b，应选 B 222a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评注：判定三角形外形，通常用两种典型方法：统一化为角，再判定 如解法 1 ，统一化为边，再判定 如解法 2 2在 ABC中，如 2cos Bsin A sinC ，就 ABC的外形肯定是（）A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形答案： C解析： 2sin Acos B sin （A B） sin （ AB）又 2sin Acos B sin C， sin （ A B） 0， A B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23

9、. 在 ABC中，如 atan A，试判定 ABC的外形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b2tan B答案：故 ABC为等腰三角形或直角三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 在 ABC中，cos Ab cos，判定 ABC的外形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： ABC为等腰三角形或直角三角形。题型之三 ：解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题1. 2005年全国高考上海卷在ABC 中，如A120，AB5 ，BC7 ，就ABC 的面积 S 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2在ABC

10、中， sin Acos A22， AC2 ， AB3 ，求tan A 的值和ABC 的面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结精选资料，欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结积。答案： SABC1 ACAB sin A 212326243 26 4可编辑资料 - - - 欢迎下载

11、精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.（ 07 浙江理 18）已知（I ）求边 AB 的长。 ABC 的周长为21，且 sin Asin B2 sin C 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（II ）如 ABC 的面积为1 sin C ，求角 C 的度数6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ I ）由题意及正弦定理，得ABBCAC21 ， BCAC2 AB ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两式相减，得AB1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（II ）由 ABC 的面积 1 BC ACsin C1 si

12、n C ，得BC AC1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结263可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由余弦定理，得cos CAC 2BC 2AB2 ACBC 22 AC BCAB 21，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 AC BC2 AC BC2所以 C60 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型之四 ：三角形中求值问题1. 2005 年全国高考天津卷在ABC 中，A、B、C 所对的边长分别为a、b、c ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 a、b、c 满意条件 b 2c 2bca 2 和 c1b23 ，求A和tan

13、 B 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：此题给出一些条件式的求值问题，关键仍是运用正、余弦定理b 2c 2a 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由余弦定理cos A，因此，A60可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2bc2在 ABC中， C=180 A B=120 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由已知条件，应用正弦定理13csin Csin120B 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2bsin Bsin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin 120cos Bsincos120 Bs

14、in B3 cot B21 , 解得2cot B2, 从而tan B1 . 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ABC 的三个内角为A、B、C ，求当A 为何值时，cosA并求出这个最大值。2cos BC 2取得最大值，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：由 A+B+C=，得B+C 2 = 2A，所以有cos 2B+CA2=sin 2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B+CAAAcosA+2cos=cosA+2sin=1 2sin 2+ 2sinA 2sin13 2+。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2222=222可编辑资料

15、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1B+C3当 sin 2 =2，即 A= 3时, cosA+2cos2 取得最大值为 2。精选资料，欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结。3在锐角 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c ，已知sin A22，（ 1）求3可编辑资料 -

16、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan2 BCsin2A的值。（ 2）如 a2 ， S ABC2 ，求 b 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22解析：（ 1）由于锐角ABC中， A B C ， sin A就221，所以 cosA，33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan2BC sin2sin2A BC 2sin2 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22cos2BC22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1 co（s BC）11 cosA17 （1cosA）1cos（BC）21

17、cosA33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 由于 S2，又 S1122bcsin A bc，就 bc3。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABCABC223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将 a2， cosA 13， c 3 代入余弦定理：ba2 b2 c22bccos A 中，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 b46b290 解得 b3 。点评： 知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时， 敏捷逆用公式求得结果即可。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4在 ABC 中，内角A，B，C 对边的边长分别是a

18、， b，c ，已知 c2 ， C3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ ）如 ABC 的面积等于3 ，求 a，b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ ）如 sin Csin BA2sin 2 A ，求 ABC 的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础学问，考查综合应用三角函数有关学问的才能满分12 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（）由余弦定理及已知条件得，a 2b 2ab4 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于 ABC 的面积等于3 ，所以 1 ab si

19、n C23 ，得 ab4 4分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结联立方程组a2b2ab4，a解得ab4，2 ， b2 6分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）由题意得sin BAsin BA4sin A cos A ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 sin B cos A2sinAcos A ，8分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 cos A0 时， A， B24323， a， b，633可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结精选资料，欢迎下载可编辑资料 - - - 欢

20、迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 cos A0 时，得 sin B2sinA ，由正弦定理得b2a ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2b2ab4，2343可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结联立方程组解得 a， b可编辑资料 - - -

21、 欢迎下载精品名师归纳总结b2a，33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 ABC 的面积 S1 ab sin C2312 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23题型之五 ：正余弦定懂得三角形的实际应用利用正余弦定懂得斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的学问，例析如下：（一 . ）测量问题1.如图 1 所示， 为了测河的宽度，在一岸边选定 A、 B两点，望对岸标记物C，测得CCAB=30， CBA=75，AB=120cm，求河的宽度。分析：求河的宽度，就是求 ABC在 AB边上的高，而在河的一边， 已测出 AB长、CA

22、B、ADBCBA，这个三角形可确定。图 1解析：由正弦定理得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinACABCBAsinACB， AC=AB=120m，又可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S ABC1 AB AC sinCAB1 AB CD ，解得 CD=60m。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22点评：虽然此题运算简洁，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。（二 . ）遇险问题2 某舰艇测得灯塔在它的东15北的方向，此舰艇以30 海里 / 小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30北。如此灯塔四周10 海里内有暗礁，问此舰艇连续向东

23、航行有无触礁的危急？解析： 如图舰艇在A 点处观测到灯塔S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在东 15北的方向上。 舰艇航行半小时后到达 B 点，测得 S 在东 30北的方向上。在ABC中，可知 AB=300.5=15 ， ABS=150，西北1530东可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ASB=15，由正弦定理得BS=AB=15，过点S 作 SC 直线 AB，垂足为C，就 SC=15sin30 =7.5 。ABC南图 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这说明航线离灯塔的距离为7.5 海里，而灯塔四周10 海里内有暗礁，故连续航行有触礁的危急。点评：有

24、关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（ 1）精确懂得题意，分清已知与所求，特别要懂得应用题中的有关名词和术语。（ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结画出示意图，并将已知条件在图形中标出。（ 3）分析与所讨论问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。（三 . ）追击问题3 如图 3，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45精选资料，欢迎下载北A45B15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C学习资料 名师精选图 3- - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - -

25、 - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -。方向，距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速度沿南偏西 15方向航行，如甲船以 28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向，用多少 h 能尽快追上乙船？解析：设用t h ，甲船能追上乙船，且在C 处相遇。在 ABC中， AC=28t， BC=20t， AB=9，设 ABC=， BAC=。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 =180 4515=120。依据余弦定理AC2AB 2BC 22 ABBC cos，可编辑资

26、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结228t328120t92920t1 2，128t 260t270 ，（ 4t 3）（ 32t+9 ）=0，解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 t=， t=4（舍）32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AC=283 =21 n mile， BC=203 =15 n mile。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4依据正弦定理，得sin4BC sin153253，又 =120， 为锐角，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AC2114可编辑资料 - -

27、- 欢迎下载精品名师归纳总结=arcsin535372，又1414142， arcsin253，144可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结甲船沿南偏东 arcsin53414的方向用3 h 可以追上乙船。4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评：航海问题常涉及到解三角形的学问，此题中的 ABC、AB 边已知，另两边未知，但 他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以， 这两边均与时间t 有关。 这样依据余弦定理，可列出关于t 的一元二次方程，解出t 的值。4如图， 当甲船位于A 处时获悉， 在其正东方向相距20 海

28、里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救甲船立刻前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距 10 海里 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1）？222解析：连接BC,由余弦定理得BC=20 +10 22010COS120=700.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是 ,BC=107 。 sin ACBsin 120， sin ACB=3 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结20 ACB90， ACB=41。1077北可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B 处救援。.A20B10

29、.C精选资料，欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -。精选资料，欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - -

30、- - - - - -。大家都来到荷塘，挖莲藕抓鱼虾，捉泥鳅捡螃蟹，人声沸腾，笑语欢声，相互谈说着要如何弄出一顿顿可口的美味。光是莲藕的吃法就有许多：熬汤炖肉八宝酿、清炒生吃蜜饯糖，仍可以磨成藕粉，加入砂糖或蜂蜜，在温水里一泡，就是一杯凉爽清甜的解暑饮料。用鲜莲叶来熬粥，蒸饭蒸鸡，或蒸其它肉类味道都是极鲜美的，做出来的食物均带着一股淡淡的莲叶幽香。人们那么喜爱荷花，不单单是由于它的芳香漂亮干净高雅，更由于它全身是宝，每一处都可食可药可用。我最喜爱的是生鲜莲子羹。把剥好的莲子对半打开去芯，莲子芯很苦，可以药用，没有芯的莲子是甜的，正好用它熬糖水。把足量的生莲子洗净，和着一小片生姜一片鲜莲叶，放进

31、清水锅里，盖着盖子大火烧滚，转小火熬二非常钟，捞起莲叶，加入冰糖，小火慢熬，边熬边搅拌，十五分钟后，一款既幽香甘美又消暑解渴的莲子羹就做成了。这样的汤水，在酷热的夏季里，只要喝过一次都不会遗忘。精选资料，欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -。Welcome . 欢迎您的下载，资料仅供参考！精选资料，欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载