D9_2偏导数-精品文档资料整理.ppt

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1、目录 上页 下页 返回 结束 第二节一、一、 偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算二二 、高阶偏导数、高阶偏导数 偏 导 数 第九章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法引例引例:研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是),(txu0 xOxu中的 x 固定于 x0 处,求一阶导数与二阶导数.),(txu),(0txu),(0txu关于 t 的将振幅目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1.),(yxfz 在点), (), (lim000yfyfx存在,xyxyxfz对在点),(),(00的偏导数，记为;),(00yxxz),(00yx的某邻

2、域内;),(00yxxfxx00 x则称此极限为函数极限设函数)(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx; ),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxy. ),(001yxf xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意注意:目录 上页 下页 返回 结束 0),(dd0yyyxfy同样可定义对 y 的偏导数 lim0y),(00yxfy若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,xzxfxz则该偏导数称为偏导函数, 也简称为偏导数偏导数 ,),(, ),(1yxfyxfx),(,

3、),(2yxfyxfy) ,(0 xf),(0 xfy记为yy00y或 y 偏导数存在 ,yzyfyz目录 上页 下页 返回 结束 ),(zyxfx例如例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏导数定义为(请自己写出)注意：偏导数的记号是一个整体记号，不能看作分子与分母之商。目录 上页 下页 返回 结束 二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfz

4、xTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线0),(xxyxfzyTM0在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线0 xyTyxzOxT0y对 y 轴的0M),(00yx目录 上页 下页 返回 结束 函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如, ,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy00注意：注意：但在该点不一定连续不一定连续.上节例 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!目录 上页 下页 返回 结束 例例1 . 求223yyxxz解法解法1xz

5、)2, 1 (xz解法解法2) 2, 1(xz在点(1 , 2) 处的偏导数.) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz先求后代先代后求目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 证证:xzyzxxzyxln1 例例3. 求222zyxr的偏导数 . 解解:xryryyxx yz求证,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry目录 上页 下页 返回 结束 偏导数记号是一个例例4. 已知理想气体的状态方程求证:1pTTVVp

6、TRVp证证:,VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp说明说明:(R 为常数) , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子与分母的商 !此例表明,整体记号,目录 上页 下页 返回 结束 二、高阶偏导数二、高阶偏导数设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数),(, ),(yxfyzyxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx

7、数:目录 上页 下页 返回 结束 类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为3322)(xzxzxz = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶) (yyxznn1偏导数为11nnxz目录 上页 下页 返回 结束 22exy例例5. 求函数2exyz.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此处,22xyzyxz但这一结论并不总成立.2exy22exy2exy22exy22exy24exy的二阶偏导数及 目录 上页 下页 返回 结束 0,)(42

8、22224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 证明函数222,1zyxrru满足拉普拉斯0222222zuyuxu证：证：xu22xu利用对称性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2

9、131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0目录 上页 下页 返回 结束 ,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则定理定理.例如例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导

10、数在点 (x , y , z) 连续连续时, 有而初等(证明略) 证明 定理定理.证证: :令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),()(00yxfyyxfx则),(yxFxxx)(10 xyxxfyyxxfxx ),(),(010010yxyyxxfyx),(2010),(),(0000yxfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)10(1)1,0(21,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则)()(00 xxx又令同样),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),(0000yxfyyx

11、f)()(00yyyyxyyxxfxy),(4030) 1,0(43),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfxyyx, 0 x故令),(4030yyxxfxy),(2010yyxxfyx在点)(00yx ，连续,得0y目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习解

12、答提示: P129 题 5，时当022 yx222),(yxyxxyxfx222),(yxyxyyxfy,022 yx当0)0 ,(dd)0 , 0(xxfxfx0), 0(dd)0 , 0(yyfyfy00P129 题 5 , 62223)(2yxyx222222)()(yxyxx即 xy0 时,目录 上页 下页 返回 结束 P129 题6(1),12yxxz22yxyyz,)(12222yxxz,)(2222yxyyxz22222)()(2yxyxyz(2),1yxyxzxxyzyln,) 1(2 .22yxyyxzxxyxyxzyyln1 .12xxyzy222ln目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P68 1（4）,（6）,（8）； 3； 5； 6（3）； 7； 8； 9（2）第三节 目录 上页 下页 返回 结束 ,)(xuuf备用题备用题 设, )(ufz 方程)(uu( )dxyp tt确定 u 是 x , y 的函数 ,)(, )(可微其中uuf)(),(utp连续, 且, 1)( u求.)()(yzxpxzyp解解:xzyuufyz)(xuuxu)()(xpyuuyu)()(ypxu)(1)(uxpyu)(1)(uyp)(uf yzxpxzyp)()(yuxpxuyp)()(0