第五章（2） 向量组的秩与线性方程组解的结构.pptx

《第五章（2） 向量组的秩与线性方程组解的结构.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五章（2） 向量组的秩与线性方程组解的结构.pptx（36页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、5.1 向量组的线性组合5.2 向量组的线性相关性5.3 向量组的秩5.4 线性方程组解的结构5.5 向量空间简介CHAP5 向量组的线性相关性向量组的线性相关性5.3 向量组的秩一、向量组的秩的概念与性质给定向量组，如果能在其中选出r 个nA ,:21rA ,:210满足：向量定义5.3.1线性无关；012:,rA 向向量量组组（1）组A中任意r+1个向量（如果有的话）都线性相关,（2）则称向量组是向量组A的一个最大无关组；0A而最大无关组中所包含的向量个数r叫做向量组A的秩，AR记做特别地只含零向量的向量组，秩为05.3 向量组的秩一、向量组的秩的概念与性质由向量组秩的定义可以得到下面几条

2、简单的性质（1）包含m个向量的向量组的秩满足mR 0（3）向量组nA ,:21线性无关nRA （2）若组B是组A的一个部分组，那么ABRR 5.3 向量组的秩二、向量组的秩与矩阵的秩的关系 仔细体会向量组的最大无关组和秩的定义,不难发现与矩阵的最高阶非零子式和矩阵的秩有着相似之处.先看一个例子:125(,) 1123112122 3502636377A 10508013040001100000rB 所以( )3R A 并且421, (3阶)非零子式中就包含A的一个最高阶5.3 向量组的秩二、向量组的秩与矩阵的秩的关系0124113122(,)352363A 所所以以矩矩阵阵列列满满秩秩124,

3、 所所以以向向量量组组线线性性无无关关又因为矩阵A中任意选择4个列向量，它们构成的矩阵的秩都小于等于A的秩3，这意味着矩阵A的列向量组中任意4个向量都线性相关124,()AAARR A 所所以以就就是是 的的列列向向量量组组的的一一个个最最大大无无关关组组，而而 的的列列向向量量组组的的秩秩5.3 向量组的秩二、向量组的秩与矩阵的秩的关系定理5.3.1 矩阵的秩等于它的列向量组的秩（矩阵的列秩）也等于它的行向量组的秩（矩阵的行秩）,并且矩阵的最高阶非零子式所在的列（行）就是它的列（行）向量组的一个最大无关组.上面的例子具有一般性，事实上，关于矩阵的秩和向量组的秩有下面的定理线线性性方方程程组组

4、的的解解矩矩阵阵的的秩秩向向量量组组的的线线性性相相关关性性向向量量组组的的秩秩5.3 向量组的秩三、向量组与其最大无关组之间的等价性 对于包含有限个向量的向量组，它的秩和最大无关组可以利用矩阵的秩和最高阶非零子式所在的列来确定. 一个秩为r的向量组，它的最大无关组未必唯一(最高阶非零子式的取法未必唯一)，但是每一个最大无关组中都包含r个线性无关的向量. 在这一目中我们将看到不同的最大无关组都与向量组本身等价. 首先介绍最大无关组的一个等价定义，并且利用这个定义研究一个包含无限多个向量的向量组的例子.线性无关,rA ,:210线性表示.0A向量组无关组的充要条件是：rA ,:210并且组A中任

5、意一个向量都可以由组是组A的一个最大定理5.3.25.3 向量组的秩三、向量组与其最大无关组之间的等价性等价.0A设向量组无关组，那么组A与组rA ,:210是组A的一个最大推论5.3.1根据定义,组证明：必要性：由于向量组线性表示.0A假设向量组所以向量rA ,:210可以由组是组A的一个最大无关组线性无关,rA ,:210任意r+1个向量都线性相关.并且组A中现任取组A中一个向量 12,r 线性相关,而组线性无关,rA ,:210 5.3 向量组的秩三、向量组与其最大无关组之间的等价性充分性：5.3 向量组的秩三、向量组与其最大无关组之间的等价性0( )()1R BR Arr 现任意选取组

6、A中r+1个向量,构成的向量组记作组B假设向量组rA ,:210线性无关,任意一个向量都可以由组并且组A中线性表示.0A则组B可以由组线性表示，因此rA ,:210所以向量组B线性相关.例5.3.15.3 向量组的秩三、向量组与其最大无关组之间的等价性 7621,7223,3012,6521,331154321 给定向量组求该向量组的秩，以及一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示.【解】所以 3 ARRA并且421, 最大无关组。就是向量组A的一个 00000110004031080501B),(521 Ar),(521 又因为矩阵A与矩阵B行等价,所以Ax=0与Bx=

7、0同解11223344550 xxxxx11223344550 xxxxx 由B可知，421521348,35 所以312512453,84 例5.3.2 考虑齐次线性方程组 0043214321xxxxxxxx设该方程组的全部解向量构成的向量组为S,以及一个最大无关组。求组S的秩【解】1111100111110110rA 所以该方程组的解为221121432110010110 ccccxxxxx 显然12, 是两个线性无关的解，且S中任意一个解向量都能由这两个解线性表示，所以RS=2,并且12, S的一个最大无关组。就是5.3 向量组的秩四、利用向量组的秩研究向量组的线性相关性（1） 给定向

8、量组A以及一个向量b，b可由向量组A线性表示的充要条件是BARR 其中向量组B是向量组A与向量b的合并组。（2）给定两个向量组A和B，则组B可由组A线性表示的充要条件是CARR 其中向量组C是组A和组B的合并组。（3）组A和组B等价的充要条件是CBARRR 其中向量组C是组A和组B的合并组。5.3 向量组的秩四、利用向量组的秩研究向量组的线性相关性线线性性方方程程组组的的解解向向量量组组（矩矩阵阵）的的秩秩线线性性相相关关性性方法3：证明组C和组D等价方法1：证明组D线性无关方法2：证明组Dx=0只有零解例5.3.3123123:,:,AB 4 4设设向向量量组组, ,组组, , ,12354

9、:,4.D 证证明明向向量量组组的的秩秩等等于于123:,3,4ABCCRRR 5 5以以及及组组, ,分分别别满满足足（#）5.4 线性方程组解的结构这一节我们研究两个问题：1、当Ax=0有非零解时，其解的结构是怎样的?2、当Ax=b有无穷多解时，其解的结构是怎样的?围绕以上问题，我们将给出几个定理，其中最重要的是关于齐次线性方程组基础解系的理论:(),0()=()m nm nR AnnAxnR A 设设则则 元元齐齐次次线线性性方方程程组组的的基基础础解解系系 所所有有解解构构成成的的向向量量组组的的一一个个最最大大无无关关组组中中所所包包含含的的向向量量个个数数5.4 线性方程组解的结构

10、一、齐次线性方程组解的结构1、齐次线性方程组解的性质12121122,0,0 xxAxc cxccAx 设设是是的的解解，是是任任意意常常数数，则则也也是是的的解解. .也就是说，齐次线性方程组解的线性组合仍然是该齐次线性方程组的解.112211221122120()000 xccAxA ccc Ac Acc 证证明明：只只要要把把带带入入到到中中：5.4 线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构2、齐次线性方程组的基础解系()0|0,0m nR ArnAxSx AxSAx 设设，则则有有非非零零解解（无无穷穷多多解解）, ,记记即即 是是的的所所有有解解构构成成的的向向量量组组. .12

11、,s 定义5.4.1：向量组 的一个最大无关组|0Sx Ax 叫做齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.基础解系中所含解的个数s，即向量组S的秩.121212(1),0(2),(3)0,sssAxAx 是是的的解解线线性性无无关关的的任任意意一一个个解解都都可可由由线线性性表表示示是Ax=0的基础解系12,s 5.4 线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构2、齐次线性方程组的基础解系123,0Ax 设设是是的的基基础础解解系系，则则下下面面向向量量组组中中那那一一组组向向量量还还可可以以作作为为基基础础解解系系？例5.4.15.4 线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构2、齐次线性

12、方程组的基础解系122331112123(1),;(2),. - -12,00sAxAxs 事事实实上上，如如果果是是的的基基础础解解系系，那那么么的的任任意意 个个线线性性无无关关的的解解都都是是一一个个基基础础解解系系. .s= =? ?5.4 线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构2、齐次线性方程组的基础解系0=()|0().m nm nSm nAxs nR ASx AxRnR A 的的基基础础解解系系中中所所含含的的解解向向量量个个数数即即向向量量组组的的秩秩定理5.4.1Remark 5.4.1（1）当A列满秩时，Ax=0只有零解，此时0SR （2）当 时，S中任意n-r个线性

13、无关的解向量都是一个基础解系.()m nR Arn 证明设Ax=0的系数矩阵的秩为r,并且不妨设A的前r列线性无关，那么A的行最简形为：11111001,00000000,nrrrr,nrbbbbAB 把 xr+1 , , xn 作为自由未知量，并令它们依次等于 c1 , , cn-r ，可得方程组的解为 111121,12,1122.100010001n rrrrr n rrn rrnxbbbxbbbxcccxx 把上式记作x = c1 1 + c2 2 + + cn-r n-r ,可知解集 S 中的任一向量 x 能由 1 , 2 , , n- -r线性表示又因为矩阵 ( 1 , 2 , ,

14、 n- -r ) 中有 n r 阶子式 | En r | 0，所以 1 , 2 , , n- -r线性根据最大无关组的等价定义，即知 1 , 2 , , n-r是解集 S 的最大无关组， 即 1 , 2 , , n- -r是Ax=0的基础解系.故 R( 1 , 2 , , n-r ) = n r ,无关.注：这个证明过程也给出了求基础解系的方法5.4 线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构3、齐次线性方程组的通解设 ， 是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，那么该齐次线性方程组的通解为：()m nR Arn 12,n r 1122n rn rxccc定理5.4.2上面定理表明要求齐次线

15、性方程组的通解，关键在于求出它的基础解系. 0 79-3 0 8 3x03 2- 074 54321432143214321 xxxxxxxxxxxxxxx例5.4.1求该方程组的一个基础解系以及通解。 7931181332117415A【解】 0000000025 . 31015 . 101r所以R(A)=2从而基础解系中有4-2=2个线性无关的解。5.4 线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构3、齐次线性方程组的通解取43, xx为自由未知数，令0, 143 xx5 . 3, 5 . 121 xx令1, 043 xx2, 121 xx从而 1021,015 . 35 . 121 就是

16、基础解系，所以该方程组的通解为.1021015 . 35 . 121 ccx 0000000025 . 31015 . 101Remark 5.4.2 也可以先求出通解，再写出基础解系.5.4 线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构3、齐次线性方程组的通解例5.4.2 试写出一个以12(0,1,1,0)( 1,2,2,1)TTxcc 为通解的齐次性方程组.OBAlnnm 设证明nBRAR )()(例5.4.3例5.4.4 设方程组Ax=0与Bx=0同解，证明)()(BRAR 例5.4.5 设证明nmijaA )()()( )TTR A AR AAR A1、非齐次线性方程组解的性质1212

17、,0 xxAxbxAx 设设是是的的解解，则则是是的的解解. .1212(1)()0AAAbb 证证明明：0,xAxxAxbxAxb 反反之之，若若是是的的解解是是的的解解，则则是是的的解解. .(2)()0AAAbb 5.4 线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构2、非齐次线性方程组的通解5.4 线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构对于n元非齐次线性方程组Ax=b rnrncccx2211定理5.4.3()( , ),m nR AR A brn 设设0AxAxb 齐齐线线性性方方程程组组的的一一个个基基础础解解系系，是是12,n r 是是与与之之对对应应的的的一个特解，那么

18、，非齐次线性方程组Ax=b的通解为：该定理表明，非齐次线性方程组的通解是对应的齐次线性方程组的通解加上自己的一个特解. 234313221320102111113102,bA例5.4.6 设非齐次线性方程组的增广矩阵为求该方程组的通解。2、非齐次线性方程组的通解5.4 线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构 0000005100004021231030232101rbA,【解】所以R(A)=R(A,b)=3所以Ax=0的基础解系中有2个线性无关的解。令0, 143 xx0, 5 . 1, 5 . 0521 xxx令1, 043 xx0, 5 . 0, 5 . 1521 xxx取43,

19、xx为自由未知数，在Ax=0中， 0105 . 05 . 1,0015 . 15 . 021 所以就是Ax=0的基础解系。 0000005100004021231030232101rbA,在Ax=b中， 令0, 043 xx可以得到Ax=b的一个特解( 3, 4,0,0,5)T 500430105 . 05 . 10015 . 15 . 0212211ccccx 所以Ax=b的通解为：2、非齐次线性方程组的通解5.4 线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构例5.4.6设n阶矩阵A的每一行元素之和都等于0，并且R(A)=n-1,求Ax=0的通解.例5.4.7124(1,2,3,4) ,(

20、2,3,4,5)( )3.TTmAxbR AAxb 已已知知= =是是非非齐齐次次线线性性方方程程组组的的两两个个互互异异的的解解, ,其其中中，求求的的通通解解例5.4.8（多选题）12212,0,AxbAxk kAxb 1 1已已知知是是非非齐齐次次线线性性方方程程组组的的两两个个互互异异的的解解, ,是是的的一一个个基基础础解解系系, ,是是两两个个任任意意常常数数，则则的的通通解解为为( ( ) )112212112121112121211221211(A)()2(B)()1(C)(+)()2(D)()kkkkkkkk 5.4 线性方程组解的结构本节小结1、齐次线性方程组解的性质：齐次线性方程组的解的线性组合仍然是解.2、齐次线性方程组的基础解系，以及所有解构成的向量组的秩：若齐次线性方程组有非零解，那么它的所有解构成的向量组的一个最大无关组叫做它的一个基础解系，解向量组的秩（基础解系/最大无关组中所包含的解的个数）()m nnR A 3、齐次线性方程组的通解就是基础解系的线性组合.4、非齐次线性方程组的两个解的差是对应的齐次线性方程组的一个解，非齐次线性方程组的通解是它对应的齐次线性方程组的通解与其自己的一个特解之和.