线性代数复习总结2.docx

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1、精品名师归纳总结概念、性质、定理、公式必需清晰,解法必需娴熟,运算必需精确A可逆r A nA的列（行）向量线性无关A的特点值全不为0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ax只有零解A0nx, Ax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结R, Ax总有唯独解A T A是正定矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AEAp1 p 2psp i 是初等阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结存在 n阶矩阵B , 使得ABE或ABE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：全体 n 维实向量构成的集合A不行逆Rn 叫做 n 维向量空间 .可编辑资料

2、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结r A nA0A的列（行）向量线性相关0 是 A的特点值Ax有非零解, 其基础解系即为A关于0的 特点向量r aEbAn注 aEbAaEbA x有非零解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量组等价矩阵等价=- ab具有反身性、对称性、传递性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵相像 :矩阵合同 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 关于e1, e2 , en ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为.的标准基,.中的自然基,单位坐标向量p教材 87 。

3、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 e1, e2 , en线性无关。 e1,e2, en1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 trE=n 。任意一个 n 维向量都可以用e1, e2 , en 线性表示 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n行列式的定义Da11 a21a12La22La1n a2n 1 j1 j2 Lj n aaL a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MMMj1 j2L jn1 j12 j 2njn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 行列式的运算：an1an2Lann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

4、归纳总结行列式按行（列）绽开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.AOAAO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mn如 A与B 都是方阵（不必同阶）, 就=OBOBBAB（拉普拉斯绽开式）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OAA=BOBO1) A B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1nOa1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

5、总结关于副对角线：a2 n 1a 2n 11n n 1 2a1 na 2n Kan1（即：全部取自不同行不同列的n 个元素的乘积的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代数和）an1NNOan1O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11L1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1范德蒙德行列式：x2x2Lxnx2Lx2xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12nij1 j i n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MMMxn 1xn 1Lxn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12na11a12La1n可编辑资料 -

6、- - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵的定义由 mn 个数排成的 m 行 n 列的表 Aa21a22La2 n称为 mn矩阵 . 记作：Aa或 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MMMijm nm n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结am1am2Lamn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T相伴矩阵A*AA11A12A21LA22LAn1An2, A 为 A 中各个元素的代数余子式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ijijMMM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 逆矩阵的求法 :1AA1 nA2nLAnn1ab1 db主L

7、换位可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A注 ：Acdadbcca副L 变号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AME 初等行变换 E MA 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11a1a1a12a23a1a311a1a31a2a23a1a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 方阵的幂的性质：Am AnAm n Am n Amn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 设 Am n , Bn s,A的列向量为1,2 ,n , B 的列向量为1,2 ,s ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢

8、迎下载精品名师归纳总结b11b12Lb1 sb21b22Lb2 sMbn1Mbn2LMbns就ABCm s,c , c ,L, cA ici,i1,2 ,L, si为Axci的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12n12s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1,2,sA 1, A2, A sc1, c2,L, csc1, c2,L, cs 可由1,2 ,n 线性表示 . 即： C 的列向量能由A 的列向量线性表可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结示, B 为系数矩阵 .同理： C 的行向量能由B 的行向量线性表示,AT 为系数矩阵 .可编辑资料 - -

9、 - 欢迎下载精品名师归纳总结a11a12La1n1c1a111a122La1 n2c1a 21a 22La 2 n2c 2a211a 222La2 n2c2MMMMMLLLa n1a n 2La mnnc ma m11a m 22Lamn2cm即：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 用对角矩阵用对角矩阵左 乘一个矩阵 , 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量。 右 乘一个矩阵 , 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

10、归纳总结T 分块矩阵的转置矩阵：ABATCT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CDBTDT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分块矩阵的逆矩阵：A1A 1A1B 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111BB 1BA 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1ACAA CB1AOA 1O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OBOBCBBA B1CA 1BAnAn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分块对角阵相乘：AA11B11, BAB11 11, An11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*A22B22A

11、22 B2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分块对角阵的相伴矩阵：ABA*A * 1mn A B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BAB*B 1mn B A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 矩阵方程的解法 A0 ：设法化成IAXB或 IIXAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(I) 的解法：构造 AMB 初等行变换 E MX 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(II) 的解法：将等式两边转置化为AT X TBT,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用I的方法求出X T,再转置得 X可编辑资料 - - -

12、 欢迎下载精品名师归纳总结 零向量是任何向量的线性组合, 零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关。单个非零向量线性无关. 部分相关 , 整体必相关。整体无关, 部分必无关 .（向量个数变动） 原向量组无关 , 接长向量组无关。接长向量组相关, 原向量组相关 .（向量维数变动）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 两个向量线性相关对应元素成比例。两两正交的非零向量组线性无关p教材 114 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 向量组1, 向量组1,向量组1 ,2 ,n 中任一向量i 1 i n 都是此向量组的线性组合.2 ,n 线性相关向量组中至少有一个向量可

13、由其余n1 个向量线性表示 .2 ,n 线性无关向量组中每一个向量i 都不能由其余 n1 个向量线性表示 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 m 维列向量组1 , m 维列向量组1 ,2 ,n 线性相关2,n 线性无关r An 。r An .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如1 ,2 ,n 线性无关,而1,2,n ,线性相关 , 就可由 1,2,n 线性表示 , 且表示法唯独 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩 .行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线,线的下方全为0 。每个台

14、阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其他元素都是0 时,称为行最简形矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.矩阵的行初等变换不转变矩阵的秩, 且不转变列向量间的线性关系。矩阵的列初等变换不转变矩阵的秩, 且不转变行向量间的线性关系.即：矩阵的初等变换不转变矩阵的秩矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对 A 施行一次初等 行变换得到的矩阵 , 等于用相应的初等矩阵对 A 施行一次初等 列变换得到的矩阵 , 等于用相应的初等矩阵左 乘 A 。 右 乘 A

15、.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵的秩 假如矩阵 A 存在不为零的 r 阶子式,且任意 r1阶子式均为零,就称矩阵A的秩为 r . 记作 r Ar可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量组的秩向量组1 ,2,L,n 的极大无关组所含向量的个数,称为这个向量组的秩. 记作 r 1,2,L ,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵等价A 经过有限次初等变换化为B .记作： A %B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量组等价1 ,2 ,n 和1 ,2 ,n 可以相互线性表示.记作：1,2,n%1,2 ,n可编辑资料 - - - 欢迎下载

16、精品名师归纳总结.矩阵 A 与 B 等价PAQB , P,Q 可逆r Ar B, A, B为同型矩阵A, B 作为向量组等价 , 即：秩相等的向量组不肯定等价.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵 A 与 B 作为向量组等价矩阵 A 与 B 等价 .r 1,2,n r 1,2 ,n r 1,2 ,n ,1,2,n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.向量组1,2 ,s 可由向量组1,2,n 线性表示AXB 有解r 1,2,n = r 1,2,n ,1,2,s r 1,2,s 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r 1,2 ,n .可编辑资料 - - -

17、 欢迎下载精品名师归纳总结.向量组1,2 ,s 可由向量组1,2,n 线性表示 , 且 sn ,就 1 ,2,s 线性相关 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量组1,2 ,s 线性无关 , 且可由1,2,n 线性表示 , 就 s n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.向量组1,2 ,s 可由向量组1,2,n 线性表示 , 且 r 1,2,s r 1,2,n , 就两向量组等价。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.任一向量组和它的极大无关组等价. 向量组的任意两个极大无关组等价.向量组的极大无关组不唯独,但极大无关组所含向量个数唯独确定.如两个线

18、性无关的向量组等价, 就它们包含的向量个数相等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.设 A是 mn 矩阵 , 如 r A如 r Am, A 的行向量线性无关。n , A 的列向量线性无关, 即： 1 ,2,n 线性无关 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 矩阵的秩的性质：TT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如AOr A 1如AOr A00 r Am n min m, n r Ar A r A Ap教材 101, 例 15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 r kAr A如k0r Ar Bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

19、总结 如Am n, Bn s ,如r AB0B的列向量全部是 Ax0的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 r AB minr A, r B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如A可逆如B可逆r ABr ABAxr Br A即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.只有零解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如r Am n nr AB r B。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A在矩阵乘法中有左消去律ABOBOABACBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r ABr B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 r Bn s nB在矩

20、阵乘法中有右消去律 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ErOErO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如r ArA与唯独的等价,称为矩阵OOOOA的等价标准型 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 r AB r Ar Bmaxr A, r B r A, B r Ar Bp教材 70可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AOOA rr AOBBOr BACrr AOBr B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ax有无穷多解当A为方阵时A0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

21、结n表示法不唯独可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可由 1 ,2 ,L ,n 线性表示Ax有解r Ar AM 1 ,2 ,L ,n线性相关Ax0有非零解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ax有唯独组解当 A为方阵时A0克莱姆法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n表示法唯独可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r Ar AM 1 ,2 ,L ,n线性无关Ax只有零解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不行由1,2 ,L ,n线性表示Ax无解r Ar AM 教材 72可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：Ax Ax有无

22、穷多解其导出组有非零解有唯独解其导出组只有零解r A1r AM 讲义 87可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线性方程组的矩阵式Ax向量式x11x22Lxnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结am1am2Lamnxnbmmjxna11a12La1nx1b11 jx1a21Ma22MLa2 n, xMx2Mb2,Mj2 jM, j1, 2,L , n1,2 ,L,n x2 MA矩阵转置的性质： AT TA A 1 1相伴矩阵的性质： A AAABTAB 1ABBT ATB1A1B AkATkA 1kATk 1A 1kAk AATA 1AAA BTA B 1AAAT A

23、1A*BT B 1B* A1 T矩阵可逆的性质：AA1A 1 k AT 1Ak 1 AT A Tn 2n 1n 1B* A1 A 1A kA A A k A kr A n 10如 r An如 r A n如 r An11ABA BkAknAAkkAABABAAA AA E（无条件恒成立）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11 ,2是 Ax的解 ,1 2 也是它的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2是 Ax的解 , 对任意 k , k也是它的解齐次方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结31 ,2 , L,k 是 Ax的解 , 对任意k 个常数可编辑资料

24、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线性方程组解的性质：1 ,2 ,L,k ,1122kk 也是它的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4是 Ax的解 ,是其导出组Ax的解 ,是 Ax的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结51 ,2 是 Ax的两个解,12 是其导出组Ax的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 2 是 Ax的解 , 就1也是它的解12 是其导出组Ax的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结71 ,2 , L,k 是 Ax的解 , 就1122k1122kk 也是 Ax的解12k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

25、总结k 是 Ax0的解12k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 设 A为 mn 矩阵 , 如 r Amr Ar AM Ax肯定有解,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 mn 时, 肯定不是唯独解方程个数未知数的个数向量维数向量个数, 就该向量组线性相关 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m 是 r A和r AM 的上限 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 判定1 ,2,L,s 是 Ax的基础解系的条件：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 ,1 ,2,L2,L,s 线性无关。,s 都是 Ax的解。可编辑资料 - -

26、- 欢迎下载精品名师归纳总结 snr A每个解向量中自由未知量的个数. 一个齐次线性方程组的基础解系不唯独.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如是 Ax的一个解,1,L,s 是 Ax的一个解1,L , s ,线性无关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ax与 Bx同解（A, B 列向量个数相同） , 就： 它们的极大无关组相对应, 从而秩相等。 它们对应的部分组有一样的线性相关性。 它们有相同的内在线性关系.A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 两个齐次线性线性方程组Ax与 Bx同解rr ABr B .AM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

27、结 两个非齐次线性方程组Ax与 Bx都有解,并且同解rr ABMr B .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 矩阵Am n 与Bl n 的行向量组等价齐次方程组 Ax与 Bx同解PAB （左乘可逆矩阵 P ）。p教材 101可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵 Am n 与 Bl n 的列向量组等价AQB （右乘可逆矩阵Q ） . 关于公共解的三中处理方法： 把 I 与II联立起来求解。1,2,.4c23 是I的基础解系5 ,4,5 是II的基础解系,就I与II有公共解基础解系个数少的1c1 1c22 是 I的通解,2c33 是II的通解,两方程组有公共解2c33

28、1 可由 通过 I 与 II各自的通解,找出公共解。 当 I 与II都是齐次线性方程组时,设 通解可由另一个方程组的基础解系线性表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即： r 1,2,3r 1,2,3 Mc1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 I 与II都是非齐次线性方程组时,设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1, 2 线性表示 .即： r 1,2 r 1,2 M 2c331 设 I 的通解已知,把该通解代入II中,找出 I的通解中的任意常数所应满意II标准正交基n 个 n 维线性无关的向量, 两两正交 , 每个向量长度为 1.n向量a1, a2,

29、L , an与Tb1, b2 ,L , bn的内积T,ai bia1b1a2b2Lanbni 1与 正交 ,0 .记为：n向量a1, a2,L , an的长度T,a2ia21a22La2ni 1是单位向量,1.即长度为 1的向量 .0,且,0,2 2 ,c,1 1, c,2 2 ,A 的特点矩阵A 的特点多项式EA .EA . 是矩阵 A的特点多项式 AA 的特点方程EA0.nOAxx x为非零列向量 Ax与x线性相关 A12Lnitr A , tr A称为矩阵 A 的迹 .1 上三角阵、下三角阵、对角阵的特点值就是主对角线上的n 各元素 . 如 A0 , 就0 为 A 的特点值 , 且 Ax

30、的基础解系即为属于0 的线性无关的特点向量的关系式而求出公共解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 内积的性质：正定性：对称性：,双线性：,1c1,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 r A1a1A 肯定可分解为 A =a2、 A2 a ba bLa b A , 从而 A的特点值为：tr Aa ba bLa b ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23LMann0p指南 358 .b1 ,b2 ,L,bn1 12 2n n11 12 2n n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注 a1, a2 ,L, anT为 A 各行的公比,b1, b

31、2 ,L,bn为 A 各列的公比 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如 A的全部特点值1 ,2,L,n ,f A 是多项式 , 就:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如 A满意f AOA 的任何一个特点值必满意f i 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 初等矩阵的性质：f A 的全部特点值为f 1 , f 2, L, f n 。f Af 1 f 2 Lf n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ei, j1Ei k kEi , j k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ei ,j TE i, j Ei k TE i kEi