2022年资产定价模型的计量知识 .pdf

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1、统计手册：金融中的统计方法1第 1 章资产定价模型的计量经济评估?Wayne E.Ferson 和 Ravi Jagannathan 本文简要回顾了基于广义矩方法（GMM ）的资本资产定价模型评估技术。文中首先推导了 CAPM 和多 beta 模型，并讨论了最初用于评估这些模型的古典两阶段回归方法。然后描述了一般资产定价模型的核定价表示法，这种表示法自然地促进GMM 在评估大多数资产定价模型的条件和无条件形式中的运用。最后，本文还讨论了其他观点的诊断方法。1.引言金融研究的重要领域之一就是致力于理解为什么我们观察到的各种金融资产有着不同的期望收益率。例如，从1926 年 1 月到 1991 年

2、底，美国股票市场的总体年平均收益率为11.94%。相比之下，美国国库券的收益率只有3.64%。同期的通货膨胀率为3.11%(参见Ibbotson Associates（ 1992）). 为了正确评估这些巨大的差异，我们不妨看看，一顿供两人吃的正餐，1926 年在纽约大约要花 10 美元。如果同样的10 美元被投资到国库券上，到 1991 年底将增值到110 美元，仍然够两个人吃一顿不错的正餐。但如果把 10 美元投资到股票市场，则到 1991 年底将增长到 6756 美元。 这里的关键在于不同金融资产之间的平均收益的差异是巨大的，并且从经济学的角度来看，这种差异也是非常重要的。人们提出各种资产

3、定价模型用于解释这一现象。资产定价模型描述了证券市场上具有未来收益的资产价格是如何决定的。或者，可以将资产定价模型视为金融资产，如股票、 债券、期货、期权和其他证券的期望收益率的描述。各种资产定价模型之间的差异源于投资者的偏好、才能、 生产和信息集的假定不同，对金融市场中控制消息到达的随机过程以及对真实资产和金融资产市场中允许的摩擦类型的约束不同。虽然各种资产定价模型之间有许多差异，但也有重要的相同之处。所有的资产定价模型都是以下面的三个中心概念中的一个或几个为基础的。首先是一价定律。根据这一定律， 任何支付同样收益的未来资产价格必须相等。一价定律引申出第二个概念 无套利原则。 无套利原则认为

4、市场力量有助于调整金融资产的价格以消除套利机会。当资产通过买和卖可以结合起来， 形成净成本为零的投资组合时，就产生了套利的机会。此时不存在产生损失的可能，而盈利的概率为正。通过金融市场的交易，套利机会将趋于消失。因为当投资者试图逐利时，价格也会调整。例如，当证券A 的价格太低而产生了套利机会时，投资者将竞相购买证券 A 会促使证券A 的价格上升。当有可能买或卖两个相同的未来收益权时，一价定律就遵循无套利原则。因为，如果两个未来收益权的价格不同且交易成本小于两个价格之间的差异，则会产生套利机会。套利定价理论（APT，Ross （1976） ）是最有名的以套利原则为基础的资产定价模型之一。资产定价

5、模型中的第三个中心概念是金融市场均衡。投资者希望持有的金融资产源于最优化问题。 在一个无摩擦市场中，金融市场均衡的必要条件是投资者最优化问题的一阶条件得到满足。 这就要求投资者在边际上不在乎他们所持有资产的微小变化。均衡资产定价模型符合投资者组合选择问题的一阶条件和市场出清条件。市场出清条件认为投资者期望持有的? Ferson感谢华盛顿大学Pigott-PACCAR 教学基金的资助。Jagannathan感谢国家科学基金（批准号SBR-9409824）的资助。本文所表达的观点仅代表作者本人，与明尼阿波利斯联邦储备银行或联邦储备体系无关。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

6、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 30 页 - - - - - - - - - 统计手册：金融中的统计方法2总资产必须等于证券供给的总“ 市场组合 ” 。最早的均衡资产定价模型是20 世纪 60 年代早期发展起来的Sharp-Lintner-Mossin-Black资本资产定价模型（CAPM ） 。CAPM 认为资产的期望收益是资产beta值的线性函数，其中beta 是资产的期望收益对市场投资组合收益回归的系数。Merton（1973）扩展了 CAPM ，把它从一个单时期模型扩展到投资者能跨期分别进行消费、储蓄和投

7、资决策的经济环境。从经济计量学的意义上来说，Merton 的模型使 CAPM 从一个单 beta 模型一般化为多beta模型。多 beta 模型认为资产的期望收益是若干个beta 的线性函数。 Ross 的 APT 是多 beta 资产定价模型的另一个例子，尽管APT 中的期望收益只是相关beta的一个近似的线性函数。本文侧重于（但非排他地）使用广义矩方法（GMM ，hansen 1982）对资产定价模型进行经济计量评估。之所以强调GMM ，是因为我们认为，GMM 是过去十五年里金融实证方法的最重要的创新。在一般的统计假设下，该方法简单、灵活、有效，并且在金融应用中具有影响力。 GMM “广义

8、性”的一个原因在于金融和其他领域中应用的许多实证方法都可视为 GMM 的特例。本文其余部分的结构如下。第2 节推导了CAPM 和多 beta模型，并且讨论了最初用于评估这些模型的古典两阶段回归过程。这一部分内容还介绍了运用模型进行实证研究所涉及的各种统计问题； 它引发了对多变量估计方法的需求。第 3 节讨论了另一种使GMM 的应用更为方便的资产定价模型的表达形式，并指出大多数的资产定价模型都能表示成这一随机贴现因子(stochastic discount factor) 的形式。 第 4 节描述了GMM 的步骤， 以及如何用它来估计和检验各种条件和无条件形式的资产定价模型。第 5 节讨论了模型

9、诊断。这些诊断为统计拒绝的原因提供了进一步的解释，而且有助于评估模型中的设定误差。为了避免增加符号，我们有时在不同的小节中用同样的符号来表示不同的内容，但通过上下文可以明确其含义。第6 节是小结。2检验 beta 定价模型的横截面回归方法本节首先推导出CAPM ，扩展其实证设定以包括多beta模型。然后阐述首先由Black，Jensen 和 Scholes (1972 ， 此处缩写为BJS) 使用的、直观上吸引人的横截面回归方法，并讨论该方法的缺点。2.1资本资产定价模型CAPM是第一个均衡资产定价模型，它仍是金融经济学的基础之一。该模型是由Sharpe(1964)、Lintner(1965)

10、 、Mossin(1966) 以及 Black(1972) 发展的。 有大量的理论文章改善了必要的假设并提供了CAPM 的推导。此处我们对这一理论作一简要回顾。令itR表示 1 加上资产i在t时期里的收益，Ni, 2, 1=。令mtR表示经济中所有资产的市场组合相应的总收益。理论中预想的市场组合的收益是不可观测的。因此，CAPM的实证研究通常假设市场收益是可观测的普通股票组合收益的精确线性函数。1因此，根据CAPM ，有iitRE10)(+=(2.1) 1当这一假设不满足时，会导致市场替代误差。Roll(1977) 、Stambaugh(1982)、Kandel(1984)、 Kandel &

11、 Stambaugh (1987)、Shanken(1987)、Hansen & Jagannathan(1994) 和 Jagannathan & Wang(1996) 等对这一误差的来源进行了研究。在我们的讨论中将忽略替代误差。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 30 页 - - - - - - - - - 统计手册：金融中的统计方法3其中，)(),(mtmtitiRVarRRCov=根据 CAPM ，收益率为mtR的市场组合在收益的最小方差边界上。当一个

12、收益在最小方差边界上时，不存在其他的具有相同收益但更小方差的组合。如果投资者是风险厌恶者，CAPM意味着mtR是在最小化方差边界的正斜率部分，即系数01。在方程 (2.1)中)(00tRE=。因为条件0),(0=mttRRCov，收益tR0被称为对mtR的零-beta资产。为了导出CAPM ，假设投资者在每个1-t时期选择持有的资产以最大化下一期的目标函数：)(),(IRVarIREVptpt(2.2) 其中ptR表示在时期t最优选择组合的收益，)()(IVarIE? 和表示1-t时期投资者拥有信息集 I 的条件下收益的期望和方差。我们假设函数.,.V随它的第一个自变量递增且是凹的，随它的第二

13、个自变量递减，且该函数不随时间变动。现在，我们假设信息集I 只包括资产收益的无条件矩， 并省略符号I 以简化表示法。 上面给出的最优化问题的一阶条件经处理后可以得出，对于每个资产Ni,2, 1=，都有：)()()(00tptiptitRRERERE-+=(2.3) 其 中 ，ptR是 最 优 选 择 组 合 的 收 益 ，tR0是 与ptR不 相 关 的 资 产 的 收 益 ， 且)(),(ptptitipRVarRRCov=。正如方程 (2.3)所示，为了从投资者最优化问题的一阶条件得到CAPM ，理解最小方差边界给定期望收益，具有最小方差的组合收益的集合的某些性质是有用的。易于证明，投资者

14、的最优选择组合在最小方差边界上。最小方差边界的性质之一，是对组合的形成封闭。也就是说， 边界上的组合的组合仍然在边界上。 假设所有的投资者有相同的看法，则每个投资者的最优选择组合将会在同样的边界上，因此经济中所有资产的市场组合 每个投资者的最优化选择组合 也将会在边界上。能够证明，如果ptR被边界上任意一个组合收益替代，同时tR0也被它相应的零-beta 收益替代，方程(2.3) 仍将成立（ Roll (1997) ） 。因此，如方程(2.1)所示，我们可以通过用市场组合的收益替代方程(2.3)中的投资者最优组合的收益而得到CAPM 。22 CAPM可检验的含义对于给定的资产集合，如果它们的期

15、望收益和市场组合的i是已知的，一个很自然的检验 CAPM 的方法就是估计期望收益和beta 之间的经验关系， 并判断这一关系是否为线性。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 30 页 - - - - - - - - - 统计手册：金融中的统计方法4然而，对于计量经济学家而言，beta 和期望收益都是不可观测的，二者都必须由估计给出。金融文献首先用两阶段时间序列与横截面的方法解决这一问题。考虑以下与 (2.1)给出的总体关系式相对应的样本形式：iiiebR+=10

16、，Ni, 1 =(2.4) 这是iR关于ib的横截面回归，回归系数为0和1。在方程 (2.4)中，iR表示资产i的样本平均收益，ib是一段时间内收益itR对市场指数收益mtR的（OLS）回归斜率系数，它是一个常数。令)(itiiRERu-=，bvii-=，并替代 (2.1)式中的)(itRE和i，就可得到 (2.4)，并且设定复合误差iiivue1+=。这一替代会产生古典的变量误差（errors-in-variables ）问题，因为在横截面回归模型(2.4)中ib的回归元存在测量误差。用时间序列小样本估计ib，回归方程 (2.4)就会产生0和1的不一致估计，即便是在横截面大样本中也是如此。然

17、而，当时间序列样本容量T（用于第一步估计beta系数i）变得非常大时，横截面回归可以得到系数的一致估计。这是因为当T 变得非常大时，i的第一步估计就是一致的，第二阶段回归的变量误差问题就会消失。单个证券的beta 测量误差可能很大，但组合的beta 的误差就要小得多。据此，早期的研究集中在创建证券组合上，以使得组合的beta 可以精确估计。因此解决变量误差问题的一个方法就是用组合来代替单个证券。但这会产生另一个问题。随机选择组合的beta 显示出很小的分散性。如果计量经济学家可获得的所有组合都有相同的beta，那么方程 (2.1)的横截面关系式就没有实证的内容了。Black, Jensen 和

18、 Scholes(BJS，1972)提出一个创新的方法克服了这一困难。 在每个时间点上都进行横截面回归，可以估计出单个证券的以历史为基础的 beta，再根据beta 的估计值对证券进行分类并将单个证券分配到beta 组中。这样处理后的组合， beta就有很大的分散性。在实证金融文献中，类似的组合形成技术已成为标准的实践方法。假设我们能用这样的方法创建组合，将变量误差问题看成为次要问题。我们仍然需要决定如何评估是否存在CAPM 的实证支持。文献中的一个标准方法是考虑设定有关变量的备择假设， 该变量是确定的资产期望收益。根据 CAPM ，任何资产的期望收益都仅是其beta的线性函数。因此，一个很自

19、然的检验就是验证任何其他的横截面变量是否能够解释方程(2.1)中的偏差。 这就是 Fama和 MacBech(1973) 提出的策略， 即把 beta 的平方以及非市场 （或残差的时间序列） 方差作为附加变量加入到横截面回归模型中。更近期的实证研究用到了公司的相对规模， 它由其股权的市场价值、股权的帐面价值与市场价值之比以及其他相关的变量来表示。2例如，可以设定以下的模型：isizeiitLMERE+=10)(2.5) 2 Fama 和 French(1992)给出了这一方法新近的突出例子。Berk(1995) 对使用相对市场价值以及帐面价值与价格的比率作为期望收益的度量提供了证明。名师资料总

20、结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 30 页 - - - - - - - - - 统计手册：金融中的统计方法5这里的iLME是公司i股权资本总市值的自然对数。接下来我们将说明这些思路很容易扩展到一般的多beta模型。然后再介绍横截面回归估计量的抽样理论。2.3 多beta定价模型和横截面回归方法根据 CAPM ，资产的期望收益是其市场beta的线性函数。多beta 模型则认为期望收益是几个 beta的线性函数，即：=+=KkikkitRE,.,10)(2.6) 其 中

21、，ik（Kk, 1 =） 是 资 产i的 收 益 对 K个 经 济 中 普 遍存 在 的 风 险因 子kf（Kk, 1=）进行多元回归得到的系数。系数0是00=k（Kk, 1 =）时资产的期望收益， 即它是零 -（多 -）beta 资产的期望收益。 与第k个因子相对应的系数k的解释如下：对于具有1=ik和0=ij（对所有的kj ）的组合，它是一个期望收益的差额或溢价(premium) ，即超过零 -beta资产的期望收益部分。换句话说，它是风险因子k 每单位 beta 的期望收益溢价。Ross (1976) 指出，式(2.6) 的一个近似形式在无套利经济中也能成立。Connor(1984) 提

22、供了式 (2.6)在一个拥有无限数量资产的一般均衡经济中精确成立的充分条件。这一形式的多beta 模型，确切地说是APT，在金融文献中引起了广泛的关注。当因子kf能被计量经济学家观测到时，横截面回归方法可用于实证评估多beta模型。3例如，给定因子的 beta，备择假设 公司的规模与期望收益相关 可以通过收益对K 个因子的beta及iLME的横截面回归来检验，这类似于方程(2.5)，并检验系数size是否显著不等于零。2.4 系数估计量的抽样分布：两阶段横截面回归方法在这一节中我们沿用Shanken(1992)以及 Jagannathan 和 Wang(1993，1996)的方法，导出用横截面

23、回归方法估计的系数的渐进分布。从发展抽样理论的目的出发，我们将使用方程(2.6) 的如下推广：=+=211201)(KkikkKkikkitARE(2.7) 其中，ikA是公司i的可观测特性， 并假定它能够被无误差地测量（当0=k时的第一个 “ 特征” 是常数1.0） 。其中的一个属性可以是规模变量iLME。i是对经济中的2K个风险因子集合回归的beta，它可以包括市场指数收益。用矩阵符号能够使方程(2.7)写得更加简洁：X=(2.8) 3在一些附加的辅助假设下，当因子的实现是不可观测时，可参见 Chen(1983)、Connor 和 Korajczyk(1986) 、Lehmann 和 Mo

24、dest(1987)、Mcelroy 和 Burmeister(1988)对估计和检验模型的讨论。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 30 页 - - - - - - - - - 统计手册：金融中的统计方法6其中，)(tRE=，NtttRRR,.1=， ，=:AX，矩阵A和及向量沿用 (2.7)中的定义。横截面方法在两阶段中进行。首先，由itR对风险因子和常数项的时间序列回归估计得到。将估计量表示为b。令bAx:=，R表示收益向量tR的时间序列均值。并且令g表

25、示由如下横截面回归得到的系数向量的估计值：Rxxxg)(1-=(2.9) 这里假定x的秩为211KK +。如果b和R依概率各自收敛于和tRE(） ，那么g将依概率收敛于。Black、 Jensen和 Scholes(1972)建议联系以下的估计量g来估计抽样误差。 在每个时期t，用 Rt对x回归以获得tg，其中ttRxxxg)(1-=(2.10) )(21-gT的协方差矩阵的BJS 估计为：-=-tttggggTv)(1(2.11) 这里用到了g是tg的样本均值这一事实。 将(2.10)给出的tg的表达式代入(2.11)中，得到v的表达式：111)()( )(-=xxxRRRRTxxxvttt

26、(2.12)为了分析 BJS 的协方差矩阵估计量，把平均收益向量R写为：)()(XxRxyR-+=(2.13) 将R的这个表达式代入g的表达式 (2.9)，得到：)()( )(21-=-bRxxxg(2.14) 假设b是的一致估计量，并且uRTd-)(21，hbTd-)(21，其中u和h是具有精确分布的随机变量，而d表示依分布收敛。于是有21121)()()(hxxxuxxxgTd-(2.15) 在(2.15)中，右边的第一项是样本均值R替代而产生的抽样误差分量。第二项是由其估计b替代而产生的抽样误差分量。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

27、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 30 页 - - - - - - - - - 统计手册：金融中的统计方法7u渐进方差通常的一致估计为：-tttRRRRT)(1(2.16) 因此， (2.15) 中第一项的方差的一致估计为：111)( )( )(-xxxRRRRTxxxttt它与式 (2.12)中给出的系数估计v的协方差矩阵的BJS 估计量相同。因此，如果忽略由于使用估计的beta 而产生的抽样误差，那么BJS 协方差估计量就提供了估计量g的方差的一致估计。然而，如果与beta 相关联的抽样误差不是很小的话，则BJS 协方差估计量将会有偏差。虽

28、然偏差的程度一般是不可能确定的，但Shanken(1992)提出了一个在附加假设下评估偏差的方法。4考虑以下资产i的收益对常数项和第k个经济因子的单变量时间序列回归：iktktikikitfR+=(2.17) 我们提出 (2.17)中误差项的如下附加假设：(1)以经济因子kf的时间序列为条件，误差ikt的均值为零；(2)给定因子，ikt和jlt的条件协方差是一个固定常数ijkl。用kl表示矩阵ijijkl。最后假设：(3)因子的样本协方差矩阵存在并且依概率收敛于元素为kl的常数正定矩阵。定理 2.1. (Shanken，1992、Jagannathan和 Wang ，1996) )(21-gT

29、依分布收敛于一个具有零均值、协方差矩阵为WV +的正态分布随机变量，其中，V是(2.12)中给出的矩阵v的概率极限，且=-=2,.,1,111221)()( )(KklllklkklkxxxxxxW（2.18）其中kl的定义在附录中给出。证明：见附录。定理 2.1 表明，为了得到BJS 二阶段估计量g的协方差矩阵的一致估计，首先用BJS方法估计v（V的一致估计） 。然后通过样本的相应形式估计W。虽然横截面回归方法直观上很吸引人，但上述讨论表明，为了评估与参数估计量相关联的抽样误差， 需要给出相当严格的假设。此外， 计量经济学家必须构建一个特定的备择假设，从而可以拒绝模型。下面第 4 节中介绍的

30、一般方法具有较弱的统计假设并且有能力处理非设定和设定的备择假设，这也是该方法的优点之一。3 资产定价模型和随机贴现因子4 Shanken(1992)使用的是多元回归计算的beta。为了简便起见，接下来的推导使用单变量回归出来计算的beta。这两个 beta 集由可逆的线性变换连接起来。此外，不失一般性，因子可以是正交的。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 30 页 - - - - - - - - - 统计手册：金融中的统计方法8所有的金融资产定价模型实际上都隐

31、含着，任何总资产收益1, +tiR与某些市场随机变量1+tm相乘后，具有常数条件期望：11,1=+tittRmE，所有的i(3.1) 给定一个市场范围的信息集，符号?tE用于表示条件期望，有时称作市场信息子集tZ条件下的期望则更方便些，记作tZE ?。例如，tZ能够表示计量经济学家可获得的公共信息集的工具变量向量。当tZ是一个空信息集时，无条件期望记作?tE。如果对方程 (3.1)取期望值，结果是期望值tZE ?和?tE具有相同形式的方程。随机变量1+tm在文献中有各种不同的名字。它常常被称为随机贴现因子、等价于鞅的测度（ equivalent to martingale measure） ，

32、Radon-Nicodym 微商，或者是跨时期边际替代率。我们将满足方程(3.1)的1+tm称为有效随机贴现因子。使用这一术语的动机源于以下的观察。方程 (3.1)可写作1,1+=tittitXmEP其中1, +tiX是资产i在1+t时期的收益 (市场价值加上任何现金支付)，且ittitiPXR1,1,+=。方程 (3.1)说明如果用随机贴现因子1+tm乘以一个未来收益1, +tiX并且取期望值，就得到了未来收益的现值。满足 (3.1)的1+tm的存在说明所有具有相同收益的资产具有相同的价格（即一价定律） 。在1+tm是一个严格正随机变量的约束下，方程(3.1)等价于无套利条件。条件是其所有收

33、益为正（永不能为负，且以正的概率为正）的资产组合必须有一个正价格。无套利条件并不唯一地确定1+tm，除非市场是完全的。这意味着可以在证券市场上获得与时期1+t的自然状态一样多的线性独立的收益。为了对随机贴现因子和无套利条件进行进一步的深入考察，我们现时假定市场是完全的。给定完全的市场，要求要有正的状态价格以排除套利机会。5当且仅当1+t时的自然状态是s时，令tsq表示在1+t时期将支付的一单位货币有价证券在时期t的价格。 那么约定在1+t时期支付1,+tsiX的有价证券在时期t的价格是自然状态s的函数：5参见 Debreu(1959)和 Arrow(1970) 的完全市场模型。 参见 Beja

34、(1971)、 Rubinstein(1976)、 Ross(1977)、 Harrison和 Kreps(1979) 、Hansen 和 Richard(1987) 的进一步理论讨论。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 30 页 - - - - - - - - - 统计手册：金融中的统计方法9+=sstsitstststsitsXqXq1,1,)(其中ts是时期t评估的状态s将在时期1+t发生的概率。 将这一表达式与方程(3.1)作比较可以看出， 在完全市场

35、的假设下，tststsqm=+1,是随机贴现因子在状态s时的值。 由于这些概率是正的，所以由1, +tsm定义的随机变量是严格为正的条件等价于所有的状态价格为正的条件。方程 (3.1)有利于展开资产定价模型的经济计量检验。令1+tR表示计量经济学家已经观测到的N个资产的总收益向量。那么(3.1)可以写成011,1=-+tittRmE(3.2) 其中1表示N维 1 向量*，0表示N维零向量。 式(3.2)给出的N个方程的集合构成了用广义矩方法进行检验的基础。模型中隐含的1+tm的特定形式给出了方程的实证内容。3.1 CAPM的随机贴现因子表示法和多beta资产定价模型考虑如方程 (2.1)给出的

36、 CAPM ：iitRE101)(+=+其中，)(),(111+=mtmtitiRVarRRCov当随机贴现因子有特别的设定时，CAPM 也能表示成方程(3.1)的形式。 为了说明这点， 把方程(3.1)中的期望积扩展为期望积加上协方差并重新整理，可得：)(;()(1)(11111+-+=ttittitmEmRCovmERE(3.3) 将方程 (2.1)和(3.3)中的项对等，可看出方程(2.1)的 CAPM 等价于方程 (3.1)的形式，其中，111=+titmRE这里，1101+-=mttRccm01110)()(1 +=mtmtRVarREc(3.4) 且*原文为单位向量（unit ve

37、ctor）有误，单位向量是指长度为1 的向量，如各元素均为n1的n维向量。这里应是“ 1 向量” ，表示各元素均为1 的向量。译者注。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 30 页 - - - - - - - - - 统计手册：金融中的统计方法 10)(1011+=mtRVarc方程 (3.4)最早是由Dybvig 和 Ingersoll(1982) 推导出来的。现在考虑方程(2.6)给出如下的多beta 模型：=+=KkikkitRE,.,101)(通过替代可

38、以很容易地证实这一模型包含有如下随机贴现因子表达式：111=+ititmRE其中，111101.+=KtKtitfcfccm且00/)()(1kkKkfVarfEc+=(3.5) )f (Varcj0jj-=，Kj,1 =前述结果适用于CAPM 和多 beta 模型，被解释为有关资产无条件期望收益的表述。这些模型还可看作某些检验中有关条件期望收益的表述，这些检验中的期望值是以预先确定的、公众可获得的信息为条件的。适当变换符号， 本节中的所有分析都适用于条件期望值。在此情况下，参数0c、1c、0、1等将成为时期t信息集合的函数。3.2 随机贴现因子的其他例子在均衡资产定价模型中，方程 (3.1)

39、作为消费者投资者最优化问题的一阶条件出现。代理人最大化终生的消费效用函数（可能包括给继承人的遗产）。以)(?V表示这一函数。如果资源在消费和投资中的分配是最优的，那么通过改变分配是不可能得到更高的效用的。设想一个投资者考虑减少t时期的消费以用于购买更多的（任何）资产。t时期放弃消费的效用成本是消费支出tC的边际效用（表示为0) ?tCV乘上与消费支出具有相同度量单位的资产价格tiP,。在1+t时期卖掉股票并消费出售收入的期望效用增益（gain）是：)(11,1,+?+ttititCVDPE其中，1, +tiD是1+t时期支付的现金流或者股利。如果分配使期望效用最大化，那么下列条件必须满足：)(

40、)(11,1,+?+=?ttitittttiCVDPECVEP这个跨时期欧拉方程等价于方程(3.1)，且)()(11ttttCVECVm?=+(3.6) 方程 (3.6)中的1+tm是代表性消费者的跨时期边际替代率(IMRS) 。本节的其余部分显示，资名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 30 页 - - - - - - - - - 统计手册：金融中的统计方法 11产定价文献中有多少模型是(3.1)的特殊形式，其中1+tm由方程 (3.6)定义。6如果一个代表

41、性消费者的终生效用函数)(?V是时间上可分的， 那么在t时期消费的边际效用（)CVt?就仅依赖于t时期的变量。假定偏好是时间上可分且可加的，Lucas(1978)和 Breeden(1979)推导了以下形式的以消费为基础的资产定价模型：=tttCuV)(其中是时间贴现参数， 且)(?u是随当前消费tC递增的凹函数。 对)(?u的一个简便设定是：)1( 1)(1-=-CCu(3.7) 在方程 (3.7)中，0是时期效用函数的凹性（concavity）参数。这个函数显示了等于的常数相对风险厌恶。7基于这些假设，并使用加总的消费数据，许多的实证研究检验了以消费为基础的资产定价模型。8Dunn 和 S

42、ingleton(1986) 、Eichenbaum、 Hansen 和 Singleton(1988) 等人对性质上可持续的消费支出建模。 持续性导致了时间上的不可分性，因为消费服务的流量依赖于消费者过去的支出， 而效用是定义在服务之上的。如果支出是持续的，当前的支出增加了消费者未来服务的效用。消费者对支出tC进行最优化；持续性因而意味着边际效用)(tCV ?取决于过去时间的变量，而不取决t期的变量。如果效用函数显示出习惯持久性 (habit persistence) ，另一形式的时间不可分性就会产生。习惯持久性意味着在两个时点的消费是互补的。例如， 当前消费的效用是以相对于过去消费的效用来

43、评估的。Ryder 和 Heal(1973) 、 Becker 和 Murphy(1988) 、Sundaresan(1989)、Constantinides(1990) 、 Detemple 和 Zapatero(1991)以及 Novales(1992) 等人推导出了这个模型。Ferson 和 Constantinides(1991) 对消费服务中的消费支出的持续性和习惯持久性同时建模。他们指出这两者相互补充而不是相互抵消。从对效应截取一期滞后的例子中，导出的支出效用是-+-=ttttbCCV111)()1(3.8) t时期的边际效用是)()()(111-+-+=?ttttttttbCCb

44、EbCCCV(3.9) 如果物品是耐用的且没有习惯持久性，那么系数b为正且是折旧率的度量。如果习惯持久性出现而物品是非耐用的，则说明滞后支出有一个负的效应(0N，正交性条件的个数是N并且参数的个数为2，所以TJ-统计量具有2-N的自由度。用随机贴现因子表示法检验无条件的CAPM是由Carhart 等.(1995)以及Jagannathan和 Wang(1996)进行的，他们拒绝了使用战后美国月度数据的模型。无条件的CAPM 检验也可以运用方程(2.1) 给出的线性收益-beta公式和 GMM 来进行。令10tttRRr-=表示超额收益向量， 这里tR0表示某一参照资产的总收益，1是N维 1 向

45、量；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 30 页 - - - - - - - - - 统计手册：金融中的统计方法 17再令mtttrru-=， 这里是相对于市场的超额收益的N维 beta 向量，且tmtmtRRr0-=是市场组合的超额收益。模型表明0)()(=mtttruEuE令工具变量为), 1(=mttrZ，那么样本正交性条件为?-=-ttmttTZrrTg)()(1正交性条件的个数是N2而参数的个数为N，所以模型是过度识别的，可以用TJ-统计量进行检验

46、。用收益 -beta 公式检验模型的另一个方法是在假设期望收益与CAPM 预测收益相差一个被称为詹森阿尔法（Jensens Alphas）的参数向量的情况下来估计模型。重新定义mtttrru-=，模型有N2个参数和N2个正交性条件，所以它是恰好识别的。很容易看出和的 GMM 估计量等于OLS 估计量，并且方程 (4.4)产生了 White(1980) 的异方差一致标准误（Standard errors） 。可以用Wald 检验或者上述的D-统计量来检验CAPM 。MacKinlay 和 Richardson(1991)用线性收益 -beta 公式和 GMM 检验了无条件CAPM ，他们拒绝了美

47、国月份数据的模型。4.3.2. 条件CAPM 收益率分布变动可预测性的大量证据以及拒绝无条件CAPM 的实证研究，引发了始于20 世纪 80 年代初对条件形式CAPM 的实证研究。在一个条件资产定价模型中，假定其中的期望值是给定的公共信息集的条件期望。公共信息集是由预先确定的工具变量tZ的向量表示的。 Merton(1973) 及 Cox， Ingersoll和 Ross(1985)的多beta 模型包容了条件期望。Merton(1973 ，1980)和 Cox-Ingersoll-Ross 也说明， CAPM 的条件形式可作为其跨时期模型的一个特殊形式来推导。Hansen和 Richard(

48、1987)描述了均值 -方差有效性的条件和无条件形式之间的理论关系。条 件 资产定价模型最早的实证公式是由Hansen 和Hodrick(1983) 及Gibbons和Ferson(1985)发展的潜变量模型， 后来经 Campbell(1987) 及 Ferson， Foerster ， 和 Keim(1993)改进。这些模型允许期望收益随时间变动，但保留了条件beta 为固定参数的假设。在这些假设下， 考虑 CAPM 的线性收益 -beta 表示， 记为)()(11-=tmtttZrEZrE。收益由超出无风险资产收益的部分度量。令tr1是具有非零1的某一参照资产的收益，所以)()(1111

49、-=tmtttZrEZrE解关于)(1- tmtZrE的这一表达式并替换，得到)()(111-=ttttZrCEZrE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 30 页 - - - - - - - - - 统计手册：金融中的统计方法 18这里).(1=C，且.表示元素对元素相除。有了这一替代，期望市场风险溢价成为模型中的潜变量，并且C成为模型参数的N维向量。当我们构造误差项tttCrru1-=时，模型意味着0)(1=- ttZuE，而我们能够运用GMM 来估计和检

50、验模型。鉴于度量真实市场组合的困难， Gibbons 和 Ferson(1985)证明潜变量模型是有吸引力的。但 Wheatley(1989) 强调这一模型仍需要假设beta 对不可观测的市场组合的比率是常数参数。Campbell(1987) 及 Ferson 和 Foerster(1995)研究表明，用美国数据的单beta 潜变量模型被拒绝了。这一发现拒绝了假设：存在一个（有条件的）最小方差组合使得这个组合的条件beta 比率是固定参数。 因此，实证证据表明条件资产定价模型必须与以下二者之一保持一致：（1）随时间变动的beta； （2）每个资产有多个的beta。10Ferson 和 Harv