线性代数期末复习知识点考点总结.docx

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1、精品名师归纳总结1、 行列 式1. n 行列式共有2n 个元素 ,绽开后有线 性 代 数 必 考 的 知 识 点n. 项,可分解为 2n 行列式 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 代数余子式的性质:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 Aij 与 aij的大小无关 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、某行 列的元素乘以其它行 列元素的代数余子式为0;ijij、某行 列的元素乘以该行列元素的代数余子式为A ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 代数余子式与余子式的关系: M ij4. 设 n 行列式 D :1i j AAij1

2、ij M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将 D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D1 ,就 D1 1n n 12D ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将 D 顺时针或逆时针旋转90o ,所得行列式为D2 ,就D2 1D ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将 D 主对角线翻转后 转置 ,所得行列式为D3 ,就 D3D ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将 D 主副角线翻转后 ,

3、所得行列式为5. 行列式的重要公式:D4 ,就 D4D ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、主对角行列式:主对角元素的乘积 ;n n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、副对角行列式:副对角元素的乘积 12;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、上、下三角行列式 : 主对角元素的乘积;n n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 与 :副对角元素的乘积 12;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AOAC、拉普拉斯绽开式 :AB CBOBCAOA、 BOBC 1m gn A B

4、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;、特点值 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 对于 n 阶行列式A ,恒有 :EAnknn k 1 Skk 1,其中Sk 为 k 阶主子式 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 证明 A0 的方法 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 AA ;、反证法 ;、构造齐次方程组Ax0 ,证明其有非零解 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、利用秩 ,证明 r An ;、证明 0 就是其特点值 ;2、 矩阵1. A 就是 n 阶可逆矩阵 :可编辑资

5、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ar A0 就是非奇特矩阵 ; n 就是满秩矩阵 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 的行 列向量组线性无关 ;齐次方程组 Ax0 有非零解 ;bRn , Axb 总有唯独解 ;A 与 E 等价 ;A 可表示成如干个初等矩阵的乘积;A 的特点值全不为 0; AT A 就是正定矩阵 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nA 的行 列向量组就是 R 的一组基 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*A 就是Rn 中某两组基的过渡矩阵;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 对于 n 阶矩阵 A : AA

6、 *A AA E无条件恒 成立 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. A1 * A* 1 A 1 T AT 1 A* T AT *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AB TBT AT AB *B* A* AB 1B 1 A 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 矩阵就是表格 ,推导符号为波浪号或箭头;行列式就是数值 ,可求代数与 ;5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均 A 、 B 可逆 : A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 AA2,就:OAs可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载

7、精品名师归纳总结、 AA1A2 LAs ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1A112A 1、 A;OA1s11AOAO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、OBOB 1; 主对角分块 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11OAOB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、BOA 1; 副对角分块 O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11、 ACAA 1CB 11; 拉普拉斯 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OBOB11AOAO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

8、纳总结、CBB1CA 11; 拉普拉斯 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、 矩阵 的初 等变 换与 线性 方 程组1. 一个 mn 矩阵 A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形就是唯独确定的: FE rO;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OO m n等价类 :全部与 A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类 ;标准形为其外形最简洁的矩阵;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于同型矩阵A 、 B ,如 r A2. 行最简形矩阵 :、只能通过初等行变换获得;r BA : B ;可编辑资料 -

9、- - 欢迎下载精品名师归纳总结、每行首个非 0 元素必需为 1;、每行首个非 0 元素所在列的其她元素必需为0;3. 初等行变换的应用: 初等列变换类似 ,或转置后采纳初等行变换r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 A , E : E , X ,就 A 可逆 ,且 XA;1c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、对矩阵 A, B 做初等行变化 ,当 A 变为 E 时, B 就变成A 1 B ,即: A, B E , A1 B ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r、求解线形方程组 :对于 n 个未知

10、数 n 个方程 Axb ,假如 A, b :4. 初等矩阵与对角矩阵的概念:E , x ,就 A 可逆,且 xA b ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、初等矩阵就是行变换仍就是列变换,由其位置打算 :左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、2O, 左乘矩阵 A ,i 乘 A 的各行元素 ;右乘,i 乘 A 的各列元素 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、对调两行或两列 ,符号E i , j ,且 E i , j

11、 1E i ,j ,例如:11;11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、倍乘某行或某列 ,符号E i k ,且 E i k 11Ei k1,例如:k111 k1k10 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11k1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、倍加某行或某列 ,符号5. 矩阵秩的基本性质:E ij k ,且E ij k 1E ij k ,如:11k110 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 0r Am n min m, n ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 r

12、AT r A ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 A :B ,就 r Ar B ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 P 、 Q 可逆 ,就 r Ar PAr AQr PAQ ;可逆矩阵不影响矩阵的秩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 maxr A, r B r A, Br Ar B ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 r ABr Ar B ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

13、师归纳总结、 r AB minr A, r B ; 、假如 A 就是 mn 矩阵 , B 就是 ns 矩阵 ,且 AB0 ,就: 、 B 的列向量全部就是齐次方程组AX0 解转置运算后的结论;、 r Ar B n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 A 、 B 均为 n 阶方阵 ,就 r AB 6. 三种特别矩阵的方幂 :r Ar B n ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、秩为 1 的矩阵 :肯定可以分解为 列矩阵 向量 行矩阵 向量 的形式 ,再采纳结合律 ;1ac、型如 01b的矩阵 :利用二项绽开式 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00

14、1n0 n1n 1 1mn mmn 1 1 n 1nnnmmn m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二项绽开式 : abCn aCn abLCn abLCna bCn bCn a b;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注: 、 abn绽开后有 nm 01 项;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn、 Cmnn1L L nm1n.C 0Cn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1g2g3gL gmm. nm.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CmmCm 1、组合的性质 : Cmn

15、 mCCnrnC2rCnC;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rr1nnn 1nnnnn 1r 0、利用特点值与相像对角化:7. 相伴矩阵 :nr An可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、相伴矩阵的秩: r A* 10r Ar An1 ;n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、相伴矩阵的特点值: AAXX , A*A A 1A* XA X ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 A*n 11*A A、 AA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

16、师归纳总结8. 关于 A 矩阵秩的描述 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 r A、 r An , A 中有 n 阶子式不为 0, nn , A 中有 n 阶子式全部为0;1 阶子式全部为0; 两句话 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 r An , A 中有 n 阶子式不为 0;9. 线性方程组 : Axb,其中 A 为 mn 矩阵 , 就:、 m 与方程的个数相同 ,即方程组 Axb 有 m 个方程 ;、 n 与方程组得未知数个数相同, 方程组 Axb为 n 元方程 ;10. 线性方程组 Axb 的求解 :、对增广矩阵 B 进行初等行变换 只能使用初等行变

17、换 ;、齐次解为对应齐次方程组的解;、特解 :自由变量赋初值后求得;11. 由 n 个未知数 m 个方程的方程组构成n 元线性方程 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 x 1、 a21 x1a12 x 2La22 x 2La1 n xna2 n xnb1b2;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结L L L L L L L L L L L可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a m1 x 1am 2 x2Lanm xnbn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11、 a21a12La 22La

18、1 nx1a2 nx2b1b2Axb 向量方程 , A 为 mn 矩阵 , m 个方程 , n 个未知数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MMOMMM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结am1、 aaam 2LLamnx mx1x 2abm全部按列分块 ,其中b1b2;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结M12nMxnbn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 a1 x1a2 x2Lan xn 线性表出 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、有解的充要条件 :r Ar A,n n 为

19、未知数的个数或维数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、 向量 组的 线性 相关 性1. m 个 n 维列向量所组成的向量组A :1 ,2 ,L,m 构成 nm 矩阵 A 1,2 ,L ,T 1 Tm ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m 个 n 维行向量所组成的向量组B :T ,T ,L,T 构成 mn 矩阵 B2;12mMTm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;2. 、向量组的线性相关、无关Ax0 有、无非零解 ;齐次线性方程组、向量的线性表出Axb 就是否有解 ; 线性方程组 、向量组的相互线性表示AXB

20、 就是否有解 ; 矩阵方程 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 矩阵Am n 与Bl n 行向量组等价的充分必要条件就是:齐次方程组Ax0 与 Bx0 同解 ; P101 例 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T4. r AAr A; P101 例 15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. n 维向量线性相关的几何意义:、线性相关0 ;、 ,线性相关,坐标成比例或共线 平行 ;、 ,线性相关,共面 ;6. 线性相关与无关的两套定理:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 1,2 ,L,s 线性相关 ,就 1,2 ,L ,s ,s

21、1 必线性相关 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 1,2 ,L,s 线性无关 ,就 1 ,2 ,L,s 1 必线性无关 ; 向量的个数加加减减 ,二者为对偶 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 r 维向量组 A 的每个向量上添上 nr 个重量 ,构成 n 维向量组 B :如 A 线性无关 ,就 B 也线性无关 ; 反之如 B 线性相关 ,就 A 也线性相关 ;向量组的维数加加减减简言之 :无关组延长后仍无关 ,反之 ,不确定 ;7. 向量组 A 个数为 r 能由向量组 B 个数为 s 线性表示 , 且 A 线性

22、无关 ,就 rs;向量组 A 能由向量组 B 线性表示 , 就 r Ar B ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量组 A 能由向量组 B 线性表示AXB 有解 ;r Ar A, B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量组 A 能由向量组 B 等价r Ar Br A, B 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r、矩阵行等价 :A BPA、矩阵列等价 :cA BAQ、矩阵等价 :A BPAQ8. 方阵 A 可逆存在有限个初等矩阵P1 , P2 ,L, Pl ,使AP1 P2 LPl ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

23、 欢迎下载精品名师归纳总结9. 对于矩阵Am n 与 Bl n :B 左乘 , P 可逆 B 右乘 , Q 可逆 ;B P 、 Q 可逆 ;Ax0 与 Bx0 同解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 A 与 B 行等价 ,就 A 与 B 的行秩相等 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 A 与 B 行等价 ,就 Ax0 与 Bx0 同解,且 A 与 B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、矩阵的初等变换不转变矩阵的秩;、矩阵 A 的行秩等于列秩 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10.

24、如Am s Bs nCm n ,就:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 C 的列向量组能由 A 的列向量组线性表示 , B 为系数矩阵 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表示 , AT为系数矩阵 ;转置 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. 齐次方程组 Bx0 的解肯定就是ABx0 的解 ,考试中可以直接作为定理使用, 而无需证明 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 ABx0、 Bx0只有零解有非零解Bx ABx0 只有零解 ;0 肯定存在非零解 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

25、名师归纳总结12. 设向量组Bn r: b1, b2 ,L, br可由向量组An s : a1 ,a2 ,L, as 线性表示为 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b1, b2 ,L, br a1, a2 ,L, as K BAK 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 K 为 sr ,且 A 线性无关 ,就 B 组线性无关r K r ; B 与 K 的列向量组具有相同线性相关性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结必要性 :Q rr B r AK r K , r K r ,r K r ;充分性 :反证法 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

26、注:当 rs 时, K 为方阵 ,可当作定理使用 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13. 、对矩阵Am n , 存在 Qn m , AQEmr Am 、 Q 的列向量线性无关;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、对矩阵Am n , 存在Pn m , PAE nr An 、 P 的行向量线性无关 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14.1 ,2 ,L,s 线性相关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结存在一组不全为 0 的数x1k1, k2 ,L,ks ,使得k1 1k 22Lkss0 成立 ;定义 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

27、师归纳总结 1 ,2 , Lx2,s Mxs0 有非零解 ,即 Ax0 有非零解 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r 1 ,2 ,L ,s s ,系数矩阵的秩小于未知数的个数;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15. 设 mn 的矩阵 A 的秩为 r ,就 n 元齐次线性方程组Ax0 的解集 S 的秩为 : r Snr ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结116. 如 * 为 Axb 的一个解 ,2 ,L, n r 为 Ax0 的一个基础解系 ,就 *

28、,2 ,L,n r线性无关 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15、 相像 矩阵 与二 次型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 正交矩阵AT AE 或 A 1AT 定义 ,性质 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ij、 A 的列向量都就是单位向量, 且两两正交 , 即 a T a1T0ij i , jij1,2, Ln ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 A 为正交矩阵 , 就 A 1A 也为正交阵 , 且 A1 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 A 、 B 正交阵 ,就 AB 也就是正交阵 ;留意 :

29、求解正交阵 ,千万不要遗忘 施密特正交化 与单位化 ;2. 施密特正交化 : a1 ,a2 ,L , ar b1a1 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ba b1, a2 gbL L Lbab1 ,ar gbb2 , ar gbLbr1 ,ar gb;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结221 b1, b1 rr12 b1 , b1 b2, b2 brr 11 , br 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 对于一般方阵 ,不同特点值对应的特点向量线性无关;对于实对称阵 ,不同特点值对应的特点向量正交;4. 、 A 与 B 等价A 经过初等变换得

30、到 B ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PAQB , P 、 Q 可逆 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r Ar B, A 、 B 同型;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 A 与 B 合同CT ACB ,其中可逆 ;xT Ax 与 x T Bx 有相同的正、负惯性指数;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 A 与 B 相像P 1APB ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 相像肯定合同、合同未必相像;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 C 为正交矩阵 ,就 CTACBA :B ,合同、相像的约束条件不同,相像的更严格 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. A 为对称阵 ,就 A 为二次型矩阵 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. n 元二次型xT Ax 为正定 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 的正惯性指数为 n ;A 与 E 合同,即存在可逆矩阵 C ,使 CTA 的全部特点值均为正数;AA 的各阶次序主子式均大于0;ACE ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aii0,0 ;必要条件 可编辑资料 - - - 欢迎下载