全等三角形问题中常见的辅助线的作法教师版.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -全等三角形问题中常见的帮助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1. 等腰三角形“三线合一”法： 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2. 倍长中线： 倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3. 角平分线在三种添帮助线4. 垂直平分线联结线段两端5. 用“截长法”或“补短法” ： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法： 有一个角为60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为

2、30、60 度的作垂线法： 遇到三角形中的一个角为30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特别直角三角形，然后运算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形制造边、角之间的相等条件。8. 运算数值法： 遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特别直角三角形，或40-60-80的特别直角三角形, 常运算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形制造边、角之间的相等条件。常见帮助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等

3、。1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形2) 遇到三角形的中线，倍长中线， 使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形3) 遇到角平分线在三种添帮助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考学问点经常是角平分线的性质定理或逆定理 （ 2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（ 3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

4、纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形， 利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，详细做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长， 是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的

5、和、差、倍、分等类的题目6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特别方法： 在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的学问解答一、截长补短1、如图，ABC 中， AB=2AC， AD平分BAC ，且 AD=BD，求证： CD ACACBD2、如图， AD BC， EA,EB 分别平分 DAB, CBA， CD过点 E，求证 ;AB AD+BC。A DEBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、如图，已知在ABC 内，BAC060 ，C40 0，P，Q分别在 BC，CA上，

6、并且 AP，A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BQ分别是BAC ，ABC 的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BPBQP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 19 页 C- - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -4、如图，在四边形ABCD中， BC BA,AD CD， BD平分ABC ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证：AC180 0A可编辑资料 - - -

7、欢迎下载精品名师归纳总结D5、如图在 ABC中， AB AC， 1 2， P 为 AD上任意BC一点，求证 ;AB-AC PB-PCA12PB CD应用：二、倍长中线（线段）造全等例 1、（“期望杯” 试题）已知，如图 ABC中，AB=5，AC=3，就中线 AD的取值范畴是 .ABDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 2、如图， ABC

8、中， E、F 分别在 AB、AC上， DE DF， D 是中点，试比较BE+CF与 EF 的大小 .AEFBDC例 3、如图， ABC中， BD=DC=A，C E 是 DC的中点，求证：AD平分 BAE.ABDEC应用：1、（ 09崇文二模）以ABC 的两边 AB 、AC 为腰分别向外作等腰RtABD 和等腰可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结RtACE ，BADCAE90 , 连接 DE，M 、N分别是 BC、DE 的中点探究： AM 与DE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的位置关系及数量关系（ 1）如图当ABC 为直角三角形时，AM与 DE的位置关系是，线段 A

9、M 与DE 的数量关系是。（ 2）将图中的等腰RtABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转0AD+AE.ABDEC五、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中， B=60， ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证： OE=ODAEOBCD2、如图， ABC中， AD平分 BAC， DG BC且平分 BC， DE AB于 E， DF AC于 F.（1）说明 BE=CF的理由。（ 2）假如 AB=a ， AC=b ，求 AE、BE的长 .AEBGC FD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 19 页 - - - -

10、 - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -应用：1、如图， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答以下问题：（ 1）如图， 在 ABC 中， ACB 是直角， B=60 ，AD 、CE 分别是 BAC、 BCA的平分线， AD 、CE 相交于点 F 。请你判定并写出FE 与 FD 之间的数量关系。（ 2）如图，在 ABC 中，假如 ACB 不是直角，而 1中的其它条件不变，请问，你在 1中所得结论是否仍旧成立

11、？如成立，请证明。如不成立，请说明理由。BMBEEDFDFOP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A图NCA图 第 23 题图 图C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结参考答案与提示一、倍长中线（线段）造全等例 1、（“期望杯” 试题）已知，如图 ABC中，AB=5，AC=3，就中线 AD的取值范畴是 .解：延长AD至 E 使 AE 2AD，连 BE，由三角形性质知AAB-BE 2ADAB+BE故 AD的取值范畴是1AD4BDC例 2、如图， ABC中， E、F 分别在 AB、AC上， DE DF， D 是中点，试比较BE+CF 与 EF 的大小 .解： 倍长中线 ,

12、等腰三角形“三线合一”法 延长 FD至 G使 FG 2EF，连 BG， EG,明显 BG FC，A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 EFG中，留意到DE DF，由等腰三角形的三线合一知 EG EFEFBDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -在 BEG中，由三角形性质知 EGB

13、G+BE故： EFBE+FC例 3、如图， ABC中， BD=DC=A，C E 是 DC的中点，求证：AD平分 BAE.ABDEC解：延长AE至 G使 AG 2AE，连 BG，DG,明显 DG AC， GDC= ACD由于 DC=AC，故 ADC= DAC在 ADB 与 ADG 中 ， BD AC=DG， AD AD，ADB= ADC+ ACD= ADC+GDC ADG故 ADB ADG，故有 BAD= DAG，即 AD平分 BAE应用：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、（ 09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰ABCRtABD 和 等 腰可编辑资料 - - -

14、欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结RtACE ，BADCAE90 , 连接 DE，M 、N分别是 BC、DE 的中点探究： AM 与DE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的位置关系及数量关系（ 1）如图当ABC 为直角三角形时，AM与 DE的位置关系是，线段 AM 与DE 的数量关系是。（ 2）将图中的等腰RtABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转090 后，如图所示，（ 1）问中得到的两个结论是否发生转变？并说明理由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 19

15、页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -二、截长补短1、如图，ABC 中， AB=2AC， AD平分BAC ，且 AD=BD，求证： CD AC解：（截长法）在AB上取中点F，连 FDADB是等腰三角形，F 是底 AB中点，由三线合一知 DF AB，故 AFD 90ADF ADC（ SAS）ACD AFD 90即： CDAC2、如图， AD BC， EA,EB 分别平分 DAB, CBA， CD过点 E，求证 ;AB AD+BC解：（截长法）在AB上取点 F，使 AF A

16、D，连 FEADE AFE（ SAS）ADE AFE，ADADE+ BCE 180AFE+ BFE 180E故 ECB EFBFBE CBE（ AAS）故有 BF BCBC从而 ;AB AD+BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、如图，已知在ABC内，BAC060 ，CA400 ， P， Q 分别在BC，CA 上，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结并且 AP， BQ分别是BAC ，ABC 的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BPB解：（补短法 , 运算数值法）延长AB至 D，使 BD BP，连 DPQP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名

17、师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 19 页 C- - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -在等腰 BPD中，可得 BDP40从而 BDP 40 ACPADP ACP（ ASA） 故 AD AC又 QBC 40 QCB故 BQ QC BD BP从而 BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD中， BC BA,AD CD， BD平分ABC ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证：AC180 0A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

18、师归纳总结解：（补短法）延长BA 至 F，使 BF BC，连 FDDBDF BDC（ SAS）故 DFB DCB，FD DC又 AD CD故在等腰 BFD中DFB DAFBC故有 BAD+ BCD 1805、如图在 ABC中， AB AC， 1 2， P 为 AD上任意一点，求证;AB-AC PB-PCA12PBCD解：（补短法）延长AC至 F，使 AF AB，连 PDABP AFP（ SAS） 故 BP PF由三角形性质知PB PC PF PC BF=BA+AF=BA+AC从而 PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+ACP+ABC=例 2 如图，在 ABC的边上取两点D、E，且 BD=CE

19、，求证： AB+ACAD+AE.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -证明：取 BC 中点 M,连 AM 并延长至 N,使 MN=AM, 连BN,DN. BD=CE, DM=EM, DMN EMASAS, DN=AE,同理 BN=CA.延长 ND 交 AB 于 P,就 BN+BPPN,DP+PAAD,相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD,

20、各减去 DP, 得 BN+ABDN+AD, AB+ACAD+AE 。四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中， B=60， ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证： OE=OD，ADC+AE =AC证明角平分线在三种添帮助线, 运算数值法 B=60度,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 BAC+ BCA=120度;AD,CE 均为角平分线 ,就 OAC+ OCA=60 度= AOE= COD; AOC=120度.在 AC 上截取线段 AF=AE, 连接 OF.又 AO=AO; OAE= OAF.就 OAE OAFSAS, OE=OF;AE=AF; AOF= AOE=6

21、0度.就 COF= AOC- AOF=60度=COD; 又 CO=CO; OCD= OCF.故 OCD OCFSAS, OD=OF;CD=CF.OE=ODEOBDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -DC+AE=CF+AF=AC.2、如图， ABC中， AD平分 BAC， DG BC且平分 B

22、C， DE AB于 E， DF AC于 F.（1）说明 BE=CF的理由。（ 2）假如 AB=a ， AC=b ，求 AE、BE的长 .解： 垂直平分线联结线段两端 连接 BD， DCADG垂直平分BC，故 BD DC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 AD平分 BAC， DE AB于 E， DF AC于 F，故有ED DF故 RT DBE RT DFC（ HL） 故有 BE CF。AB+AC 2AEAE（ a+b） /2 BE=a-b/2应用：EBGC FD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、如图， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所

23、在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答以下问题：（ 1）如图， 在 ABC 中， ACB 是直角， B=60 ，AD 、CE 分别是 BAC、 BCA的平分线， AD 、CE 相交于点 F 。请你判定并写出FE 与 FD 之间的数量关系。（ 2）如图，在 ABC 中，假如 ACB 不是直角，而 1中的其它条件不变，请问，你在 1中所得结论是否仍旧成立？如成立，请证明。如不成立，请说明理由。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MBEOPFDBEFD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A图NCA图 第

24、 23 题图 图C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -五、旋转例 1 正方形 ABCD中， E 为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=E，F 求 EAF的度数 .证明：将三角形ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度，至三角形ADABG就 GE=GB+BE=DF+BE=EFF又

25、 AE=AE ， AF=AG ，所以三角形 AEF 全等于 AEG所以 EAF= GAE= BAE+ GAB= BAE+ DAFBEC又 EAF+ BAE+ DAF=90所以 EAF=45 度例 2D 为等腰 RtABC 斜边 AB的中点， DM DN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F 。(1) 当MDN绕点 D 转动时，求证DE=DF。(2) 如 AB=2，求四边形DECF的面积。解： 运算数值法 （ 1）连接 DC，D为等腰 RtABC 斜边 AB的中点，故有CD AB， CD DACD平分 BCA 90， ECD DCA 45 由于 DM DN，有 EDN 90由于 CD AB，有 CDA 90 从而 CDE FDA 故有 CDE ADF（ASA）故有 DE=DF（2） S ABC=2, S四 DECF= S ACD=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 如图，ABC 是边长为3 的等边三角形，BDC 是等腰三角形，且BDC0120 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以 D 为顶点做一个600 角，使其两边分别交AB 于点 M，交 AC于点 N，连接 MN，就AMN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎