解三角形知识点总结及典型例题2.docx

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1、精品名师归纳总结课前复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式1 两角和与差的正弦公式,sin + =sin cos+cossin ,sin - =sin c-ocsos sin .2 两角和与差的余弦公式,cos + =cos -scionssin cos - =cos cos+sin sin 3 两角和、差的正切公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan +=tantan,（ tantantan1tantan）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan1tan- =tantantan.（ tantantan1tantan）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

2、总结1tantan简洁的三角恒等变换二倍角的正弦、余弦和正切公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 sin22sincos1 sin 2sin 2cos 22 sincossincos 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2222 cos2cossin2cos112sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结升幂公式 1cos2 cos2,12cos2 sin 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结降幂公式cos2cos 212, sin21cos 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 tan22 tan2可编辑资料 -

3、- - 欢迎下载精品名师归纳总结1tan默写上述公式,检查上次的作业课本上的 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解三角形学问点总结及典型例题一、学问点复习1、正弦定理及其变形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abc2RR为三角形外接圆半径）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin Asin Bsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） a2 RsinA, b2RsinB,c2 Rsin C边化角公式）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） sin A,sin

4、B2R,sin C2R角化边公式）2 R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3）a : b : csin A:sinB :sin C(4) asin A , asinA , bsin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、正弦定理适用情形：（1） 已知两角及任一边bsin Bcsin Ccsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 已知两边和一边的对角（需要判定三角形解的情形） 已知 a, b 和 A,求 B 时的解的情形 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如 sin Asin

5、 B ,就 B 有唯独解。假如sin Asin B1 ,就 B有两解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如 sin B1,就 B 有唯独解。假如sin B1,就 B 无解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、余弦定理及其推论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2b 2b2a 2c22bc cos A c22 ac cos Bcos Ab2c2a2a22bcc2b22aca2b2c22abcosB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c2a 2b22 ab cos CcosC可编辑资料 -

6、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、余弦定理适用情形：（1）已知两边及夹角。 （ 2）已知三边 . 5、常用的三角形面积公式1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） SABC底 高 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） SABC1 ab sin C 21 bc sin A 21 casin B （两边夹一角） .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、三角形中常用结论（1） abc, bca, acb即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 在ABC中, ABabsin AsinB

7、即大边对大角,大角对大边）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 在 ABC中, ABC,所以sin ABsin C。 cos ABcos C 。 tan ABtan C .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin AB 2cos C2, cos AB 2sin C .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、典型例题 题型 1 边角互化 例 1 在 ABC中,如sin A : sin B : sin C3 : 5 : 7 ,就角 C 的度数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】由正

8、弦定理可得a: b : c3 : 5: 7 , , 令 a、b、c 依次为3、5、7 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22就 cosC = abc32522=7=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22ab2352可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 0C,所以 C23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 例 2 如 a 、 b 、 c 是 ABC 的三边,f xb 2 x 2b 2c 2a 2 xc 2 ,就函数f x 的图象与 x 轴 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

9、A、有两个交点B、有一个交点C、没有交点D、至少有一个交点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】由余弦定理得b 2c2a 22bc cos A ,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22222222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xb x2bc cos Agxc =bxc cos Acc cosA ,由于cos A1, 所以 cc cosA0,因此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0 恒成立,所以其图像与x 轴没有交点。题型 2 三角形解的个数 例 3 在 ABC 中,分别依据以下条件解三角形,其中有两解的是 可编

10、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A、 a7 , b14 , A30 。B、 b25 , c30 , C150 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C、 b4 , c5 , B30 。D、 a6 , b3 , B60 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型 3 面积问题 例 4ABC 的一个内角为1200 ,并且三边构成公差为4 的等差数列,就ABC 的面积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】设 ABC的三边分别：x4, x, x4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C=120,由余弦定理得： x4 2x42x22

11、xx4 cos120 0 ,解得： x10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABC 三边分别为 6、10、14,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SVABC1 ab sin C16103153 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222题型 4 判定三角形外形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 例 5在 ABC 中,已知a2b2 sin ABa 2b 2 sin AB , 判定该三角形的外形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

12、总结方法一：a2 sin ABsin ABb2sin ABsin AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2a2 cos Asin B2b2 cos B sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由正弦定理,即知sin 2A cos Asin Bsin 2B cos B sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinAsinBsinA cos AsinB cos B0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin 2Asin 2B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 02 A,2 B2,得 2 A2B或 2 A2B ,可编辑资

13、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 ABC 为等腰三角形或直角三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法二： 同上可得2 a 2 cos Asin B2b2 cos B sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由正、余弦定理,即得：a2b bca 2bcb 2a acb 2ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22222222a bca b acb 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 a2b2 c2a 2b2 0可

14、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab或 c2a2b 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 ABC 为等腰三角形或直角三角形.【点拨】 判定三角形外形问题,一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系,通过因式分解等方法化简得到边与边关系式,从而判定出三角形的外形。（角化边）二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系,通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系,从而判定出三角形的外形。（边化角） 题型 5 正弦定理、余弦定理的综合运用可编辑资料 - - - 欢迎下载

15、精品名师归纳总结 例 6 在 ABC 中,a,b, c 分别为角A.B, C的对边,且 sin Asin CpsinB pR 且 ac1 b 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 当 p5 , b41 时,求a,c 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 如角 B 为锐角,求p 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】（ 1）由题设并由正弦定理,得51ac, ac,解得, a 4411,c或 a 41, c14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）由余弦定理, b2a 2c22ac cos B = ac2

16、2ac2ac cos Bp 2b 21 b21 b 2 cos B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 p 231 cos B ,由于 022cosB1,所以3p2,2222,由题设知 p0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以6p2 .2三、课堂练习：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、满意 A45 , c6 , a2的 ABC 的个数为 m ,就am 为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、已知 a5,b5 3 , A30 ,解三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

17、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、在 ABC 中, 已知 a4 cm , bx cm , A60 ,假如利用正弦定懂得三角形有两解,就 x 的取值范畴是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结838 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A、 x4B、 0x4C、 4xD、 4x33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、在ABC 中,如 S1 a24b 2c2 , 就角 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、设 R 是 ABC 外接圆的半径,且2 Rsin 2 Asin

18、2 C2ab sin B ,试求ABC 面积的最大值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、在 ABC中, D 为边 BC上一点, BD33 , sin B5 , cosADC 133,求 AD .5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、在ABC 中,已知a,b,c 分别为角A, B, C 的对边,如 abcos B cos A,试确定ABC 外形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、在ABC 中,a,b, c 分别为角A, B, C 的对边,已知 cos

19、 A2cos C2ca可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 求 sin C 。cos Bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 如cos B1 , b42, 求 ABC 的面积。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、课后作业1、在ABC 中,如 abc bca3bc ,且sin A2 sin BcosC ,就ABC 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A、等边三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形可编辑资料 -

20、- - 欢迎下载精品名师归纳总结2、 ABC 中如面积 S= 1 a 24b 2c 2 就角 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、清源山是国家级风景名胜区,山顶有一铁塔AB ,在塔顶 A 处测得山下水平面上一点C 的俯角为,在塔底 B 处测得点 C 的俯角为,如铁塔的高为 h m ,就清源山的高度为m 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A、 h sinsincosB、 h cossinsin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C、 h sinsinsinD、 h cossincos可编辑资料 - -

21、- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、 ABC 的三个内角为 A、B、C ,求当 A 为何值时, cos A2cos BC 2取得最大值,并求出这个最大值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、在ABC 中,a,b, c 分别为角 A、B、C的对边,且满意csin AacosC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 求角 C 的大小（2） 求3 sin Acos B 的最大值,并求取得最大值时角4A, B 的大小。可编辑资料 - - - 欢迎下载