2022年选修-教案：..“杨辉三角”与二项式系数的性质 .pdf

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1、1 3 2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学目标：知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。情感、 态度与价值观：要启发学生认真分析书本图151 提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。教学重点： 如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点： 如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型： 新授课教具：多媒体、实物投影仪第一课时一、复习引入：1二项式定理及其特例：（1）01()()nnnrn rrnnnnnnabC aC a bC abC bnN，（2）1(1)1nrrn

2、nnxC xC xx. 2二项展开式的通项公式：1rn rrrnTC ab3求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课：1 二项式系数表（杨辉三角）()nab展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2二项式系数的性质：()nab展开式的二项式系数是0nC，1nC，2nC，nnCrnC可以看成以r为自变量的函数( )f r定义域是0,1, 2, n，例当6n时，其图象是7个孤立的点（如图）（ 1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（mnm

3、nnCC） 直线2nr是图象的对称轴名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - （2）增减性与最大值1(1)(2)(1)1!kknnn nnnknkCCkk，knC相对于1knC的增减情况由1nkk决定，1112nknkk，当12nk时，二项式系数逐渐增大由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n是偶数时，中间一项2nnC取得最大值；当n是奇数时，中间两项12nnC，12nnC取得最大值（3）各二项式系数

4、和：1(1)1nrrnnnxC xC xx，令1x，则0122nrnnnnnnCCCCC三、讲解范例：例 1在()nab的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式01()()nnnrn rrnnnnnnabC aC a bC abC bnN中，令1,1ab，则0123(1 1)( 1)nnnnnnnnCCCCC，即02130()()nnnnCCCC，0213nnnnCCCC，即在()nab的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和说明： 由性质（ 3）及例 1 知021312nnnnnCCCC. 例 2已知7270127(1 2 )xaa xa

5、 xa x，求：（1）127aaa；（2）1357aaaa；（3）017|aaa. 解： （1）当1x时，77(1 2 )(1 2)1x，展开式右边为0127aaaa0127aaaa1，当0 x时，01a，1271 12aaa，（2）令1x，0127aaaa1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 令1x，7012345673aaaaaaaa 得：713572()1 3aaaa，1357aaaa71 32. （3）由展

6、开式知：1357,a a a a均为负，0248,aa a a均为正，由（ 2）中 + 得：702462()1 3aaaa，70246132aaaa，017|aaa01234567aaaaaaaa702461357()()3aaaaaaaa例 3. 求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展开式中 x3的系数解：)x1(1)x1(1)x1 (x1)x1()x1(10102）（=xxx)1()1(11，原式中3x实为这分子中的4x，则所求系数为711C名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

7、- - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第二课时例 4. 在(x2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数解：5552)2x()1x()2x3x(在 (x+1)5展开式中，常数项为1，含 x 的项为x5C15，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含 x 的项为x80 x2C415展开式中含x 的项为x240)32(x5)x80(1，此展开式中x 的系数为 240例 5. 已知n2)x2x(的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项解：依题意2n4n2n4nC14C33:14C:C3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(

8、n-1)/2!n=10设第 r+1 项为常数项，又2r510r10rr2r10r101rxC)2()x2()x(CT令2r02r510，.180)2(CT221012此所求常数项为180例 6 设231111nxxxx2012nnaa xa xa x，当012254naaaa时，求n的值解：令1x得：230122222nnaaaa2(21)25421n，2128,7nn，点评： 对于101( )()()nnnf xaxaa xaa，令1,xa即1xa可得各项系数的和012naaaa的值；令1,xa即1xa，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例 7求证：1231232nnnnnnCCCnCn证（法

9、一）倒序相加：设S12323nnnnnCCCnC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 又S1221(1)(2)2nnnnnnnnnCnCnCCCrn rnnCC，011,nnnnnnCCCC，由 +得：0122nnnnnSn CCCC，11222nnSnn，即1231232nnnnnnCCCnCn（法二）：左边各组合数的通项为rnrC11!(1)!()!(1)!()!rnnnnrnCrnrrnr，1230121112

10、123nnnnnnnnnnCCCnCn CCCC12nn例 8在10)32(yx的展开式中 , 求: 二项式系数的和; 各项系数的和; 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; 奇数项系数和与偶数项系数和; x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. 分析 : 因为二项式系数特指组合数rnC, 故在 , 中只需求组合数的和, 而与二项式yx32中的系数无关 . 解：设10102829110010)32(yayxayxaxayx(*), 各项系数和即为1010aaa, 奇数项系数和为0210aaa, 偶数项系数和为9531aaaa,x的 奇 次 项 系 数 和 为9531aaaa,x的 偶 次 项

11、 系 数 和10420aaaa. 由于 (*) 是恒等式 , 故可用“赋值法”求出相关的系数和. 二项式系数和为1010101100102CCC. 令1yx, 各项系数和为1)1()32(1010. 奇数项的二项式系数和为910102100102CCC, 偶数项的二项式系数和为99103101102CCC. 设10102829110010)32(yayxayxaxayx, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 令1y

12、x, 得到110210aaaa(1), 令1x,1y( 或1x,1y) 得101032105aaaaa(2) (1)+(2)得10102051)(2aaa, 奇数项的系数和为25110; (1)-(2)得1093151)(2aaa, 偶数项的系数和为25110. x的奇次项系数和为251109531aaaa; x的偶次项系数和为2511010420aaaa. 点评 : 要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇 ( 偶) 数项系数和与奇( 偶)次项系数和”严格地区别开来, “赋值法”是求系数和的常规方法之一. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

13、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第三课时例 9已知nxx223)(的展开式的系数和比nx) 13(的展开式的系数和大992, 求nxx2)12(的展开式中 : 二项式系数最大的项; 系数的绝对值最大的项.解：由题意992222nn, 解得5n. 101(2)xx的展开式中第6 项的二项式系数最大, 即8064)1()2(55510156xxCTT. 设第1r项的系数的绝对值最大, 则rrrrrrrrxCxxCT2101010101012)1()1()2(1101101010110110101

14、02222rrrrrrrrCCCC, 得110101101022rrrrCCCC, 即rrrr10) 1(221131138r, 3r, 故系数的绝对值最大的是第4 项例 10已知：223(3)nxx的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项解：令1x，则展开式中各项系数和为2(13)2nn，又展开式中二项式系数和为2n，222992nn，5n（1）5n，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，223226335() (3)90TCxxx，22232233345() (3)270TCxxx，（2）设展开式中第1r项系

15、数最大，则210 45233155()(3)3rrrrrrrTCxxC x，1155115533792233rrrrrrrrCCrCC，4r，即展开式中第5项系数最大，2264243355()(3)405TCxxx例 11已知)(1222212211NnCCCSnnnnnnnn，求证：当n为偶数时，14nSn能被64整除名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 分析：由二项式定理的逆用化简nS，再把14nSn变形，化为含

16、有因数64的多项式1122122221(21)nnnnnnnnnSCCC3n，14nSn341nn，n为偶数，设2nk（*kN） ，14nSn2381kk(81)81kk01118881 81kkkkkkCCCk011228(88)8kkkkCCC（） ，当k=1时，410nSn显然能被64整除，当2k时， （）式能被64整除，所以，当n为偶数时，14nSn能被64整除三、课堂练习：14511xx展开式中4x的系数为，各项系数之和为2多项式12233( )(1)(1)(1)(1)nnnnnnf xCxCxCxCx（6n）的展开式中，6x的系数为3若二项式231(3)2nxx（nN）的展开式中含

17、有常数项，则n的最小值为（） A.4 B.5 C.6 D.8 4某企业欲实现在今后10 年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应（ ） A. 低于 5 B.在 56之间C.在 6 8之间 D.在 8以上5在(1)nx的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则2(1)nx等于（）A.0 B.pq C.22pq D.22pq6求和：2341012311111111111nnnnnnnnaaaaaCCCCCaaaaa7求证：当nN且2n时，1322nnn8求102x的展开式中系数最大的项答案： 1. 45, 0 2. 0 提示：16nfxxn名师资料总结 - - -精品资料欢

18、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 3. B 4. C 5. D 6.11naa7. (略) 8.33 115360Tx四、小结：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系， 涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用五、课后作业：P36 习题 1.3A 组 5. 6. 7.8 B

19、组 1. 2 1已知2(1)na展开式中的各项系数的和等于521615xx的展开式的常数项，而2(1)na展开式的系数的最大的项等于54，求a的值()aR答案：3a2设591413011314132111xxaxaxaxa求： 0114aaa1313aaa答案： 9319683；9533996323求值：0123456789999999999922222CCCCCCCCCC答案：822564设296( )(1) (21)f xxxx，试求( )f x的展开式中：（1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和答案：（1）63729；（2）所有偶次项的系数和为6313642；所

20、有奇次项的系数和为6313652六、板书设计（略）七、教学反思：二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质， 要理解和掌握好， 同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 系数的问题的重要手段。二项式定理概念的引入，我们已经学过(a+b)2=a2

21、+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，那么对一般情况；(a+b)n展开后应有什么规律，这里nN，这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容 . 选择实验归纳的研究方式，对(a+b)n一般形式的研究与求数列an的通项公式有些类似，大家想想，求an时我们用了什么方法，学生：先写出前n 项，再观察规律，猜测其表达式，最后用数学归纳法证明，老师：大家说得很正确，现在我们用同样的方式来研究(a+b)4的展开，因 (a+b)4=(a+b)3(a+b)，我们可以用 (a+b)3展开的结论计算(a+b)4(由学生板演完成，体会计算规律 )然后老师把计算过程总结为如下形式：(a+b)4=

22、(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+3a3b2+ab3+3a2b2+3ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 对计算的化算：对(a+b)n展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？学生：a的指数从 n逐次降到 0，b的指数从 0逐次升到 n，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n的(n+1) 项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用nnnnaaa10,来表示，它这样一来(a+b)n的展开形式就可写成(a+b)n=nnnrrnrnnnnnbabaabaaaa110现

23、在的问题就是要找rna的表达形式 .为此我们要采用抽象分析法来化简计算高考题1 （ 江苏卷）若对于任意实数x，有3230123(2)(2)(2)xaa xa xa x，则2a的值为（ B）A3B6C9D122 （ 湖北卷）如果nxx3223的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为A.3 B.5 C.6 D.10 【答案 】 ：B. 【分析 】 ：22() 325132(3)()3( 2)3( 2)rn rrrn rrn rrrn rrnrrnnnTCxCxCxx，250nr，52rn（2,4,r） 。min5n. 【高考考点 】 ：本题主要考查二项式定理的有关知识和整除的知识,以及分析

24、问题和解决问题的能力 . 【易错点 】 ：注意二项式定理的通项公式中项数与r 的关系。【备考提示 】 ：二项式定理是高考的常考内容，有时单独命题，有时与其它分支的知识相综合。3 （ 江西卷）已知33nxx展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（C）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 45674 （ 全国卷 I）21nxx的展开式中，常数项为15，则n（D ）A3B4C5D65 （ 全国卷

25、）821(1 2)xxx的展开式中常数项为42 （用数字作答）6 （ 天津卷）若621xax的二项展开式中2x的系数为52，则a2（用数字作答） 7 （ 重庆卷）若nxx)1(展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（B ）A10 B.20 C.30 D.120 8 （ 安徽卷）若 (2x3+x1)a的展开式中含有常数项,则最小的正整数n 等于7 . 9 （ 湖南卷）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成 0，得到如图1 所示的 0-1 三角数表 从上往下数， 第 1 次全行的数都为1 的是第 1 行，第 2 次全行的数都为1 的是第 3 行，第n次全行的数都为1 的是第21n行；第 61 行中 1的个数是32 第 1 行1 1 第 2 行1 0 1 第 3 行1 1 1 1 第 4 行1 0 0 0 1 第 5 行1 1 0 0 1 1 图 1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -