2022年经济数学基础微分学之第章导数应用 .pdf

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1、1 / 22 第一单元函数的单调性一、学习目标通过本节课的学习，了解函数单调性的概念，同时还要掌握利用一阶导数对函数在某一区间上的单调性的判别方法二、内容讲解1. 本章概述从这一讲开始讲第3 章导数应用在上一章的总结中指出，导数是特别重要的，不仅在本课程中有很多应用，而且在将来的工作中也有很多应用这一章中，主要讲导数在两方面的应用：1导数在研究函数时的应用；2导数在经济中的一些应用例 1 股市及股市曲线在生活中，随着经济的发展，同学们或多或少都会接触股市在股市上，人们特别关注股市曲线，关心在哪一段时间股市在上升，哪一段时间股市会下降；或者在哪一个时间达到峰值，哪一个时间达到低谷，低谷的值是多少

2、？例 2 生产场景及生产曲线在下两讲中就是要讨论这个问题2.单调性判别下面首先讨论（一）定义 3.1 函数的单调性什么叫函数的单调性？在工业管理中，关心投入与产量之间的关系，产量随投入变化的情况，何时达到最高精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页2 / 22 1.1 节中定义函数的单调性为：一个函数在一个区间之间随着自变量的增加，函数值也在增加，叫做单调增加的；如果随着自变量的增加，函数值却在减少，叫做单调减少的从函数本身或图形，都能判断函数的单调性，但有时还需要用导数工具判别单调性0200202xyxxyxxy时，当

3、时，当（二）函数单调性定理3.1设函数 y = f (x)在区间 a, b上连续，在区间 (a, b)内可导 . (1) 如果 x(a，b)时，f(x)0，则 f(x)在a，b上单调增加 ；(2) 如果 x(a，b)时，f(x)0，则 f(x)在a，b上单调减少 意义： 利用导数的符号判别函数的单调性说明：（ 1）闭区间 a，b换成其它区间，如 (a，b)，(-，b，(a，+)当在 x0 这一边的每一点处都有切线时，切线的特征是：切线与x轴正向的夹角一定小于90 先考察y =x2，它的图形是抛物线在 x0 处， 函 数 单 调 上升；在x()0，则 f (x)在a，b上单调增加 (不减)；(2

4、) 如果 x(a，b)时，f(x)0，x (-,+) ，且 x0 y在(-,+) 上单调增加从图形上可以看出，这个函数的确在整个定义域上是单调增加的例 2 求 y=2x3 -9x2+12x-6的单调区间 . 分析 首先求出定义域，再利用定理3. 1（利用导数作为工具）判断该函数在哪个范围内单调增加，哪个范围内单调减少，即判断在哪个范围内导数大于0，在哪个范围内导数小于 0因此，要求出使导数等于0 的点（分界点），再作判断解：定义域为 (-,+)，y= 6x2 - 18 x + 12；x2 - 3 x + 2 = 0；x 1)( x 2) = 0；x1= 1,x2 = 2 单调增加区间为 (-,

5、1，2，+)；单调减少区间为 1，2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页5 / 22 在右图形中x1= 1, x2 = 2 是分界点，在区间(-,1 内，函数是单调增加的；而在区间1 ，2 内，函数单调减少；在区间2 ，+) 内，函数是单调增加的例 3 求xxy1的单调区间 . 解：定义域为 (-,-1) ，(-1 ，+),22)1(1)1()1(xxxxy单调增加区间为 (-,-1) ，(-1 ，+) 从图形中看出，该函数确实在整个定义域内是单调增加的归纳：求函数单调区间的步骤：确定)(xf的定义域；求f(x) =

6、 0 和f(x)不存在的点，并组成若干子区间；确定f(x)在每个子区间内的符号，求出f (x) 的单调区间例 4 当 x 0时，试证 ln(1+x)221xx. 分析 先建立一个函数 F(x)，将问题转化为函数单调性讨论的问题；再利用导数判断F(x)的单调增加性，得到要证明的结论证：F(x)=ln(1+x) (221xx)01)1(11)(2xxxxxFF(x)单调增加又 F(0)=0，故当 x0时，F(x)0；即ln(1+x)221xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页6 / 22 四、课堂练习：求函数f(x)=

7、x-ex的单调区间分析：求函数f(x)的单调区间的步骤为：1. 确定函数f (x)的定义域2. 求出函数f (x)在其定义域内f(x) = 0 的点和导数不存在的点，将这些点由小到大排列，把定义域分成若干子区间3. 确定f(x)在每个子区间内的符号通常的做法是：在该子区间内任取一点x0，判定f(x0)的符号，由于f (x)在该子区间内单调，故f(x0)的符号就是f(x)在该子区间内的符号4.根据每个子区间内f(x)的符号，确定f (x)的单调增减性，得到f (x)的单调区间利用幂函数和指数函数求导公式求之（1）幂函数求导公式：若y=x，则yx1；（ 2）指数函数求导公式：若y=ex，则y=ex

8、解：因为f(x)=x-ex的定义域为 (-,+)，且f(x)=(x-ex)=x(ex)=1-ex。 五、课后作业1. 已知函数 y = f (x)的导数如下，问函数在什么区间内单调增加？（1）f(x)=x(x-2)；（2）f(x)=(x+1)2(x+2)；（3）f(x)=x3(2x-1)；（4）f(x)=3)1(2x2. 求下列函数的单调区间：（1）f(x)=x2-5x+6；（2）f(x)=x1；（3）f(x)=x4-2x2+1；（4）f(x)=x2-lnx1.（1）0,(，),2；（ 2）), 2；（ 3）0,(，),21；（ 4）), 1(.2.（1）25,(是单调减少区间，),25是单调

9、增加区间；（2）)0,(，),0(是单调减少区间；（3） 1,(， 1 ,0是单调减少区间， 0, 1，), 1是单调增加区间；（4）22, 0(是单调减少区间，),22是单调增加区间. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页7 / 22 第二单元函数极值第一节函数极值及存在条件一、学习目标通过本节课学习，理解极值概念和极值存在的必要条件，掌握极值的判别方法和极值的求法二、内容讲解（1）极值概念定义 3.2 极值概念设函数 f (x)在点 x0的某邻域内有定义如果对该邻域内的任意一点x (xx0)，恒有f(x)(f(x

10、0)，则称 f (x0)为函数)(xf的极大(小)值，称 x0为函数)(xf的极大 (小) 值点函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点 大家看下面这个图形：在一个坐标平面中画出一条曲线，即给出一个函数，并找出一些特殊点x1，x2，x3，x4，x5和两个端点哪些点是极大值点呢？可以看到x1是极大值点， x4也是极大值点端点 b 是不是极大值点呢？极大值点是指它的函数值要比周围的值都大，而端点b的右边是没有函数值，所以它不是极大值点再找一找哪些是极小值点？x2是一个极小值点， x5也是一个极小值点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

11、- - - - -第 7 页，共 22 页8 / 22 x3是极大值点还是极小值点呢？不是，它不是极值点，因为找不到一个小范围，使它的函数值成为最大或最小（2）极值求法下面利用这个图形来解决怎样求极值点的方法分析函数在极值点处具有什么特征x1是极大值点，曲线在这一点处是较光滑的，切线是存在的，而且切线是一条水平线；x5是极小值点，曲线在这一点处也是较光滑的，切线也是存在的，也是一条水平线由此可得到，若曲线在一点处是较光滑的，而这一点是极值点，那么它的切线一定是水平的，即它的导数为0定理 3.2 极值点必要条件如果点x0是函数 f (x)的极值点，且f(x0)存在，则f(x0)=0 使f(x0)

12、=0 的点，称为函数 f(x)的驻点 定理 3.2 表示，如果一个点是极值点，而且在可导的条件下，这个点一定是驻点这样，极值点可以在驻点或不可导点处找到说明： . 若f(x0)不存在，则 x0不是 f(x)的驻点. 定理 3.2 是极值存在的必要条件根据刚才的分析，函数的极值点或者是不可导点，或者是驻点但是，驻点并不一定是极值点例如：函数y=x3在 x0=0处，f(x0)=0，由图可知， x0=0 不是极值点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页9 / 22 因此，请大家想一想：极值存在的充分条件是什么？回答这个问题之

13、前，我们先借助于几何直观来分析从这个图形中很容易的看出，函数f(x)在点 x0处达到极大，x0是极大值点当然，函数在这一点处切线是存在的，函数在这一点是可导的，而且满足极值的必要条件f(x0)=0特征：点 x0的左边曲线是上升的，即导数值大于0；右边曲线是下降的，即斜率小于0由此可知，在可导的条件下，极值点的左右两边的导数符号是不一样的从图形上显然看出x0也是极大值点，但在这一点处导数不存在，这个极大值点是不可导点特征：在点 x0的左右两边的曲线都是可导的情况下，若点x0是极大值点，则它左边的导数大于 0，右边的导数小于0由这两个图可知，若x0是函数 f(x)的驻点或不可导点，且在点x0的左、

14、右两边的导数由正变负，则 x0是极值点，而且是极大值点这一结论具有一般性，它是充分条件的一部分再看极小值点从图中很容易发现x0是极小值点由于 x0是 f(x)的可导点，所以满足极值的必要条件f(x0)=0若 x0是极小值点，则它的右边曲线的斜率大于0，即导数值大于 0；而在左边，它的斜率小于0，即导数值小于 0所以，一个驻点是极小值点时，它的左、右两边的导数符号也是不一样的x0是这个函数极小值点，但是不可导点它所具有的特征是：在可导的条件下， x0右边的导数大于0，x0左边的导数小于0归纳：只要 x0满足极小值点的必要条件，那么在x0左右两边函数可导的条件下，左右两边的导数符号是不一样的，而且

15、从左到右，导数的符号从负的变为正的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 22 页10 / 22 在这种情况下， x0不是极值点在 x0左右两边函数可导的条件下，两边的切线方向是一致的也就是说，尽管x0满足了极值点的必要条件f(x0) = 0，但在 x0的左右两边，导数不变号，因此可以肯定x0不是极值点 x0也不是函数的极值点，且在x0左右两边，导数的符号是一样的由上面的分析可以归纳出判别极值点的充分条件定理 3.3 极值点的充分条件设函数 f(x)在点 x0的邻域内连续并且可导 (f(x0)可以不存在 ) 如果在点 x0的左邻

16、域内f(x)()0，在点 x0的右邻域内f(x)0，那么 x0是 f(x)的极大 (小)值点，且 f(x0)是 f(x)的极大 (小)值如果在点 x0的邻域内，f(x)不变号，那么 x0不是 f(x)的极值点问题思考：若 x0是 f(x)的极值点，则一定有f(x0)=0吗？举例说明不一定例如，fxxx( ),(,)，那么， x=0 是 f (x)的极值点但在x=0 处，f(x)不存在三、例题讲解例 1 设函数 y=ex- x+1，求驻点 分析 驻点就是使导数等于0 的点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页11 /

17、22 解：y=ex-1，由y=ex 1=0，得 x=0注意： 这里求出的 x=0 不能说是函数的一个极值点，只能说是函数的一个驻点可导函数f(x0)=0 是点 x0为极值点的必要条件，但不是充分条件例 2 设 y=x ln(1+x)，求极值点 分析 首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点解：定义域), 1(，0111xy，解得 x=0( 驻点) 在 x=0 的左右两边，y的符号由负变正，故x=0 是极小值点例 3 设73223xxy求极值点 分析 首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点解：定义域),(；13

18、1xy，x=0 处导数不存在， x=1是驻点 . 在 x= 0的左右两边，y的符号由负变正，故x= 0 是极小值点；在 x= 1的左右两边，y的符号由正变负，故x= 1 是极大值点例 4 设4343xxy，求极值 分析 首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点，最后写出极值解：定义域),(，在 x=0 的左右两边y同号，故 x=0 不是极值点；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页12 / 22 在 x=1 的左右两边，y的符号由正变负，故x=1 是极大值点求函数极值的步骤：

19、（1）确定函数 f (x)的定义域，并求其导数f(x)；（2）解方程f(x) = 0，求出 f (x) 在定义域内的所有的驻点；（3）找出)(xf所有在定义域内连续但导数不存在的点；（4）讨论f(x)在驻点和不可导点的左、右两侧附近符号变化情况，确定函数f(x)的极值点；（5）写出函数 f (x)的极值点和极值四、课后作业1求下列函数的极值：（1）f(x)=xx3443；（2）f(x)=xx162；（3）f(x)=x2 ln(1+x)；（4）f(x)=x2e-x1. （1）极小值41)1(f；（ 2）极小值12)2(f；（3）极小值231ln231)213(f；（ 4）2maxmin4)2(,

20、 0)0(eff第二节函数最值一、学习目标通过本节课学习，了解最大值、最小值的概念，知道极值与最值之间的关系，掌握最大值、最小值问题的处理方法，熟练掌握解决一些应用问题的方法，尤其是求解经济应用问题最值的方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页13 / 22 二、内容讲解1. 最大值、最小值及其求法（1）极值与最值的区别：极值是在其左右小范围内比较；最值是在指定的范围内比较所以，说到最大（小）值，要使问题提得明确，就必须明确指定考虑的范围如果在指定的范围内函数值达到最大，它就是最大值这个函数在区间 a，b内的极大值

21、点是 x1，x4；极小值点是 x2，x5现在要问这个函数在闭区间a，b上最大值点是哪一个，那么应该是整个指定区间上曲线最高处的点就是最大值点从图中可以看出，端点b 处的函数值最大，所以点b 就是该函数在区间 a，b上的最大值点同样，从图中可以看出x2是区间a，b上最小值点若将b点往左移至5x，从图中可以看 出 ， 最 大值点是 x4，而最小值点仍然是x2.若将区间改为,42xx，则最大值点仍然是x4，最小值点仍然是 x2明确了最值点与极值点的区别后，最值点的求法也就较容易得到了函数 f(x)在a，b上的最值点一定在端点、驻点和不可导点中（1）端点： a，b；（2）驻点：使f(x)=0 的点；（

22、 3）不可导点：f(x)不存在的点 . 2.函数的最值概念（定义3.3）最值的求法： 极值是在局部范围内比较；最值是在指定的范围内比较.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页14 / 22 求函数最值的步骤 ：求导数f(x)；解f(x) = 0，求出 f (x)的驻点；找出 f (x)连续但f(x)不存在的点；比较 f (x)在驻点、导数不存在点和端点处的值，确定最大值和最小值问题思考：函数最值一定是函数极值吗？何时极值一定是最值？极大（小）值只是在极值点附近的局部最大（小）值，而最大（小）值是整个区间上的最大（小）

23、值，它可能在区间的端点处达到因此，最大（小）值不一定是极大（小）值若f x( )在区间 , a b上连续，在( ,)a b内可导，且fx( )在 , a b上有唯一极大（小）值点，则f x( )在 , a b上的极大（小）值就是最大（小）值三、例题讲解例 1 求 y=x3-3x2 9x+5 在-4，4上的最大值和最小值 分析 可能成为最值点的是端的、驻点和不可导点因此，先求驻点和不可导点，再比较这些点和端点处的函数值的大小，确定最大值和最小值解：y= 3x2 6x - 9 = 3(x2 2x 3)= 3(x + 1)(x 3) = 0 x1 = -1，x2 = 3x-4 -1 3 4 y-71

24、 10 -22 -15 所以，最大值为 y(-1)=10 ，最小值为 y(-4)=-71 说明：不用判别 -1，3 是否为极值点，只要计算-4，-1 ，3，4 处的函数值，确定最大值和最小值例 2 求 y=x(x-1)31在2,2上的最值点解：3231) 1(31) 1(xxxy32)1(34xx= 0，43x(驻点)，且 x=1 处导数不存在，所以，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页15 / 22 最小值点为 x=43，最大值点为 x=-2x-24312y-231) 3(4331)41(02例 3 将边长为30

25、cm 的一块正方形铁皮的四角截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒问截掉的小正方形边长为多少时，所得方盒的容积最大？解：设小正方形边长为xcm，则盒底边长为30-2x，容积为 V=(30-2x)2x，x(0，15) 因为V=-4(30-2x)x+(30-2x)2=(30-2x)(30-6x) 令V=0，得 x1=5，x2=15(舍弃)，且 x1=5是 V 在定义域内唯一驻点所以 x1=5是 V 的极大值点，也是V的最大值点即截掉的小正方形边长5cm时，所得方盒的容积最大，最大容积为V=5(30-10)2=2000cm3说明 ：1解应用问题，首先要建立数学模型，建立模型的第

26、一步是设变量，再用这个变量把问题用数学语言描述出来2如果 f (x)在a，b上连续，在 (a，b)内可导，而且0 x是 f(x)在(a，b)内的唯一驻点，那么当 x0是 f (x)的极值点时， x0一定是 f(x)在a，b上的最值点四、课堂练习1. 求下列函数的最大值和最小值：（1）f(x)=x+x1，-5，1；（2）f(x)= 1 ,21,12xx2求 200m长的篱笆所围成的面积最大的矩形尺寸3在半径为 R的半圆内，内接一矩形，问矩形的边长为何值时，矩形的面积最大？矩形的周长最大？3030-2xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

27、15 页，共 22 页16 / 22 1. （1）最大45)43(f，最小56)5(f；（ 2）最大21)1()21(ff，最小0)0(f. 2当矩形的长和宽都是50m时，围成的面积最大. 3当矩形的长和宽分别是R2和R22时，矩形的面积最大；当矩形的长和宽分别是RR55,554时，矩形的周长最大.第三单元导数在经济分析中的应用第一节边际与边际分析一、学习目标通过本节课学习，了解边际成本、边际收入、边际利润的概念，会求成本、收入、利润等经济函数的边际值和边际函数二、内容讲解边际与边际分析定义 3.4 边际成本在引进导数概念时，我们已经接触过边际成本概念，譬如说在连续化生产的工厂中，可以知道总成

28、本与总产量之间的函数关系，由此可以求出平均成本，即总成本除总产量就是平均成本同时又引进了边际成本的概念，就是总产量达到一定时刻，再增加生产一个单位产量时，单位成本增加量下面具体看一个例子q产量；)(qC成本函数；qqC)(平均成本函数)(qC产量为q时的边际成本函数经济意义：产量为q时，再生产一个单位产品所增加的成本. 定义 3.5 边际收入精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页17 / 22 收入是销售量或产量的函数，因此也就有总收入、平均收入、边际收入等函数设q销售量；)(qR收入函数；qqR)(平均收入函数)(

29、qR销售量为q时的边际收入函数经济意义：销售量为q时，再生产一个单位商品所增加的收入. 定义 3.6 边际利润想一想利润是怎样产生的？已知成本)(qC，收入)(qR，那么利润)()()(qCqRqL且边际利润)()()(qCqRqL想一想边际利润的经济意义是什么？这堂课我们讲了三个问题，即：成本函数的导数称为边际成本；收入函数的导数称为边际收入；利润函数的导数称为边际利润思考题： 当边际利润大于 0，即0)(0qL的意义是什么？答案：关于利润)(qL，若0)(0qL，即在销售量为0q时的边际利润大于 0，它意味着增加销售量，利润还能增加. 问题思考：平均成本与边际成本有何区别？平均成本C是在不

30、同的产量下每单位产量的成本，它是产量在范围0，q内的平均边际成本C是产量为q单位时，成本C q( )的增量C与产量的增量q的比值当q0 时的取值，也就是产量为q单位时总成本C q( )的瞬时变化率三、例题讲解例 1 一企业的每日成本C（千元）是日产量q（台）的函数qqqC52400)(，求：（1）当产量为 400 台时的成本；（ 2）当产量为 400 台时的平均成本；（ 3）当产量由 400 台增加到 484 台时的平均成本；（ 4）当产量为 400 台时的边际成本 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页18 /

31、 22 解（1）当产量为 400 台时的成本为：40054002400)400(C=1300(千元) （2）当产量为 400 台时的平均成本为：25.34001300400)400(C(千元/ 台) （3）当产量由 400 台增加到 484 台时的平均成本：119.240048413001478400484)400()484(CC(千元/ 台) （4）当产量为 400 台时的边际成本为：qqqqC252)52400()(所以，125.2400252)400(C(千元/ 台) 例 2 某产品的销售量q与单位价格p之间的关系为pq31200（1）写出收入函数 R与q之间的关系；（2）计算销售量达到

32、300 时的收入；（3）销售量由 300 增加至 360 时，收入增加了多少？（4）在这个过程中平均多销售一单位时，收入增加多少？（5）求销售量为 300 时的边际收入解：（ 1）收入函数R与q之间的关系为：231400)1200(31)(qqqqpqqR（2）销售量达到 300时，收入为：230031300400)300(R=90000 （3）销售量由 300 增加至 360时，收入增加了：)300()360(RR=100800-90000 （4）在这个过程中平均多销售一单位时，收入将增加：1806080010300360)300()360(RR（5）因为qqqqR32400)31400()

33、(2所以，销售量为 300时，边际收入为：200)300(R精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页19 / 22 例 3 某企业每天的产量均能售出，售价为490 元/ 吨，其每日成本C与每日产量q之间的函数为202. 04502000)(qqqC（1）写出收入函数；（ 2）写出利润函数；（3）求利润函数的导数，并说明其经济意义. 解（1）收入函数为：qqR490)(（2）利润函数为：)02.04502000(490)()()(2qqqqCqRqL202.0402000qq（3）利润函数的导数为：qqqqL04.040

34、)02.0402000()(2利润函数的导数称为边际利润，其经济意义为：当产量达到q时，再增加单位产量后利润的改变量 . 例 4 某厂每月生产q( 百件)产品的总成本为2)(qqC1002q( 千元). 若每百件的销售价格为 4 万元，试写出利润函数)(qL，并求当边际利润为0 时的月产量 . 解：已知q( 百件) ，1002)(2qqqC( 千元) ，40p( 千元/ 百件) （1）利润函数为：)(qL=)1002(402qqq（2）边际利润为)(qL40 - (2q +2)q238令0)(qL，即)(qL0238q，得19q请大家从上述例题中归纳边际函数与导数的关系. 四、课堂练习某种产品

35、的收入R（元）是产量q（吨）的函数)0(4800)(2qqqqR求:（1）生产200吨该产品时的收入；（ 2）生产 200吨到 300 吨时收入的平均变化率；（3）生产 200 吨时的边际收入分析：求产量为q200吨时的收入，只需将q200代入收入函数)(qR48002qq求之；求产量从精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 22 页20 / 22 200 吨到300 吨时的收入的平均变化率，只需先分别求出产量为200 吨时的收入，产量为300 吨时的收入，然后利用平均变化率公式qqR)(=200300)200()300(RR

36、求之求产量为q200吨时的边际收入，只需先求出边际收入函数R q( )，然后将q200代入边际收入函数R q( )，求出R ()200五、课后作业1. 某工厂每日产品总成本C（百元）与日产量q（kg）的关系为 C(q)=4q+q2+500求日产量为 900kg 时的边际成本2. 某厂每月生产 q（百件）产品的总成本为C(q)=q2+2q+100（千元）若每百件的销售价格为 4 万元，试写出利润函数L(q)，并求当边际利润为0 时的月产量1.3014百元 /kg. ；2.10038)(2qqqL,19q百件 . 第二节需求价格弹性一、学习目标通过本节课学习，了解需求弹性的概念，会求需求价格弹性二

37、、内容讲解定义 3.7 需求价格弹性设某产品的单位售价p，该产品市场需求量q，则它的需求函数为q=q(p)需求函数的导数为：q(p)价格由 p 增加到 p+p，则需求由 q(p)增加到 q(p+p)价格提高的百分比pp，需求改变的百分比)()()(pqpqppq两个百分数之比（平均比率）瞬时比率，即当p0 时，对需求影响的百分比为ppqppqpqpp)()()(lim0=)()(pqpqp=Ep 称为需求价格弹性，简称需求弹性，记为Ep精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页21 / 22 边际问题和经济分析中的最值边

38、际成本、边际收入、边际利润；经济应用中的平均成本最小，收入、利润最大的问题需求价格弹性需求的变化是依赖于价格变化的，即当价格提高1% 时，需求的变化是百分比 问题思考：请写出需求价格弹性公式，解释它的经济意义需求价格弹性的公式是Ep=)()(pqpqp经济意义是：当价格下降（上升）1% 时，需求将增加（减少）的百分比三、例题讲解例 1 已知需求量 q（单位：百件），价格p（单位：千元），需求价格函数为：q(p)=153ep，p3 ，10 ，求当 p =9 时的需求弹性解：因为 Ep=)()(pqpqp3e)31(15e1533Pppp所以 Ep(9)=-39= -3 例 2 已知需求函数 q(

39、p)=150-2p2，p (0，8)，（1）求需求弹性；（ 2）问 p 取何值时， Ep为单位弹性，缺乏弹性，富有弹性解：由175222pp得 p=5；由175222pp得 0p5；由175222pp得 5p8 即当 p=5 时，Ep为单位弹性；当 0p5时，Ep为缺乏弹性；当5p8 时，Ep为富有弹性当pE=1 时，称为 单位弹性 ，即商品需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等当pE1 时，称为 富有弹性 ，即商品需求量的相对变化大于价格的相对变化，此时价格的变化对需求量的影响较大例 3已知成本函数为C(q)=aq3-bq2+cq，求使平均成本最小的产量, 其中 a,b,c0精选学习资料

40、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页22 / 22 解：平均成本为C(q)=aq2-bq+c；C(q)=2aq-b；令C(q)=2aq-b=0，得驻点 q=ab2. 由于 q=ab2是平均成本函数惟一驻点，且最小值确实存在，故q=ab2是使平均成本最小的产量四、课堂练习某种产品的销售量q 与价格 p之间的关系为ppq1，求需求弹性 Ep如果销售价格P0=1/2，试确定 Ep的值由需求弹性公式Ep=qpq(p)可知，求一种商品需求弹性时，首先求出它的边际需求，然后代入需求弹性公式，就可得到这种商品的需求弹性利用导数除法运算法则()

41、uvu vuvv2求之五、课后作业1某产品的销售量q 与价格 p 间的关系式为ppq1，求需求弹性Ep如果销售价格为 0.5，试确定 EP的值2设某商品需求量q 对价格 p 的弹性为Ep=-2pln2，求销售收入R=pq 对价格 p 的弹性3设生产某种产品q 单位的生产费用为C(q)=900+20q+q2问 q 为多少时，能使平均费用最低？最低的平均费用是多少？4设某产品销售q 单位的收入为R(q)=400q q2-900，求使平均收入最大的销售量q，并求最大平均收入1211P；22ln21p；330 个单位，最低的平均费用为80. ； 430 个单位，最大的平均收入为340. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页