2022年经济数学基础积分学之第章积分应用 .pdf

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1、1 / 15 第一单元积分的几何应用一、学习目标通过本节课的学习，了解定积分的几何意义，学会计算曲边梯形的面积，进而计算平面图形的面积二、内容讲解积分的几何应用能使我们从直观上理解定积分的含义，也能通过几何图形直观地理解定积分的性质先讲平面图形的面积计算怎样测定一块不规则土地的面积，我们知道怎样计算矩形的面积，但要把这块土地当作矩形来计算，那么误差就太大了由于面积具有可加性，可以将这块土地划分成一些小条形状，将每个小条近似地当作一个矩形（这样误差很小），那么，这些矩形面积之和就是这块土地面积的近似值将这块土地抽象成坐标系中的这个图形，图形上端曲线方程为)(xfy，将图形划分为一些小条，其中小条

2、面积用矩形面积近似，即xxf)(图形的面积近似为xxf)(小条分得越细，近似程度越高，令所有小条的宽度趋于0，就得到图形面积的精确值这种分割、近似、求和、取极限的方法也可以解决其它应用问题如果用S表示图形的面积，由定积分的定义可知baxxfS)d(从这个问题的解决可以看出，当0)(xf时，baxxf)d(的几何意义就是由曲线)(xfy与x轴及直线bxax,所围的平面图形的面积通过例子说明：当0)(xf时， y x Oabxx+ x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页2 / 15 baxxf)d(的几何意义就是表示由曲

3、线)(xfy与x轴及直线bxax,所围的曲边梯形的面积再来看一般的情况，计算如下图形的面积图形上面的曲线为)(xfy，下面的曲线为)(xgy，由定积分的几何意义可知图形的面积为bababaxxgxfxxgxxfS)d()()d()d(或表示为baxyySd下上一个积分是在对称区间,aa上的积分，如果遇到这样的积分，就可以考察被积函数的奇偶性，结论是是偶函数时当是奇函数时当)(,)d(2)(,0)d(0 xfxxfxfxxfaaa这个结论可以由几何直观加以证 y x Oab y x Oaa y x Oaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

4、 2 页，共 15 页3 / 15 从上图可以看出，当)(xf是奇函数时有aaxxfxxf00d)(d)(；当)(xf是偶函数时有aaxxfxxf00d)(d)(问题思考 1： 直线0y与x轴是什么关系？答案 直线0y就是x轴问题思考 2： 圆心在原点的单位圆的方程是什么？答案圆心在原点的单位圆的方程是122yx三、例题讲解例 1 三角形底为 1，高为 2，求三角形的面积解：按三角形面积公式有1212121高底S用定积分计算（如图）10d2xxS1102x例 2 梯形上底为 1，下底为 2，高为 1，求梯形的面积解：按梯形面积公式有231212121）（高下底）（上底S用定积分计算（如图）21

5、dxxS232212x例 3 求半径为 2 的圆的面积解：按圆的面积公式有422S用定积分计算（如图）202d44xxS y x O12 y x O122 y x O2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页4 / 15 令txsin2，则ttxdcos2d，0 x时0t；2x时2t202dcos2sin444tttS202dcossin116ttt202dcos16tt20d22cos116tt20)2sin21(8tt4例 4 求由12xy，2x及x轴和y轴围成的平面图形的面积解：平面图形如图所示2021)d(xxS

6、203)3(xx314例 5 求由xysin，x轴在区间2,0上围成的平面图形的面积解：平面图形如图所示20dsinxxS20cosx1例 6 求由xy，3xy所围成的平面图形的面积解：平面图形如图示，在区间)0,1(上xx3在区间)1,0(上3xx y x O112 y x O1/2 y x O11精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页5 / 15 由此得103013d)(d)(xxxxxxS21)42()24(10420124xxxx例 7 计算222)dsin(xxxx解：因为2, xx都是偶函数，xsin是奇函

7、数所以2xx是偶函数，xx sin是奇函数由此得22222222dsind)dsin(xxxxxxxxxx203202d20d2xxxxx3224204x四、课堂练习练习 1 求由曲线12xy与x轴及直线2,0 xx围成的曲边梯形的面积一条曲线)(xfy与x轴在区间,ba上所围成的面积表示为baxxfSd)(要计算这个积分，需要去掉被积函数的绝对值号，这就要弄清)(xf在区间,ba上的符号考虑12x在区间)2,0(内是否与x轴有交点，有则变号，没有则不变号12x与x轴的交点为)0,1(，在区间)2,0(内在区间)1,0(上012x，在区间)2,1 (上012x练习 2 求由曲线3xy与直线0,

8、2 xxy围成的平面图形的面积求3xy与2xy的交点，确定积分限两条曲线)(xfy与)(xgy所围成的面积表示为baxxgxfSd)()(其中积分上下限ba ,是两曲线相距最远的两个交点的横坐标（如果有第3 条曲线则情况例外）要计算这个积分，需要去掉被积函数的绝对值号，这就要弄清)()(xgxf在区间,ba上的符号五、课后作业精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页6 / 15 1利用定积分的几何意义计算下列定积分：（1）10dxx；（2）)0(d022RxxRR. 2求由下列曲线所围平面图形的面积：（1）直线6,3,0

9、,23yyxxy；（2）2xy与2yx；（3）xycos与x轴，在区间,0上. 3利用函数的奇偶性求下列定积分的值：（1）224dsinxxx；（2）223dxx；（3）1123)d64(xxx. 1（ 1）21；（ 2）24R2（ 1）25；（ 2）29；（ 3）2 3（ 1）0；（ 2）8；（ 3）4 第二单元积分在经济分析中的应用一、学习目标通过本节课的学习，了解已知边际函数求原经济函数的方法二、内容讲解若某产品的销售曲线为)(tfy，它表示该产品在单位时间里的销售额考虑从1t到2t时间段内的销售总额如果在1t到2t时间段内的单位时间里的销售额为常数，那么销售总额就是时间间隔乘以这个常数

10、但现在单位时间里的销售额是个变量，不能这样简单地计算利用定积分的思想，把时间间隔,21tt分割成很多小的时间段，将每个小段时间内单位时间里的销售额视为常数，每个小段时间内的销售额近似为ttf)(则在1t到2t时间段内的销售总额可近似为21)(tttttf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页7 / 15 最后取极限，即让每个小段时间的间隔趋于0，得到从1t到2t时间段内的销售总额u为21d)(ttttfu这样就将在一个时间段内单位时间销售额为变量的产品的销售总额表示成了一个定积分问题思考：)0(L的经济意义是什么？答案

11、0)0(cL，它的经济意义是当产量为0 时，利润为全部的固定成本支出三、例题讲解例 1 若一年内 12 个月的销售额随着时间的增长而增长，具体的销售曲线为t02. 0e1000000，求一年内的销售总额解：12002.0de1000000tut12002. 0e02.01000000t13560000（元）例 2 若已知某企业的边际成本函数为q2. 0e2，且固定成本900c，求产量q由 100增加至 200 时总成本增加多少解法一 ：2001002.0de2qCq2001002. 0e2.02q)ee(102040解法二 ：qqC2 .0e2)(qqCqde2)(2.012.0e10cq已知

12、9010)0(1cC，得801c，即80e10)(2.0qqC)100()200(CCC)ee(102040四、课堂作业练习 1 已知某产品边际成本为1502)(qqC（百元件），固定成本为10000（百元），边际收入为50)(qR（百元件），试求利润函数)(qL精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页8 / 15 )()()(qCqRqL，其中)(qC和)(qR可由00d)(cqqCq；qqqR0d)(；1000041200)(2qqqLqqqqCqqCqC0010000d)1502()0(d)()(100001504

13、2qq；1000041200)(2qqqL练习 2 某产品边际成本qqC3)(（万元百台），边际收入qqR12)(（万元百台），固定成本5（万元）求（1）使利润达到最大的产量及最大利润；（2）若在最大利润产量的基础上再生产200 台，总利润将发生什么变化？（1）利用)()()(qCqRqL求)(qL，再求)(qL的最大值（2）利用200d)(qqqqLL或直接计算)()2(00qLqLL5235d)3(d)()(2000qqqqcqqCqCqq212d)12(d)()(200qqqqqqRqRqq)523(212)()()(22qqqqqCqRqL592qq五、课后作业1已知边际成本qqC5.

14、0e12)(，固定成本为 26，求总成本函数 . 2某产品的总成本（万元）的变化率为1)(qC（万元百台），总收入（万元）的变化率为产量q（百台）的函数qqR5)(（万元百台） . （1）求产量q为多少时，利润最大？（2）在上述产量（使利润最大）的基础上再生产100台，利润将减少多少？3某新产品的销售率为xxfe90100)(，式中x是产品上市的天数.求前 4 天的销售总量2（ 1）4q，（ 2）0.5 万元； 3.4e90310第三单元微分方程的基本概念精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页9 / 15 一、学习目标

15、通过本节课的学习，了解微分方程的基本概念二、内容讲解设总成本函数为)(qC，已知条件为qqC2. 0e2)(且90)0(C，求)(qC)(qC是未知函数，将此问题用数学语言表成边际成本是q2. 0e2，即qqC2 .0e2)(固定成本是 90，即90)0(C这就是一个完整的数学模型，它由一个方程和一个)0(C90 的等式组成在这个方程中要求的是一个未知函数，另外在方程中还出现了未知函数的导数（或微分）这样就得到第一个概念：定义 7.1微分方程含有未知函数的导数（或微分）的等式称为微分方程 看下面两个方程：xxyyesin；53)(yyxy这是两个微分方程第一个方程中出现未知函数的一阶导数，第二

16、个方程中出现了未知函数的一阶导数和二阶导数这样就得到第二个概念：微分方程中出现未知函数的导数（或微分）的最高阶数称为微分方程的阶上面所列第一个方程是一阶微分方程，第二个方程是二阶微分方程再看最初的问题这个问题的答案有cqCq2. 0e10)(80e10)(2.0qqC)(qC代入方程qqC2.0e2)(中使之成为恒等式这样就得到第三个概念：如果函数满足一个微分方程，即把这个函数代入微分方程后，使这个微分方程成为恒等式，则称此函数是该微分方程的解微分方程的解有很多，cqCq2.0e10)(和qqC2.0e10)(80 都是微分方程qqC2.0e2)(的解，它可以分为两种：不带任意常数的解称为 特

17、解 带有任意常数（且常数的个数等于微分方程的阶数）的解称为通解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页10 / 15 cqCq2 .0e10)(是微分方程qqC2.0e2)(的通解，80e10)(2.0qqC是微分方程qqC2. 0e2)(满足90)0(C的特解已知自变量取某值时，未知函数（或导数）取特定的值，这样的条件称为初始条件 ，含有初始条件的微分方程称为初值问题 归纳起来可知qqC2. 0e2)(是一阶微分方程；90)0(C是一个初始条件；90)0(e2)(2 .0CqCq是一个初值问题；cqCq2 .0e10)

18、(是qqC2. 0e2)(的通解；80e10)(2.0qqC是qqC2. 0e2)(的特解未知函数及其各阶导数（或微分）都是一次的微分方程，称为线性微分方程问题思考 ：xyye是否为线性微分方程？答案 不是线性微分方程，因为yy是二次的形式三、例题讲解例 1 已知某种产品的需求弹性恒为1，且当价格为 2 时需求量为 300，求需求函数解：设需求函数为)(pq，应满足300)2(1ddqpqqp这就是整个问题的数学模型，是一个初值问题如何求)(pq将是下一节要讲的内容四、课后作业指出下列微分方程的阶数：（1）06)( 3)(8542xyyy；（2）0e5)(32xyyyx；精选学习资料 - -

19、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页11 / 15 （3）xyxyyxsin5)(3. （1）2 阶（2） 1 阶（3）2 阶第四单元可分离变量的微分方程一、学习目标通过本节课的学习，掌握可分离变量的微分方程的解法二、例题讲解什么是可分离变量的微分方程，如果一般形式),(yxfy的微分方程可以变形为)()(21ygxgy这种形式的微分方程叫做可分离变量的微分方程 在这种情况下，可分离变量为xxgygyd)()(d12两边分别求不定积分，左边对y求，右边对x求xxgygyd)()(d12如果)(2yG，)(1xG分别是)(12yg和)(1

20、xg的原函数得)()(d22yGygy，)(d)(11xGxxg即有cxGyG)()(12上式就是可分离变量的微分方程)()(21ygxgy的通解，其中c是任意常数三、例题讲解例 1300)2(1ddqpqqp解：分离变量得ppqqdd两边积分ppqqdd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页12 / 15 得cpqlnlnpccp11lnlnln，pcq1将300)2(q代入上式得23001c，即6001c由此得pq600例 2 求22xyyy的通解解：)1(dd222xyxyyxy分离变量为xxyyd)1 (d2

21、两边积分xxyyd)1(d2得cxy2)1(12方程22xyyy的通解是cxy2)1(12其中c是任意常数四、课堂练习求微分方程yxyxy11的通解此方程为可分离变量的微分方程)()(21ygxgy，分离变量成为xxgygyd)()(d12两端积分后便得到方程的通解，一般是隐函数的形式将带有y与yd的表达式放到方程的一端，将带有x与xd的表达式放到方程的另一端原方程化为)11)(1()1 (11ddyxxyxxy；整理得xxyyyd)1 (1d五、课后作业1求下列可分离变量的微分方程的通解：（1）0lnyxyy；（2）yye1. 2求微分方程yxy2e满足初始条件0)0(y的特解 . 1（ 1

22、）xcye（2）)e1ln(xcy2)1e(21ln2xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页13 / 15 第五单元一阶线性微分方程一、学习目标通过本节课的学习，掌握一阶线性微分方程的解法二、内容讲解方程)()(xQyxPy称为一阶线性微分方程 下面导出求解公式我们希望将)()(xQyxPy的左端变为某个函数的导数，这样只需对右端求积分就可简单求解，但一般做不到，需要在方程两端乘一个函数)(xg，得)()()()(xgxQyxPyxg适当选择)(xg使)()(yxPyxg成为某个函数的导数yxPxgyxgyxPy

23、xg)()()()()()(yxg根据乘积的导数公式，应该有)()()(xPxgxg由上式解出xxPxgd)(e)(称xxPd)(e为积分因子，将其乘到方程两端，等式左端xxPxxPxxPyxPyyxPyd)(d)(d)(e)(e)(e)e(ed)(d)(xxPxxPyy)e(d)(xxPy等于右端xxPxxPxQyd)(d)(e)()e(两端积分得cxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(整理得de)(ed)(d)(cxxQyxxPxxP得到一阶线性微分方程)()(xQyxPy的通解公式de)(ed)(d)(cxxQyxxPxxP其中c是任意常数注意：必须将一阶线性微分方程写成标准形式.

24、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页14 / 15 三、例题讲解例 1 求解1)0(022yxxyy解：先求通解，将方程化为xxyy22得到xxQxxP2)(,2)(，由求解公式得de)(ed)(d)(cxxQyxxPxxPde2ed2d2cxxxxxxde2e22cxxxxee22cxx2e1xc将1)0(y代入上式得0e11c即2c，求解得2e21xy例 2 求52xyyx的通解解：将方程化为42xyxy得到4)(,2)(xxQxxP，由求解公式得de)(ed)(d)(cxxQyxxPxxPdeed24d2cx

25、xxxxxd242cxxxx332cxx四、课堂练习精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页15 / 15 求初值问题1)1 (2xyyx，1)0(y的解此方程为一阶线性微分方程)()(xQyxPy可由公式求解，也可用积分因子法求解由初始条件确定积分常数原方程化为标准形式22111xyxxy得2211)(,1)(xxQxxxP)1(d1121d1d)(222xxxxxxxP2211ln1ln21xx（积分常数可省略）五、课后作业1. 求微分方程xyye的通解. 2. 求初值问题xxyy2e2，1)0(y的解1xcxye)(2xxxy2e)1(2e3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页