高等数学多元函数微分学.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -60 曲面及其方程常用二次曲面的方程及其图形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、球面设 P0x 0 , y0 , z 0是球心， R 是半径，P x, y, z是球面上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结任一点，就P0 PR ，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2xx 02y y 022z z 0R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2y 2z 2R

2、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22、椭球面x a 23、旋转曲面y 2z2b 2c21fx, z0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 L 是 x0z 平面上一条曲线， L 绕 z 旋转一周所得旋y00,0,z 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结转曲面： fx 2y 2 , z022x 0,y 0,0x,y,z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22x 0xy2zz 0xy,zz0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0xx 2

3、y2z0z代入方程fx, z0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 fx 2y 2 , z0z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1、 zx 2y 2 ,z2xa x 2y 222yz称为旋转抛物面y0x222xyz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结旋转双曲面：a 221 ， 单 zca 2c 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、椭圆抛物面 zax 2by 2ab0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、单叶双曲面6、双叶双曲

4、面xyz2222221abc222222xyz1abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、二次锥面圆锥面x 2y2z 2a2b 2c2z 2x 2y 20z 2ax 2by 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - -

5、- 欢迎下载精品名师归纳总结8、柱面抛物柱面yax 2a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结椭圆柱面x 2y 21a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结圆柱面 x 2y 2R 260 空间曲线及曲线在三个坐标面上投影方程（以后讲）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一般式F1 x, y, z0F2 x, y, z0xx t参数式yy tzz t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F1 x, y, z曲线F2 x, y, z0在三坐标面上投影

6、方程0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 x0y 面上投影曲线方程：在联立。F1 x, y, z F2 x, y, z0中消去 z，再与 z=00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -多元函数微分学10 二元函数及其极限与连续可编辑资

7、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、 zf x, y，定义域为平面上某一个平面域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结几何上 zfx, y为空间一张曲面。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、二元函数极限P186例 1、争论函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx, y4xy242y 4x 2x 2y2x 2y 20在 0,00极 限 是 否 存可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0在。4x 2 y44x 2K 4 x 44K 2 x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解

8、： lim2lim2lim20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yxx042x y 2x0K4 x 4x 2x0x 2 K 41可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而lim4y 4y 4yy44 24 f xy 在0,0极限不存在 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x y 23、连续P18720 多元函数的偏导数与全微分1、偏导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义： zfx, y在点x 0 , y 0处对 x 的偏导数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记作：zxxx

9、0 ,y y 0fxxx 0 ,y y 0z x x yx 0 ,y0f 1 x0 , y 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即：f x同理： f yx 0 , y 0x 0 , y 0flimx 0flimy 0x 0x 0 , y 0x, y 0xyyfx 0 , y 0fx 0 , y 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x , f y在x 0 , y 0存在，称 zf x, y在x 0 , y 0可导。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资

10、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1、zx y ,求z ,z xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：z xyx y 1 ,z x y lnx y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 2、P188，例 5， 6可编辑资料

11、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设zy11x 2 sinx, yx 3 ,求z x2,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解： zx,1x 3 ,z x 2,1dz x,13xx 2x 212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dx2、高阶偏导数2 zz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2xxf xxx, yz xxf x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2zzf xy2 zzxyzf yxzyx可编辑资料 - - - 欢迎下载精

12、品名师归纳总结x yyxy xxy2 zzy 2yy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xy ,f yx , 连续，就f xyf yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、全微分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如zf xx, yyf x, yAxByo 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22xyzf x, y在x, y 可微可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结全微分dzf dx xf dy y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结偏导数f ,fxy连续可微可导连续可

13、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3、设u x, yxlnyylnx1 就dulnyy dx xxlnxdy y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4、由方程xyzx 2y 2z 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结确定 zz x, y 在点1,0,1 全微分 dzdx2dy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料

14、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -30 复合函数微分法定理： P194z = f u . vu = u x . y.v = v x . y z = f u , v = F x . y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结zfuxuxfv,zvxyfufvuyvx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5、P195，例 5.14设z = 1 + x2 + y2 xy 求zzxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： zz2exyln1 xy 2 2x 2 y可编辑资料 - - -

15、欢迎下载精品名师归纳总结1x 2xz1x 2yy2 xyy 2 xyyln1x 2xln1x 2y 2 y 2 1x 2y 22xy 21x 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5.15 解z f x 2y 2 , xy ， yxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结zf 2x 22xx2 x, x 2xxf u , vF x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结zf4xxu2x2xx2xxf2x vxxx

16、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2f2x uxxxxxf2x vxxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7、 zy 2f x 2y 2，其中 fu 可微，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结zzy2xy fuxy2 yfu2 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8、 zxx y 2 ,u 可微，就 2zyz2zxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢

17、迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9、设zfxy2 - y 2 ，求证 1z1zzxxyyy 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证：令 x 2y 2u 就zyfu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

18、纳总结z2xy fuz12y fu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2xf 2 uyfuf 2 u可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1z1z2yf u12yf uxx1yyzf 2 uyfuf 2 uyfuy 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10、设 zf 2xyg x, xy，其中 ft 二阶可导， g u , v 具有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二阶连续偏导数。2 z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求解：z xxyf t2g ug vy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

19、 欢迎下载精品名师归纳总结2z2fxyt1gu0g uvxg vy gvu0g vvx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2f txg uvg vxyg vv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 11、设 uy, vy ，试将方程xzz0 变换成以 u,v可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222xxxy为自变量的方程，其中函数z 具有二阶连续偏导数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：zzuxux2 z2yzyzvvx2 zvz y vx 22

20、 zu2yzy 22 z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2x3vx 2v 2xv uxx 3vx 4v 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 z1zy2zv2zu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xyx 2v1

21、zyx 2v 2y2z12 zv uy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2vx 2u vxv 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22222222 xzyz2yzyzy zyzyz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2xyx 2vx 3v 2x 2vx 2vux 3v 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yzy22 z220xvxv u可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是方程变为：z 2 zu0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结vuv40 隐函数求导可编辑

22、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F x.y.z0 确定了zz x.y 求z ,zxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1方程两边同时对x 求导，留意 zz x.yz，可求得x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方程两边同时对 y 求导，留意 zz x.y，可求得z y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2利用公式zx3两边微分FxzFyFyyFz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用2， 3需

23、详细方程给出，简单可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 12、设 zz x.y由方程 e xy2zez0 ，求z x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法一、在方程两边对x 求导，留意 zz x.y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ye xy2zezz0 xxzye xyzxyx2ez可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二、设 Fx.y.z2ze可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ezFxxFzye xy- 2ez可编辑资料 -

24、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法三、在方程两边微分d e xy2zez0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d e xyd 2zd ez0 e xy d xy2dzez dz0可编辑资料 - -

25、- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e xyxdyydx2dzez dz0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 dzye xyzdxz2 - exe xy zdy2 - e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xyzyezxe xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2 - e zy2 - e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 13、设微zz x.y由方程 x

26、 2y2z 2xfy x确定，其中 f 可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就zf2y y2z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 14、已知方程 xln zzy定义了 zz x.y2 z，求2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： xz ln zz ln y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结zFxxFz11lnz1zlny1xxzz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（或方程两边对 x 求导，留意 zz x.y ）可编辑资料 -

27、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结在方程2 zzxz xzz两边对 x 求导， zzzz x.y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xz1x 2xxx22zz2zxxzz 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2xzxzxz 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -在1

28、式两边对x 求导可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法二：zzxz2 zxx 2z2xy2yxzz 1z x2xzz 23xz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2zz2 z1xxx 2zxx 2xz - z 23zx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 15、习题 7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 ufx.y.z ，x 2 .ey .z0 ， ysin x，其中 f ，都具有一阶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结连续偏导数，且0 ，求 dz zdx可编辑资料 - - - 欢

29、迎下载精品名师归纳总结解： dudxffcosxxyfz0zx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在x 2, esin x , z0 ，两边对 x 求导，设 ux 2 vesin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uvz0 uxvxzx2xesinx cosxz0 uvzx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结z2xxuvesinx cosx/z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dufdxxfcosx yf/2x zzuesin x cosxv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 16、P200，例： 5.2050 一阶偏导数在几何上的应用1、 空间曲线的切线与法平面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑