高中数学基本不等式知识点归纳及练习题汇编.docx
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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结精品文档高中数学基本不等式的巧用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1基本不等式:abab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1基本不等式成立的条件:a 0, b 0.2等号成立的条件:当且仅当ab 时取等号2 几个重要的不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1a2 b2 2aba,bR。22 abba2a,b 同号。3ab a b2a, bR。可编辑资料 - - -
2、 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2 b242ab 22a, bR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 算术平均数与几何平均数设 a0,b0,就 a,b 的算术平均数为a b2,几何平均数为ab,基本不等式可表达为两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数4 利用基本不等式求最值问题已知 x0,y0,就1假如积 xy 是定值 p,那么当且仅当 xy 时, x y 有最小值是 2p.简记:积定和最小 p22假如和 xy 是定值 p,那么当且仅当
3、x y 时, xy 有最大值是 4 .简记:和定积最大 一个技巧运用公式解题时,既要把握公式的正用,也要留意公式的逆用,例如a2b22ab 逆用就是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba2 b22。ab2aba, b 0逆用就是 aba b 22a, b 0等仍要留意 “ 添、拆项 ”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结技巧和公式等号成立的条件等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两个变形a2 b212ab 22aba,bR,当且仅当 ab 时取等号 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2b
4、222a b2ab121a0,b0,当且仅当 a b 时取等号 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ba这两个不等式链用处很大,留意把握它们三个留意1使用基本不等式求最值,其失误的真正缘由是其存在前提“一正、二定、三相等” 的忽精品文档可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品文档视要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不行2在运用基
5、本不等式时,要特殊留意“ 拆”“ 拼”“ 凑”等技巧,使其满意基本不等式中“正”“ 定”“ 等”的条件3连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满意任何一次的字母取值存在且一样应用一:求最值例 1:求以下函数的值域211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结( 1) y 3x解题技巧: 技巧一:凑项 2x 2( 2) y x x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1:已知 x5,求函数y44x214x5的最大值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结技巧二:凑系数例 1.当时,求技巧三 : 分别yx82x 的
6、最大值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3.求 yx27x10 x1 的值域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1。技巧四 :换元可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结技巧五:留意:在应用最值定理求最值时,如遇等号取不到的情形,应结合函数f xxa 的单调性。x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例:求函数yx252x4的值域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习求以下函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结( 1) yx
7、23x x1 , x0(2) y2x1, xx333y2sin x1, x sin x0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2已知 0x1,求函数yx1x 的最大值 . 。3 0x2,求函数3yx23x 的最大值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结条件求最值1. 如实数满意ab2 ,就3a3b 的最小值是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式:如log 4 xlog 4 y2 ,求11的最小值 . 并求 x
8、, y 的值xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要留意取等号的条件的一样性,否就就会出错。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2:已知 x0, y0 ,且 191,求 xy 的最小值。xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结精品文档可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - -
9、- -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结精品文档变式:( 1)如x, yR且 2 xy1 ,求 1 x1 的最小值y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 已知a, b, x, yR且 abxyy221 ,求 xy 的最小值2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结技巧七、已知x, y 为正实数,且x 2 1,求 x1 y的最大值 .1技巧八:已知a, b 为正实数, 2b ab a 30,求函数y ab 的最小值 .技巧九、取平方5、已知 x, y 为正实数, 3x 2y 10,求函数 W3x 2y 的最值 .应用二:利用基本不等式证明不等式可编辑资料 -
10、- - 欢迎下载精品名师归纳总结1已知a, b, c 为两两不相等的实数,求证:a 2b 2c 2abbcca可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1)正数 a, b, c 满意 a bc 1,求证: 1 a1 b1 c 8abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6:已知 a、b、cR ,且abc1。求证:1111118可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abc应用三:基本不等式与恒成立问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例:已知 x0, y0 且 191 ,求使不等式xym 恒成立的实数m 的取值范畴。xy可编辑资料 - - - 欢迎下
11、载精品名师归纳总结应用四:均值定理在比较大小中的应用:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例:如 ab1, Plg alg b ,Q1 lg a2lg b, Rlg ab ,就2P, Q, R 的大小关系是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:( 1) y 3x 21 2x 2 23x121 2x 26值域为 6 , +)1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结( 2)当 x 0 时, y xx 2x x 2。111当 x0 时,y x x =(x x) 2x x = 2值域为(,2 2 ,+)精品文档可编辑
12、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品文档可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解: 因 4x50 ,所以第一要 “调整” 符号, 又 4 x214x不是常数, 所以对 4x52 要进行拆、 凑项,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x5 ,54x0 ,y4 x2154x13231可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
13、结44 x554x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当54 x1,即 x54x1时,上式等号成立,故当x1 时,ymax1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评注:此题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。解析:由知,利用基本不等式求最值,必需和为定值或积为定值,此题为两个式子可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结积的形式, 但其和不是定值。留意到 2 x82x8 为定值, 故只需将yx82x 凑上一个系数即可。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当,即 x2 时取等号当 x2 时,yx82 x的最大值为8。可编辑资料 -
14、- - 欢迎下载精品名师归纳总结评注: 此题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求最大值。解析一:此题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有(x 1)的项,再将其分别。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当, 即时, y2 ( x14x159 (当且仅当x 1 时取“”号)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析二:此题看似无法运用基本不等式,可先换元,令t =x 1,化简原式在分别求最值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yt127t1)+10t 2=5t4t45可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
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