黄冈名师2020版高考数学大一轮复习10.10圆锥曲线中的定值定点与存在性问题课件理新人教A版.ppt
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1、第十节圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题(全国卷5年4考),考点一定值、定点问题的证明【典例】(1)(2018邵阳模拟)已知椭圆=1(a0,b0,且ab)过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分,别交于点Q,P,与椭圆分别交于点M,N,各点均不重合且满足=1,求椭圆的标准方程.若1+2=-3,试证明:直线l过定点并求此定点.,【解析】设椭圆的焦距为2c,由已知b=1,(2a)2+(2b)2=2(2c)2,又a2=b2+c2,所以a2=3,所以椭圆的方程为+y2=1.,由已知设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),设l的方
2、程为x=t(y-m),由知(x1,y1-m)=1(x0-x1,-y1),所以y1-m=-y11,又y10,所以1=-1,同理由知,2=-1.,因为1+2=-3,所以y1y2+m(y1+y2)=0,()联立得(t2+3)y2-2mt2y+t2m2-3=0,所以=4m2t4-4(t2+3)(t2m2-3)0,(),y1+y2=y1y2=()()代入()得t2m2-3+2m2t2=0,所以(mt)2=1,由已知mtb0),由已知,c=1,又a2-b2=c2,所以a2=4,b2=3,所以椭圆C的方程为,设E(x1,y1),F(x2,y2),AE的方程为y=k(x-1)+,由消去y得(4k2+3)x2+
3、4k(3-2k)x+4-12=0,所以xA+x1=1+x1=,所以x1=又因为直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,所以将k换为-k得x2=,kEF=所以直线EF的斜率为定值.,【一题多解】(2),令x=,y=,则椭圆C变为圆O:x2+y2=1,A,F2,所以AF2x轴,延长AF2与圆O交于B点,易知B,记直线AE,AF与x轴交点分别为C,D,因为直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,所以直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,ACD=ADC,在ACD中,AF2平分CAD,所以弧长BE=BF,连接OB,由垂径定理得OBEF,所以kEF=因为kEF=kEF=,所以直线EF的斜率为定值.,【变式备选
4、】已知椭圆C:=1(ab0)的离心率e=,短轴长为2.,(1)求椭圆C的标准方程.(2)如图,椭圆左顶点为A,过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P,Q两点,直线PA,QA分别与y轴交于M,N两点.试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)?请证明你的结论.,【解析】(1)由短轴长为2,得b=,b2=2.由e=得a2=4,所以椭圆C的标准方程为=1.,(2)以MN为直径的圆过定点(,0),证明如下:设P(x0,y0),则Q(-x0,-y0),=1,即,因为A(-2,0),所以直线PA的方程为y=(x+2),所以M直线QA的方程为y=(x+2),所以N以MN为直径的圆为(x
5、-0)(x-0)+,即x2+y2-因为-4=-2,所以x2+y2+2y-2=0,令y=0,则x2-2=0,解得x=.所以以MN为直径的圆过定点(,0).,【规律方法】圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点:待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.(2)两大解法:从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;引进变量法:其解题流程为,【对点训练】如图,椭圆E:=1(ab0)经过点A(0,-1),且离心率为.(1)求椭圆E的方程.(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.,【解析】(1)由已知,e=,b=1,又a
6、2=b2+c2,所以a=,c=1,所以椭圆E的方程为+y2=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由已知,直线PQ方程为y=k(x-1)+1(k2),由得(2k2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k)=0,显然2k2+10,0,由根与系数的关系得,x1+x2=x1x2=,所以直线AP与AQ的斜率之和kAP+kAQ=2k+(-k+2)=2k+(-k+2)=2k+(-k+2),考点二定点、定值、定直线问题【明考点知考法】以直线、圆锥曲线为载体,利用直线与圆锥曲线方程联立,或根据圆锥曲线方程以及已知条件计算或推导出所需结论,属中、高档题.命题角度1探索定值问题,【典例】如图,抛物线
7、C1:y2=8x与双曲线C2:=1(a0,b0)有公共焦点F2,点A是曲线C1,C2在第一象限的交点,且|AF2|=5.,(1)求双曲线C2的方程.(2)以F1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切,圆N:(x-2)2+y2=1,已知点P(1,),过点P作互相垂直且分别与圆M,圆N相交的直线l1,l2,设l1被圆M截得的弦长为s,l2被圆N截得的弦长为t,试探索是否为定值?请说明理由.,【解析】(1)因为抛物线C1的焦点为F2(2,0),所以双曲线C2的焦点为F1(-2,0),F2(2,0).设A(x0,y0)(x00,y00)为抛物线C1和双曲线C2在第一象限的交点,|AF2|=5,由抛物线的
8、定义得x0+2=5,所以x0=3,所以A(3,2),|AF1|=又因为点A在双曲线上,由双曲线的定义得2a=|AF1|-|AF2|=7-5=2,所以a=1,b=所以双曲线C2的方程为x2-=1.,(2)为定值.理由如下:设圆M的方程为(x+2)2+y2=r2,双曲线的渐近线方程为y=x.因为圆M与渐近线y=x相切,所以圆的半径为r=所以圆M:(x+2)2+y2=3,已知l1,l2的斜率存在且均不为零,所以设l1的方程为y-=k(x-1),即kx-y+-k=0,l2的方程为y-=(x-1),即x+ky-k-1=0,所以点M到直线l1的距离d1=点N到直线l2的距离d2=所以直线l1被圆M截得的弦
9、长,s=直线l2被圆N截得的弦长t=所以即为定值.,【状元笔记】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值;,(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得;(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.,命题角度2探索定直线问题【典例】如图,已知椭圆C:=1(ab0)的左右焦点为F1,F2,其上顶点为A,已知F1AF2是边长为2的正三角形.(1)求椭圆C的方程.,(2)过点Q(-4,0)任作一动直线l交椭圆
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