2019-2020学年新一线同步数学人教B版必修一练习：3.1.2　函数的单调性 .docx

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1、3.1.2函数的单调性课后篇巩固提升夯实基础1.下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2(0,+),当x1f(x2)”的是()A.f(x)=(x-1)2B.f(x)=1xC.f(x)=2x2D.f(x)=1x-2答案B2.(多选)下列各选项正确的有()A.若x1,x2I,当x1x2时,f(x1)f(x2),则y=f(x)在I上是增函数B.函数y=x2在R上是增函数C.函数y=-1x在定义域上不是增函数D.函数y=x2的单调递减区间为(-,0解析A中,没强调x1,x2是区间I上的任意两个数,故不正确;B中,y=x2在x0时是增函数,在xf(1)的实数x的取值范围是()A.(-,1)B.(1,+

2、)C.12,+D.-,12解析由已知得2x1,解得x0,则下列函数在M内不是增函数的是()A.y=4+3f(x)B.y=f(x)2C.y=3+1f(x)D.y=2-1f(x)解析易知1f(x)在M内为减函数,故y=3+1f(x)在M内也为减函数.答案C5.设函数f(x)满足:对任意的x1,x2R,都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,则f(-3)与f(-)的大小关系是.解析由题意,知f(x)是R上的增函数,又-3-,f(-3)f(-).答案f(-3)f(-)6.已知f(x)是定义在-1,1上的增函数,且f(x-1)f(x2-1),则x的取值范围是.解析由题意得-1x-11,-1x2-11

3、,x-1x2-1,解得0x2,0x22,x1,即10,-(3a-1)2a1,所以0a1.综上所述,0a1.答案0a18.证明函数y=x+9x在区间(0,3上是减函数.证明任取0x10,y=y2-y1=x2+9x2-x1+9x1=(x2-x1)-9(x2-x1)x1x2=(x2-x1)1-9x1x2.0x10,9x2x11,即1-9x2x10.y=y2-y10,函数y=x+9x在(0,3上是减函数.9.(1)写出函数y=x2-2x的单调区间及其图像的对称轴,观察:函数在图像对称轴两侧的单调性有什么特点?(2)写出函数y=|x|的单调区间及其图像的对称轴,观察:函数在图像对称轴两侧的单调性有什么特

4、点?(3)定义在-4,8上的函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图像如图所示,请补全函数y=f(x)的图像,并写出其单调区间,观察:函数在图像对称轴两侧的单调性有什么特点?(4)由以上你发现了什么结论?(不需证明)解(1)函数y=x2-2x的单调减区间是(-,1,单调增区间是1,+);对称轴是直线x=1;在对称轴两侧的单调性相反.(2)函数y=|x|的单调减区间是(-,0,单调增区间是0,+);对称轴是y轴,即直线x=0;在对称轴两侧的单调性相反.(3)函数y=f(x),x-4,8的图像如下图所示.函数y=f(x)的单调增区间是-4,-1,2,5;单调减区间是5,8,-

5、1,2;区间-4,-1和区间5,8关于直线x=2对称,单调性相反;区间-1,2和区间2,5关于直线x=2对称,单调性相反.(4)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图像关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧的对称区间内的单调性相反.能力提升1.已知函数y=f(x)的定义域是数集A,若对于任意a,bA,当ab时,都有f(a)f(b),则方程f(x)=0的实数根()A.有且只有一个B.一个都没有C.至多有一个D.可能有两个或两个以上解析由已知中a,b的任意性可知,函数在其定义域上单调递增,从单调函数的图像的特征可断定方程至多有一个实数根,故选C.答案C2.定义在R上的函数y=f(

6、x)关于y轴对称,且在0,+)内是增函数,则下列关系成立的是()A.f(3)f(-4)f(-)B.f(-)f(-4)f(3)C.f(-4)f(-)f(3)D.f(3)f(-)f(-4)解析依题意得f(-)=f(),f(-4)=f(4),又f(x)在0,+)内是增函数,f(3)f()f(4),即f(3)f(-)1时,则1a-1=1,1b-1=13.a=2,b=4,a+b=6.当b1时,1b-1=13,1a-1=1,解得a=4,b=4,与b1矛盾.故a+b=6.答案64.函数y=121-x2的单调增区间是.解析由1-x20,得-1x1,函数y=121-x2的定义域为-1,1.设u=1-x2,当-1

7、x0时,u是x的增函数,而y是u的增函数,y是x的增函数;当0x1时,u是x的减函数,而y是u的增函数,y是x的减函数.y=121-x2的单调增区间是-1,0,单调减区间是0,1.本题易错之处在于忽略函数定义域而错答成(-,0).答案-1,05.已知f(x)=ax+1x+2在区间(-2,+)内是增函数,则实数a的取值范围是.解析设x1,x2是(-2,+)内的任意两个不相等的实数,且-2x1x2,则f(x2)-f(x1)=ax2+1x2+2-ax1+1x1+2=(x2-x1)(2a-1)(x1+2)(x2+2).-2x10,(x1+2)(x2+2)0.x2-x1(x1+2)(x2+2)0.又f(

8、x)在(-2,+)内为增函数,f(x2)-f(x1)0,2a-10,即a12.即实数a的取值范围是12,+.答案12,+6.作出函数f(x)=x2-6x+9+x2+6x+9的图像,并指出函数f(x)的单调区间.解原函数可化为f(x)=|x-3|+|x+3|=-2x,x-3,6,-33.图像如图所示.由图像知,函数的单调区间为(-,-3,3,+).其中单调减区间为(-,-3,单调增区间为3,+).7.函数f(x)对任意的a,bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x0时,f(x)1.(1)求证:f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.(1)证明设

9、x10,y=f(x2)-f(x1),由已知得f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1,y=f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1.x10.f(x2-x1)1.f(x2-x1)-10.y0.f(x)是R上的增函数.(2)解令a=b=2,则f(4)=f(2)+f(2)-1=5,f(2)=3.原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2).由(1)得3m2-m-22,3m2-m-40.(3m-4)(m+1)0.-1m43.原不等式的解集为-1,43.8.如果函数y=f(x)(xD)满足:(1)f(x)在D上是单调函数;(2)存在闭区间a,bD,使f(x)在区间a,b上的

10、值域也是a,b.那么就称函数y=f(x)为闭函数.试判断函数y=x2+2x在-1,+)内是否为闭函数.如果是闭函数,那么求出符合条件的区间a,b;如果不是闭函数,请说明理由.分析先判断函数y=x2+2x在-1,+)内的单调性,然后用反证法判断函数y=x2+2x在-1,+)内是否为闭函数.解设x1,x2是-1,+)内的任意两个不相等的实数,且-1x1x2,则有f(x2)-f(x1)=(x22+2x2)-(x12+2x1)=(x22-x12)+2(x2-x1)=(x2-x1)(x1+x2+2).-1x10,x1+x2+20.(x2-x1)(x1+x2+2)0.f(x2)f(x1).函数y=x2+2x在-1,+)内是增函数.假设存在符合条件的区间a,b,则有f(a)=a,f(b)=b,即a2+2a=a,b2+2b=b,解得a=0,b=0或a=0,b=-1或a=-1,b=0或a=-1,b=-1.又-1ab,a=-1,b=0.函数y=x2+2x在-1,+)内是闭函数,符合条件的区间是-1,0.