天津专用2020届高考数学一轮复习考点规范练40椭圆.docx

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1、考点规范练40椭圆一、基础巩固1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为()A.x2169+y2144=1B.x2144+y2169=1C.x2169+y225=1D.x2144+y225=12.已知椭圆x29+y24+k=1(k-4)的离心率为45,则k的值为()A.-1925B.21C.-1925或21D.1925或213.若曲线ax2+by2=1是焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足()A.a2b2B.1a1bC.0abD.0ba4.已知圆M:x2+y2+2mx-3=0(mb0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且BFC=

2、90,则该椭圆的离心率是.9.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB=90,求椭圆的离心率;(2)若AF2=2F2B,AF1AB=32,求椭圆的方程.10.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,A(a,0),B(0,b),O(0,0),OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:|AN|BM|为定值.二、能力提升11.已知P是椭圆x225+y29=1上的一点,M,N分别是两圆:(x+4)2+y2=1

3、和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为()A.9,12B.8,11C.8,12D.10,1212.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与双曲线x2m2-y2n2=1(m0,n0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率为()A.32B.22C.12D.1413.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的焦点为F1,F2,若椭圆上存在满足PF1PF2=b22的点P,则椭圆的离心率的范围是.14.已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为32.(1)求椭圆C

4、的方程;(2)点D为x轴上一点,过点D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过点D作AM的垂线交BN于点E.求证:BDE与BDN的面积之比为45.三、高考预测15.(2018全国,理19)设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:OMA=OMB.考点规范练40椭圆1.A解析由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的方程为x2169+y2144=1.2.C解析若a2=9,b2=4+k,则c=5-k.由ca=45,即5-k3=45

5、,解得k=-1925.若a2=4+k,b2=9,则c=k-5.由ca=45,即k-54+k=45,解得k=21.3.C解析由ax2+by2=1,得x21a+y21b=1.因为椭圆的焦点在x轴上,所以1a1b0,所以0ab.4.C解析圆M的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2,则由题意得m2+3=4,即m2=1(mb0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|+|PF2|=2a.F2PF1=90,PF2F1=60,3c+c=2a,即(3+1)c=2a.e=ca=23+1=2(3-1)(3-1)(3+1)=3-1.6.C解析由题意知F1(-1,0),F2(1,0).设P(x0,y0),则

6、PF1=(-1-x0,-y0),PF2=(1-x0,-y0),PF1+PF2=(-2x0,-2y0),|PF1+PF2|=4x02+4y02=22-2y02+y02=2-y02+2.点P在椭圆上,0y021,当y02=1时,|PF1+PF2|取最小值2.故选C.7.513解析由题意知a=3,b=5.由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6.在PF1F2中,因为PF1的中点在y轴上,O为F1F2的中点.由三角形中位线性质可推得PF2x轴,所以|PF2|=b2a=53,所以|PF1|=6-|PF2|=133,所以|PF2|PF1|=513.8.63解析由题意得B-32a,b2,C32a,b2,F(c

7、,0),所以BF=c+32a,-b2,CF=c-32a,-b2.因为BFC=90,所以BFCF=0.所以c2-32a2+b22=0.又a2-b2=c2,所以3c2=2a2,即c2a2=23,所以e=63.9.解(1)因为F1AB=90,所以|OA|=|OF2|,即b=c.所以a=2c,e=ca=22.(2)由题意知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=a2-b2.设B(x,y).由AF2=2F2B,得(c,-b)=2(x-c,y),解得x=3c2,y=-b2,即B3c2,-b2.将点B的坐标代入x2a2+y2b2=1,得94c2a2+b24b2=1,即9c24a2+14=1,

8、解得a2=3c2.又由AF1AB=(-c,-b)3c2,-3b2=32,得b2-c2=1,即有a2-2c2=1.由解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.所以椭圆的方程为x23+y22=1.10.(1)解由题意得ca=32,12ab=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1.所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)证明由(1)知,A(2,0),B(0,1).设P(x0,y0),则x02+4y02=4.当x00时,直线PA的方程为y=y0x0-2(x-2).令x=0,得yM=-2y0x0-2,从而|BM|=|1-yM|=1+2y0x0-2.直线PB的方程为y=y0-1x0x+1.令y=0,得x

9、N=-x0y0-1,从而|AN|=|2-xN|=2+x0y0-1.所以|AN|BM|=2+x0y0-11+2y0x0-2=x02+4y02+4x0y0-4x0-8y0+4x0y0-x0-2y0+2=4x0y0-4x0-8y0+8x0y0-x0-2y0+2=4.当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN|BM|=4.综上,|AN|BM|为定值.11.C解析如图,因为两个圆心恰好是椭圆的焦点,由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10.所以|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-2=8,最大值为|PF1|+|PF2|+2=12.12.C解析因为椭圆x2a2+y2

10、b2=1(ab0)与双曲线x2m2-y2n2=1(m0,n0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),所以c2=a2-b2=m2+n2.因为c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,所以c2=am,2n2=2m2+c2,所以m2=c4a2,n2=c4a2+c22,所以2c4a2+c22=c2,化为c2a2=14,所以e=ca=12.13.33,1解析椭圆的焦点为F1,F2,椭圆上存在满足PF1PF2=b22的点P,|PF1|PF2|cos=b22,4c2=PF12+PF22-2|PF1|PF2|cos,|PF1|+|PF2|=2a,可得PF12+PF22+2|PF1|PF2|=4a2,

11、4c2=4a2-2|PF1|PF2|-b2.2|PF1|PF2|=3a2-3c22|PF1|+|PF2|22,当且仅当|PF1|=|PF2|时,等号成立.可得c2a213,解得e33.又0eb0).由题意得a=2,ca=32,解得a=2,c=3.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m2,且n0.直线AM的斜率kAM=nm+2,故直线DE的斜率kDE=-m+2n.所以直线DE的方程为y=-m+2n(x-m).直线BN的方程为y=n2-m(x-2).联立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),解得

12、点E的纵坐标yE=-n(4-m2)4-m2+n2.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2,所以yE=-45n.又SBDE=12|BD|yE|=25|BD|n|,SBDN=12|BD|n|,所以BDE与BDN的面积之比为45.15.(1)解由已知得F(1,0),l的方程为x=1,点A的坐标为1,22或1,-22.所以AM的方程为y=-22x+2或y=22x-2.(2)证明当l与x轴重合时,OMA=OMB=0,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以OMA=OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x12,x22,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=y1x1-2+y2x2-2.由y1=kx1-k,y2=kx2-k,得kMA+kMB=2kx1x2-3k(x1+x2)+4k(x1-2)(x2-2).将y=k(x-1)代入x22+y2=1,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1.则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=4k3-4k-12k3+8k3+4k2k2+1=0.从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以OMA=OMB.综上,OMA=OMB.