因式分解的多种方法.doc

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1、因式分解的多种方法 编者按：很多同学在做因式分解的题目时，会觉得无从入手。而面临竞赛题目时，更加摸不着头脑。在此介绍几种因式分解的方法。其实，因式分解没有想象中的那么难。 1】提取公因式 这种方法比较常规、简单，必须掌握。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例一：2x2-3x=0解：x(2x-3)=0 x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式这对我们后面的学习有帮助。2】公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等注意：使用公式法前，建议先提取公因式。

2、例二：x2-4分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)3】十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意：它不难。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果例三： 把2x2-7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.

3、 分解二次项系数(只取正因数)： 21221； 分解常数项： 3=13=31=(-3)(-1)=(-1)(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 2 3 13+21 =5 1 3 2 1 11+23 =7 1 -1 2 -3 1(-3)+2(-1) =-5 1 -3 2 -1 1(-1)+2(-3) =-7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数7.解 原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式ax2+bx+c(a0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a

4、2，c1，c2，排列如下： a1 c1 a2 c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 这种方法要多实验，多做，多练。它可以包括前两者方法。4】分组分解法也是比较常规的方法。一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来需要可持续性！例四：x2+4x+4y2-y2可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式解：原式=（x+2）2-y2 =(x+

5、2+y)(x+2-y)总结：分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性。5】换元法整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上 例五：（x+y）2-2(x+y)+1分解因式考虑到x+y是以整体出现，展开是十分繁琐的，用a代替x+y那么原式=a2-2a+1 =(a-1)2回代原式=（x+y-1）26】主元法这种方法要难一些，多练即可即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数 例六：因式分解16y+2x2(y+1)2+(y-1)2x4 分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y为主元会使原式极其烦琐，而以x为主元的话，原式的难度就大大降低了。 原式=(y-1)2x4+2(y+1

6、)2x2+16y-【主元法】 =(x2y2-2x2y+x2+8y)(x2+2)-【十字相乘法】可见，十字相乘十分重要。7】双十字相乘法难度较之前的方法要提升许多。是用来分解形如ax2bxycy2dxeyf 的二次六项式 在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mqnpb，pkqje，mknjd，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式（mxpyj）（nxqyk）要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0， 例七：abb2ab2分解因式解：原式01a2abb2ab2 （0ab1）（ab2） （b1）（ab2）8】待定系数法

7、将式子看成方程，将方程的解代入这时就要用到1】中提到的知识点了当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式例八：x2+x-2该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法我们可以把它当方程做，x2+x-2=0一眼看出，该方程有一根为x=1那么必有一因式为(x-1)结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2（因为乘-1要为-2）一次项系数必为1（因为与1相乘要为1）所以另一因式为（x+2）分解为(x-1)(x+2)9】列竖式让人拍案叫绝的方法。原理和小学的除法差不多。要建立在待定系数法的方程法上不足的项要用0补除的时候，一定要让第一项抵消例九：3x3+5x2-2分解因式提示：x=-

8、1可以使该式=0，有因式（x+1）那么该式分解为（x+1）(3x2+2x-2)因式分解有9种方法，这么多？其实是不止的，还有很多很多。不过了解这些，初中的因式分解是不会有问题了。考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。 (ab+b)2(a+b)2 (a2x2)24ax(xa)2 3a3b2c6a2b2c29ab2c3xy62x3y(3ab)24(3ab)(a3b)4(a3b)2(x2)(x3)(x2)(x4)12x229x15x(y2)xy14x24xyy24x2y32x413x320x211x22x2-7xy-22y2-5x+35y-34m2+8mn+3n24n2+4n15x2+2x-8 x2+3x-10 .x2+x-6 2x2+5x-3 x2+4x-2 x2-2x-3 5ax+5bx+3ay+3byx-x+x-118a2-32b2-18a+24b希望同学们能掌握因式分解，把因式分解看成一种乐趣