全国初中数学联合竞赛试题及参考答案 .docx

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1、精品名师归纳总结2021 年全国中学数学联合竞赛试题第一试 A一、选择题每题7 分，共 42 分第一试 B222a2b2b2c2c2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1设实数 a，b， c 中意：abc3 ， abc4 ，就2c2a2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、选择题每题7 分，共 42 分A. 12B. 9C. 6D. 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 设实数 a， b， c 中意：abc3 ， a2b2c2224 ，就 ab2cb2c22ac2a22b2. 假设抛物线yx2bxc 与 x 轴只有一个公共点，且过点Am， n，

2、Bm 8，n，就 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 0B. 3C. 6D. 922. 假设抛物线 yxbxc 与 x 轴只有一个公共点，且过点Am，n， Bm8， n，就 nA. 8B. 12C. 16D. 243. 矩形 ABCD 中， AD 5，AB10， E、F 分别为矩形外的两点， BE DF 4， AF CE 3，就EFDCA 4 15B 15EFA. 8B. 12C. 16D. 243. 矩形 ABCD 中， AD 5， AB 10， E、F 分别为矩形外的两点，BE DF 4， AF CE 3，就EFA 4 15B 15C221D 1022224. 已知实数

3、 x，y 中意关系式 xxyy3 ，就 xy 的最大值为A 3B 6C 9D 121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C 221D 102AB5. 已知 O 为坐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数 yx0 的图象上，位于其次象限x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 已知 O 为.标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数 y1 x x0 的图象上，位于其次象限的点 B 在反比例函数 y4 x0 的图象上，且 OAOB ，就 tan ABO 的值为x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的瀹 B 在反比例函数 y4 x x0 的图象上 . 且 OA

4、OB，就 tan ABO 的值为1A B22C 1D 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12A B C1D 26设 n 是小于 100 的正整数且使 2n23n2 是 6 的倍数，就符合条件的全部正整数n 的和是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结225. 已知实数 xy 中意关系式 xyxy1 ，就 x2y 2 的最小值为A 784B 850C 1536D 1634二、填空题每题7 分，共 28 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 322B 642C1D 642232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 设 n 是小于 100

5、的正整数且使5n23n5 是 15 的倍数，就符合条件的全部正整数n 的和是7. 设 a， b 是一元二次方程xx10 的两根，就 3a4b2a的值为.D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 285B 350C540D 635二、填空题每题7 分，共 28 分8. 三边长均为整数且周长为24 的三角形的个数为.C9. C、 D 两点在以 AB 为直径的半圆周上， AD 平分 BAC， AB 20，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 设 a， b 是一元二次方程 x2x10 的两根，就3a34b22 的值为.aAD 4 15 ，就 AC 的长为.AOB可编辑资料

6、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结E8. 从三边长均为整数且周长为24 的三角形中任取一个，它是直角三角形的概率为.A9. 已知锐角 ABC 的外心为 O， AO 交 BC 于 D， E、F 分别为 ABD 、CO ACD 的外心，假设 AB AC，EF BC，就 C B.F BD10. 在圆周上按序摆放和为15 的五个互不相等的正整数a， b， c， d， e，使得 ab bc cd deea最小，就这个最小值为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10. 将数字 1， 2，3， ，34， 35，36 填在 66 的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的次

7、序，就第三列所填6 个数字的和的最小值为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次试 A其次试 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 20 分关于 x 的方程x2m2x21x 有且仅有一个实数根，求实数m 的取值范畴 .1. 20 分假设正数 a， b 中意 ab 1，求M11的最小值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1a12b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 25 分如图，圆内接四边形ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 E，且 AC BD ，AB AC. 过点D 作 DF BD ，交 BA 的延长线于点 F， BFD 的平

8、分线分别交 AD 、BD 于点 M、N.2. 25 分如图， 圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 E，且 AC BD，AB AC BD. 过点 D 作 DF BD ，交 BA 的延长线于点 F， BFD 的平分线分别交 AD 、BD 于点 M、N.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1证明： BAD 3 DAC 。BFDFCD1证明： BAD 3 DAC 。FF2假如 MN MD ，证明： BF CD DF .A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2假如BDAC，证明： MN MD .AMDENPMBNED可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

9、纳总结BCC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 25 分设正整数 m，n 中意：关于 x 的方程 xm xn22xmn 至少有一个正整数解，证325 分假设关于 x 的方程 x2的值 .34x34k10 至少有一个正整数根，求中意条件的正整数k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明： 2mn 5mn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2021 年全国中学数学联合竞赛试题参考答案符合条件的全部正整数n 的和是5203550658095102540557085635 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b1，14b2b13a23a6b27

10、. 解： 11.提示： a，b 是一元二次方程 x2x10 的两根，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第一试 A ab1， ab1， a2a1， b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 解： D.提示：abc3 ， a2b2c24 ， 3a34b2 a23a34b2b23a a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2b22cb2c22ac2a22b4c22c4a22a4b22b2c2a2b3a113a6b26 ab511.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6abc9 .8. 解：.提示：设三角形的三边长为a， b， c abc ， 12

11、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 解： C.提示：依题意，有nm2bmcm82b m8c ，于是可得 b82m .就 3aabc24 ， 2aabc24 ， 8a12 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结抛物线yx2bxc 与 x 轴只有一个公共点，故 a 的可能取值为 8，9， 10 或 11，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2122中意题意的数组 a， b， c可以为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 b4c因此 nm20 ， cb 4bmcm24m .82m m4m216 . 8， 8， 8，9， 9， 6，9， 8， 7

12、，10， 10， 4，10， 9， 5，10， 8，6， 10， 7， 7，11， 11， 2，11， 10， 3，11， 9， 4，11， 8， 5，11，7， 6.共 12 组，其中，只有一组是直角三角形的三边长，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 解： C.提示：易知 AFD BEC 90， BEC DFA， DAF BCE. 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结延长 FA， EB 交于点 G.DC所求概率为 12 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 GAB 90 DAF ADF ，E GBA 90 CBE BCE DAF ，F BGA A

13、FD ，且 AGB90， AG 8， BG 6，AB9. 解： 60.提示：作 EM BC 于点 M， FN BC 于点 N， FPEM 于点 P. E、F 分别为 ABD 、 ACD 的外心，E M、N 分别为 BD 、CD 的中点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 GF 11， GE 10，EFGE 2GF 2221 .G11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 解： A.提示：过点 A、 B 分别作 AC x 轴， BD x 轴，垂足为 C、D.又 EFBC， PF MN BC2EF ， PEF 30.A2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

14、OASOCAC| xy|11OBS OBDOD BD| xByB |4 |2由 OA OB 得 AOB 90，于是可得 AOC OBD ，又 EFAD ， EM BC， ADC PEF 30.1PFOBM DNC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABOAOCAA.又 ADC B BAD B180 2C 90 B C，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 解： B.提示：设 xyt ，就由题设条件可知xyxy1t1 ， C B 90 ADC 60.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x， y 是关于 m 的一元二次方程 m2tmt10 的两个实数根

15、，10. 解： 63.提示：设第三列所填6 个数字按从小到大的次序排列后依次为A， B，C， D， E， F. A 所在行前面需要填两个比A 小的数字， A 不小于 3。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是有：t 24t1) 0 ，解得 t222 或 t222 . B 所在行前面需要填两个比B 小的数字，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 x2y 2 xy 22xyt 22t1t123 ，且 A 及 A 所在行前面两个数字都比B 小， B 不小于 6.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 t22 2 即 xy1 2 时， x2y2 取得最小值，同理

16、可知： C 不小于 9，D 不小于 12， E 不小于 15， F 不小于 18.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最小值为222123642 .因此，第三列所填6 个数字之和 A B C D EF 3 6 9 1215 18 63.如图即为使得第三列所填6 个数字之和取得最小值的一种填法后三列的数字填法不唯独.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1231920214562527297892223241011122628301314153134351617183233366. 解： D.提示： 5n23n5 是 15 的倍数，2 5 | 5n3n5 ， 5| 3n ，

17、 5 |n .设 n5m m 是正整数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 5n23n5125m215m5120m215m5m21 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 5n23n5 是 15 的倍数，m21 是 3 的倍数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 m3k1或 m3k2 ，其中 k 是非负整数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 n53k115k5 或 n53k215k10 ，其中k 是非负整数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第一试 B8. 解： 12.提示：设三角形的三边长为a， b， c abc ，

18、就 3aabc24 ， 2aabc24 ， 8a12 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 解： B.提示：abc3 ， a2b2c24 ，故 a 的可能取值为 8，9， 10 或 11，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2b22cb2c22ac2a22b4c22c4a22a4b22b2c2a2b中意题意的数组 a， b， c可以为： 8， 8， 8，9， 9， 6，9， 8， 7，10， 10， 4，10， 9， 5，10， 8，6，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6abc9 .2. 解： C.提示：依题意，有nm2bmcm82b m8c ，

19、于是可得 b82m . 10， 7， 7，11， 11， 2，11， 10， 3，11， 9， 4，11， 8， 5，11，7， 6.共 12 组，三边长均为整数且周长为24 的三角形的个数为12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结抛物线yx2bxc 与 x 轴只有一个公共点，9. 解： 4.提示：连接 OD 、OC，作 DE AB 于 E， OF AC 于 F. AD 平分 BAC， DOB 2 BAD OAC.D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 b24c0 ， c1 b244m 2 .又 OAOD ， AOF ODE ， OE AF， AC 2OF 2OE.C

20、设 AC2x，就 OEAF x.F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此 nm2bmcm282m m4m216 .在 Rt ODE 中，由勾股定理得DEOD 2OE2100x2 .AOEB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 解： C.提示：易知 AFD BEC 90， BEC DFA， DAF BCE.在 Rt ADE 中， AD 2 DE 2 AE2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结延长 FA， EB 交于点 G.DC222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 GAB 90 DAF ADF ， GBA 90 CBE BCE DAF

21、，即 415100EF AC 2x 4.x 10x ，解得 x 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BGA AFD ，且 AGB90， AG 8， BG 6，AB10. 解： 37.提示：和为 15 的五个互不相等的正整数只能是1， 2， 3， 4， 5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 GF 11， GE 10，EFGE 2GF 2221 .G留意到五个数在圆周上是按序摆放的，且考虑的是和式abbccddeea ，不妨设 a 5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 解： D.提示：设 xyt ，就 xyt ，ae5e5e5252可编辑资料

22、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结代入题设等式得 yt 2 yt yy 23 ，整理得3 y23tyt 230 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由判别式3t 212t 233 得 23t23 ，故 xy2t 212 .bdbd1d1e1d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 解： A.提示：过点 A、 B 分别作 AC x 轴， BD x 轴，垂足为 C、D.由 OA OB 得 AOB 90，于是可得 AOC OBD ，c1bbe图 1图 2图 3图 4图 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ABOOAS AOCOCAC| xAyA |11.

23、假如 1 和 5 的位置不相邻，不妨设c1如图 2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OBS OBDOD BD| xByB |4 |2此时的和式为P15bbded5e。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 解： D.提示：2n 2 3n2 是 6 的倍数，交换 1 和 b 的位置后，得到如图3 的摆法，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2 | 2n 2 3n2 ， 2| 3n ， 2 | n .此时的和式为P25bbded5e.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 n2m m 是正整数，就2n23n28m26m26m26m2m21 .

24、 P1P25bd5bd5db10 ， P1P2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2n 23n2 是 6 的倍数，m 2 1是 3 的倍数，因此，交换 1 和 b 的位置使得 1 和 5 相邻如图 3以后，和式的值会变小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 m3k1或 m3k2 ，其中 k 是非负整数 .如图 3，假如 d 2，此时的和式为P35b2b2e5e 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 n23k1) 6k2 或 n23k2) 6k4 ，其中 k 是非负整数 .交换 e 和 2 的位置以后，得到如图4 的摆法，此时的和式为P45bbe2e

25、10 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结符合条件的全部正整数n 的和是 P3P42b5ebe105be20， P3P4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2814869298410168288941634.因此，交换 e 和 2 的位置使得 2 和 5 相邻以后和式的值会变小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 解： 11.提示： a， b 是一元二次方程 x2x10 的两根，假如 b 2，此时的和式为P5522ded5e。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ab1， ab1， a2a1 ， b2b1，交换 e 和 2 的位置以后

26、，得到如图5 的摆法，此时的和式为P65eed2d10 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 3a34b23a34b2b23a a14b2b13a23a6b2 P5P625ee104e20 ， P5P6 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2 3a13a6b26ab511.因此，交换 e 和 2 的位置使得 2 和 5 相邻以后和式的值会变小.综上可知： 1 和 2 摆在 5 的两边如图 5时，和式的值会变小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 d3， e 4 时，和式的值为P754126103 。方程的判别式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

27、师归纳总结当 d4， e 3 时，和式的值为 P8531281038 . mn124mnmn mn 24mn2 mn1 mn 22mn1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此，所求最小值为37.不妨设 mn，由题设可知，整系数方程至少有一个正整数解，应为完全平方数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意到 mn22 mn1 mn124n mn12 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 mn 22mn1mn324 m8n8 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次试 A假设 4m8n80 ，即 m2n2 ，就mn32 ，可编辑资料 -

28、- - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 解：将所给方程记为方程，明显有x2m 且 x1 .从而有mn12 mn3) 2 ，故只可能mn2 2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设 m0 ，就x2m2x21x ，此时方程无解，不符合题意，故m0 .即 mn 22mn1 mn2 2 ，整理得 m3n3 ，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方程变形得2x21xx2m ，这与 m，n 均为正整数冲突 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两边平方后整理得2x2m42 xx 2m ，因此 m2n2 ，从而可得 m2n ， m2 .可编辑资料 - - - 欢迎下

29、载精品名师归纳总结再平方，整理得82m x2m42 .4m又 m1m1，有 1 mn20 ，整理即得2 m2n2 5mn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明显，应当有 0m2 ，并且此时方程只可能有解x.82mn2n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4mm4 2m424m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将 x代入方程，得m211 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结82m82m82m82m其次试 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结化简整理得 ？ ，于是有 0m4 ，34m1. 解： ab1， b1 ，a可编辑资料

30、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此时方程有唯独解x.11111a12a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结82m4 M1a12b1a12a1 a21a1a2 a1a2.3a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述，所求实数m 的取值范畴为 0m.3a23a222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 设 N，就 Na3 a 2322322 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：1在 BE 上取一点 P，使得 BAP DAC ，F就 BAP CAD ， APAD .A又 AE PD ， ADE APE， PAE DAE ，Maa

31、a当 a2 时取得等号 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 PAE BAP DAC ， BAD 3DAC .QD 011322 ， M111322222 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2设 DAC ，就 BAC 2， BAD 3， NDM 90.NEP在 FB 上截取 FQ FD ，连接 QD ，就 BQBFFQ BF FD .N322N211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BFDFCDBQCDBC因此，当 a2 ， b时， M21a12b取得最小值 2 22 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又，BDAC.BDAC2. 证明

32、：1在 BE 上取一点 P，使得 BAP DAC ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 QBD DCA ， QBD DCA ， QDB DAC .又 DBC DAC ， QDB DBC ， QD BC， FQD ABC.又 AB AC， BAC 2， ABC90 ， FQD 90 .又 FQ FD ， BFD 2. FN 平分 BFD ， AFM ， NMD AMF BAD AFM 3 2， MND 180 NMD NDM 90 MDN ， MN MD .就BAP CAD ， AP AD.又 AE PD ， ADE APE， PAE DAE ， PAE BAP DAC ， BAD 3 DAC . 2设 DAC ，就 BAC 2， BAD 3. ACBD， NDM 90 . MN MD ， MND MDN 90 ， NMD 180 MND NDM 2， AMF 2，FAMQBP NED C可编辑资料 - - -