2022年考研数学高数公式函数与极限 .pdf

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1、考研数学高数公式：函数与极限第一章：函数与极限第一节：函数函数属于初等数学的预备知识，在高数的学习中起到铺垫作用，直接考察的内容比较少，但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。基础阶段：1. 理解函数的概念，能在实际问题的背景下建立函数关系; 2. 掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3. 了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4. 理解复合函数和反函数的概念，并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段：1. 了解函数的不同表现形式：显式表示，隐式表示，参数式，分段表示; 2. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。冲刺阶段：1. 综合应用函数解决相

2、关的问题; 2. 掌握特殊形式的函数( 含极限的函数， 导函数， 变上限积分 ) ，并会讨论它们的相关性质。第二节：极限极限可以说是高等数学的基础，极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果基础阶段1. 了解极限的概念及其主要的性质。2. 会计算一些简单的极限。3. 了解无穷大量与无穷小量的关系，了解无穷小量的比较方法，记住常见的等价无穷小量。强化阶段：1. 理解极限的概念，理解函数左右极限的概念及其与极限的关系( 数一数二 )/ 了解数列极限和函数极限

3、的概念( 数三 ); 2. 掌握计算极限的常用方法及理论( 极限的性质，极限的四则运算法则，极限存在的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页两个准则，两个重要极限，等价无穷小替换，洛必达法则，泰勒公式); 3. 会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数); 4. 理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系，会进行无穷小量的比较，记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二 )/ 理解无穷小量的概念，会进行无穷小量的比较， 记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用，了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系

4、( 数三 ) 。冲刺阶段：深入理解极限理论在微积分中的中心地位，理解高等数学中其它运算( 求导，求积分 )与极限之间的关系，建立完整的理论体系。函数与极限的基本公式与定理1、函数的有界性在定义域内有f(x) K1 则函数 f(x) 在定义域上有下界，K1为下界 ;如果有 f(x) K2，则有上界， K2 称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。2、数列的极限定理( 极限的唯一性)数列 xn 不能同时收敛于两个不同的极限。定理 (收敛数列的有界性) 如果数列 xn 收敛，那么数列xn 一定有界。如果数列 xn 无界， 那么数列 xn 一定发散 ; 但如果数

5、列 xn 有界，却不能断定数列xn一定收敛，例如数列1，-1 ，1，-1 ，(- 1)n+1该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。定理 (收敛数列与其子数列的关系) 如果数列 xn 收敛于 a，那么它的任一子数列也收敛于 a. 如果数列 xn 有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列 xn 是发散的， 如数列 1， -1 ，1，-1 ，(- 1)n+1中子数列x2k-1收敛于 1， xnk 收敛于 -1 ，xn 却是发散的 ; 同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。3、函数的极限函数极限的定义中00(或 A0(或 f(x)0)，反之也成立。函数 f(x) 当

6、xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。一般的说，如果lim(x )f(x)=c，则直线y=c 是函数 y=f(x)的图形水平渐近线。如果 lim(x x0)f(x)=，则直线x=x0 是函数 y=f(x)图形的铅直渐近线。4、 极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页常数与无穷小的乘积是无穷小; 有限个无穷小的乘积也是无穷小; 定理如果F1(x) F2(x)

7、 ，而 limF1(x)=a， limF2(x)=b，那么 ab.5、极限存在准则两个重要极限lim(x 0)(sinx/x)=1;lim(x)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列 xn 、 yn 、 zn 满足下列条件： ynxnzn 且 limyn=a ， limzn=a ， 那么 limxn=a ，对于函数该准则也成立。单调有界数列必有极限。6、函数的连续性设函数y=f(x)在点 x0 的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当 xx0时的极限存在，且等于它在点x0 处的函数值f(x0)，即 lim(x x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数 f(x) 在点 x0 处连续。不连续情形：

8、1、在点 x=x0 没有定义 ;2 、 虽在 x=x0 有定义但lim(x x0)f(x)不存在 ;3 、虽在 x=x0 有定义且lim(x x0)f(x)存在， 但 lim(x x0)f(x)f(x0) 时则称函数在x0 处不连续或间断。如果 x0 是函数 f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0 为函数 f(x)的第一类间断点 (左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点) 。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点( 无穷间断点和震荡间断点) 。定理有限个在某点连续的函数的和、积、商( 分母不为0) 是个在该点连续的函数。定理如果函数f(x) 在区间 Ix 上单调增

9、加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间 Iy=y|y=f(x)，xIx 上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。定理 (最大值最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。定理 (有界性定理 ) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m f(x) M.定理( 零点定理 ) 设函数 f(x) 在闭区间 a ，b 上连续， 且 f(a) 与 f(b)异号 ( 即 f(a) f(b)0) ， 那么在开区间 (a ，b) 内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点(a 推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页小提示： 目前本科生就业市场竞争激烈，就业主体是研究生，在如今考研竞争日渐激烈的情况下，我们想要不在考研大军中变成分母，我们需要：早开始 +好计划 +正确的复习思路+好的辅导班（如果经济条件允许的情况下）。2017 考研开始准备复习啦，早起的鸟儿有虫吃，一分耕耘一分收获。加油！精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页