2022年考研数学一历年真题 2.pdf

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1、全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1)当x=_时,函数2xyx取得极小值 . (2)由曲线lnyx与两直线e1yx及0y所围成的平面图形的面积是_. 1x(3)与两直线1yt及121111xyz都平行且过原点的平面方程为_. 2zt(4)设L为取正向的圆周229,xy则曲线积分2(22 )(4 )Lxyy dxxx dy= _. (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),则向量(2,0,0)在此基底下的坐标是 _. 二、 (本题满分8 分) 求正的常数a与

2、, b使等式22001lim1sinxxtdtbxxat成立 . 三、 (本题满分7 分) (1)设f、g为连续可微函数,( ,),(),uf x xyvg xxy求,.uvxx(2)设矩阵A和B满足关系式2 ,AB = AB其中301110 ,014A求矩阵.B四、 (本题满分8 分) 求微分方程26(9)1yyay的通解 ,其中常数0.a五、选择题 (本题共 4 小题 ,每小题3 分,满分 12 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设2( )( )lim1,()xafxf axa则在xa处(A)( )f x的导数存在 ,且( )0fa

3、(B)( )f x取得极大值(C)( )f x取得极小值(D)( )f x的导数不存在(2)设( )f x为已知连续函数0,(),stItf tx dx其中0,0,ts则I的值(A) 依赖于s和t(B)依赖于s、t和x(C)依赖于t、x,不依赖于s(D)依赖于s,不依赖于t(3)设常数0,k则级数21( 1)nnknn(A) 发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)散敛性与k的取值有关(4)设A为n阶方阵，且A的行列式|0,aA而*A 是A的伴随矩阵，则*|A等于(A)a(B)1a(C)1na(D)na六、 （本题满分10 分）求幂级数1112nnnxn的收敛域，并求其和函数. 七、 （本题满分

4、10 分）求曲面积分2(81)2(1)4,Ixydydzydzdxyzdxdy其中是由曲线113( )0zyyf xx绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于.2八、 （本题满分10 分）设函数( )f x在闭区间0,1上可微 ,对于0,1上的每一个, x函数( )f x的值都在开区间(0,1)内 ,且( )fx1,证明在(0,1)内有且仅有一个, x使得( ).f xx九、 （本题满分8 分）问,a b为何值时 ,现线性方程组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 49 页123423423412340221(

5、3)2321xxxxxxxxaxxbxxxax有唯一解 ,无解 ,有无穷多解 ?并求出有无穷多解时的通解. 十、填空题 (本题共 3 小题 ,每小题 2 分,满分 6分 .把答案填在题中横线上) (1)设在一次实验中,事件A发生的概率为,p现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为_;而事件A至多发生一次的概率为_. (2)有两个箱子 ,第 1 个箱子有3 个白球 ,2 个红球 , 第 2 个箱子有4 个白球 ,4 个红球 .现从第 1 个箱子中随机地取 1 个球放到第2 个箱子里 ,再从第 2 个箱子中取出1 个球 ,此球是白球的概率为_.已知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球,则从第一

6、个箱子中取出的球是白球的概率为_. (3)已知连续随机变量X的概率密度函数为2211( )e,xxf x则X的数学期望为_,X的方差为 _. 十一、（本题满分6分）设随机变量,X Y相互独立 ,其概率密度函数分别为( )Xfx1001x其它,( )Yfye0y00yy, 求2ZXY的概率密度函数. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 49 页1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、 (本题共 3 小题 ,每小题 5 分,满分 15 分) (1)求幂级数1(3)3nnnxn的收敛域 . (2)设2( )e , (

7、 )1xf xfxx且( )0 x,求( )x及其定义域 . (3)设为曲面2221xyz的外侧 ,计算曲面积分333.Ix dydzy dzdxz dxdy二、填空题 (本题共 4 小题 ,每小题 3 分,满分 12 分.把答案填在题中横线上) (1)若21( )lim (1),txxf ttx则( )ft= _. (2)设( )f x连续且310( ),xf t dtx则(7)f=_. (3)设周期为2 的周期函数 ,它在区间( 1,1上定义为( )f x22x1001xx,则的傅里叶()Fourier级数在1x处收敛于 _. (4)设 4 阶矩阵234234, ,A B 其中234, ,

8、 均为 4 维列向量 ,且已知行列式4,1,AB则行列式AB= _. 三、选择题 (本题共 5 小题 ,每小题3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设( )f x可导且01(),2fx则0 x时,( )f x在0 x处的微分dy是(A) 与x等价的无穷小(B)与x同阶的无穷小(C)比x低阶的无穷小(D)比x高阶的无穷小(2)设( )yfx是方程240yyy的一个解且00()0,()0,f xfx则函数( )f x在点0 x处(A) 取得极大值(B)取得极小值(C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少(3)设空间区域22

9、22222212:,0,:,0,0,0,xyzRzxyzRxyz则(A)124xdvdv(B)124ydvydv(C)124zdvzdv(D)124xyzdvxyzdv(4)设幂级数1(1)nnnax在1x处收敛 ,则此级数在2x处(A) 条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)n维向量组12,(3)ssn 线性无关的充要条件是(A) 存在一组不全为零的数12,sk kk使11220sskkk(B)12,s 中任意两个向量均线性无关(C)12,s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)12,s 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、 (本题满分6 分) 设()(),x

10、yuyfxgyx其中函数f、g具有二阶连续导数,求222.uuxyxx y五、 (本题满分8 分) 设函数( )yy x满足微分方程322e ,xyyy其图形在点(0,1)处的切线与曲线21yxx在该点处的切线重合,求函数( ).yy x六、 （本题满分9 分）设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为2(0kkr为常数,r为A质点与M之间的距离),质点M沿直线22yxx自(2,0)B运动到(0,0),O求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功. 七、 （本题满分6 分）已知,APBP其中100100000 ,210 ,001211BP求5,.A A八、 （本题满分8 分）精选学习资料

11、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 49 页已知矩阵20000101xA与20000001yB相似 . (1)求x与. y(2)求一个满足1PAPB 的可逆阵.P九、 （本题满分9 分）设函数( )f x在区间 , a b上连续 ,且在( , )a b内有( )0,fx证明 :在( , )a b内存在唯一的,使曲线( )yf x与两直线( ),yfxa所围平面图形面积1S是曲线( )yfx与两直线( ),yfxb所围平面图形面积2S的 3 倍. 十、填空题 (本题共 3 小题 ,每小题 2 分,满分 6分 .把答案填在题中横线上) (1

12、)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于19,27则事件A在一次试验中出现的概率是_. (2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件 ” 两数之和小于65” 的概率为 _. (3)设随机变量X服从均值为10,均方差为 0.02 的正态分布 ,已知221( )e, (2.5)0.9938,2uxxdu则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为 _. 十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率密度函数为21( ),(1)Xfxx求随机变量31YX的概率密度函数( ).Yfy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

13、第 4 页，共 49 页1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1)已知(3)2,f则0(3)(3)lim2hfhfh= _. (2)设( )f x是连续函数 ,且10( )2( ),f xxf t dt则( )f x=_. (3)设平面曲线L为下半圆周21,yx则曲线积分22()Lxyds=_. (4)向量场div u在点(1,1,0)P处的散度div u=_. (5)设矩阵300100140 ,010 ,003001AI则矩阵1(2 )AI=_. 二、选择题 (本题共 5 小题 ,每小题3

14、 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当0 x时,曲线1sinyxx(A) 有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面224zxy上点P处的切平面平行于平面2210,xyz则点的坐标是(A)(1, 1,2)(B)( 1,1,2)(C)(1,1,2)(D)( 1, 1,2)(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)11223c yc yy(B)1122123()c yc yccy(C)11221

15、23(1)c yc yccy(D)1122123(1)c yc yccy(4)设函数2( ),01,f xxx而1( )sin,nnS xbnxx其中102( )sin,1,2,3,nbf xn xdx n则1()2S等于(A)12(B)14(C)14(D)12(5)设A是n阶矩阵 ,且A的行列式0,A则A中(A) 必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、 (本题共 3 小题 ,每小题 5 分,满分 15 分) (1)设(2)( ,),zfxyg x xy其中函数( )f t二阶可导,( , )g u v

16、具有连续二阶偏导数,求2.zx y(2)设曲线积分2( )cxy dxyx dy与路径无关 ,其中( )x具有连续的导数,且(0)0,计算(1,1)2(0,0)( )xy dxyx dy的值 . (3)计算三重积分(),xz dv其中是由曲面22zxy与221zxy所围成的区域 . 四、 (本题满分6 分) 将函数1( )arctan1xf xx展为x的幂级数 . 五、 (本题满分7 分) 设0( )sin()( ),xf xxxt f t dt其中f为连续函数 ,求( ).fx六、 （本题满分7 分）证明方程0ln1cos2exxxdx在区间(0,)内有且仅有两个不同实根. 七、 （本题满分

17、6 分）问为何值时 ,线性方程组13xx123422xxx1236423xxx有解 ,并求出解的一般形式. 八、 （本题满分8 分）假设为n阶可逆矩阵A的一个特征值 ,证明(1)1为1A的特征值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 49 页(2)A为A的伴随矩阵*A 的特征值 . 九、 （本题满分9 分）设半径为R的球面的球心在定球面2222(0)xyzaa上,问当R为何值时 ,球面在定球面内部的那部分的面积最大? 十、填空题 (本题共 3 小题 ,每小题 2 分,满分 6分 .把答案填在题中横线上) (1)已知随机事件

18、A的概率( )0.5,P A随机事件B的概率()0.6P B及条件概率(|)0.8,P BA则和事件 AB 的概率()P AB=_. (2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6 和 0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为 _. (3)若随机变量在(1,6)上服从均匀分布,则方程210 xx有实根的概率是_. 十一、（本题满分6分）设随机变量X与Y独立 ,且X服从均值为1、标准差 (均方差 )为2的正态分布 ,而Y服从标准正态分布.试求随机变量23ZXY的概率密度函数. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6

19、页，共 49 页1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) 2xt(1)过点(1,21)M且与直线34yt垂直的平面方程是_. 1zt(2)设a为非零常数 ,则lim()xxxaxa=_. (3)设函数( )f x1011xx,则( )f f x=_. (4)积分2220eyxdxdy的值等于 _. (5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),则该向量组的秩是_. 二、选择题 (本题共 5 小题 ,每小题3 分,满分 15 分.每小题给出的

20、四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设( )f x是连续函数 ,且e( )( ),xxF xf t dt则( )Fx等于(A)e(e)( )xxff x(B)e(e)( )xxff x(C)e(e)( )xxff x(D)e(e)( )xxff x(2)已知函数( )f x具有任意阶导数,且2( )( ) ,fxfx则当n为大于2 的正整数时,( )fx的n阶导数( )( )nfx是(A)1!( )nnf x(B)1( )nn f x(C)2( )nf x(D)2!( )nnf x(3)设a为常数 ,则级数21sin()1nnann(A) 绝对收敛(B)

21、条件收敛(C)发散(D)收敛性与a的取值有关(4)已知( )f x在0 x的某个邻域内连续,且0( )(0)0,lim2,1cosxf xfx则在点0 x处( )f x(A) 不可导(B)可导 ,且(0)0f(C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知1、2是非齐次线性方程组AXb的两个不同的解1,、2是对应其次线性方程组AX0的基础解析1,k、2k为任意常数 ,则方程组AXb的通解 (一般解 )必是(A)1211212()2kk(B)1211212()2kk(C)1211212()2kk(D)1211212()2kk三、 (本题共 3 小题 ,每小题 5 分,满分 15 分) (1)求120l

22、n(1).(2)xdxx(2)设(2,sin),zfxy yx其中( , )f u v具有连续的二阶偏导数,求2.zx y(3)求微分方程244exyyy的通解 (一般解 ). 四、 (本题满分6 分) 求幂级数0(21)nnnx的收敛域 ,并求其和函数 . 五、 (本题满分8 分) 求曲面积分2SIyzdzdxdxdy其中S是球面2224xyz外侧在0z的部分 . 六、 （本题满分7 分）设不恒为常数的函数( )f x在闭区间 , a b上连续 ,在开区间( , )a b内可导 ,且( )( ).f af b证明在( , )a b内至少存在一点,使得( )0.f七、 （本题满分6 分）设四阶

23、矩阵精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 49 页1100213401100213,0011002100010002BC且矩阵A满足关系式1()A ECB CE其中E为四阶单位矩阵1,C表示C的逆矩阵,C表示C的转置矩阵 .将上述关系式化简并求矩阵.A八、 （本题满分8 分）求一个正交变换化二次型22212312132344448fxxxx xx xx x成标准型 . 九、 （本题满分8 分）质点P沿着以 AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A运动到点(3,4)B的过程中受变力F作用 (见图 ).F的大小等于点P与原点O之间的

24、距离 ,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于.2求变力F对质点P所作的功 . 十、填空题 (本题共 3 小题 ,每小题 2 分,满分 6分 .把答案填在题中横线上) (1)已知随机变量X的概率密度函数1( )e,2xf xx则X的概率分布函数( )F x=_. (2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、 0.3 和 0.6,若 B 表示B的对立事件 ,那么积事件AB 的概率()P AB=_. (3)已知离散型随机变量X服从参数为2 的泊松()Poisson分布 ,即22 e,0,1,2,!kP Xkkk则随机变量32ZX的数学期望()E Z=_. 十一、（本题满分6分）设二维随

25、机变量(,)X Y在区域:01,Dxyx内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量21ZX的方差().D Z精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 49 页1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)设21cosxtyt,则22d ydx=_. (2) 由 方 程2222xyzxyz所 确 定 的 函 数( , )zz x y在 点(1,0,1)处 的 全 微 分dz=_. (3)已知两条直线的方程是1212321:;:

26、.101211xyzxyzll则过1l且平行于2l的平面方程是_. (4)已知当0 x时123,(1)1ax与cos1x是等价无穷小 ,则常数a=_. (5)设 4 阶方阵52002100,00120011A则A的逆阵1A=_. 二、选择题 (本题共 5 小题 ,每小题3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)曲线221e1exxy(A) 没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数( )f x满足关系式20( )( )ln 2,2tf xfdt则( )f x等于(A)

27、e ln 2x(B)2eln 2x(C)eln 2x(D)2eln 2x(3)已知级数12111( 1)2,5,nnnnnaa则级数1nna等于(A)3 (B)7 (C)8 (D)9 (4)设D是平面xoy上以(1,1)、( 1,1)和( 1, 1)为顶点的三角形区域1,D是D在第一象限的部分,则(cos sin)Dxyxy dxdy等于(A)12cos sinDxydxdy(B)12Dxydxdy(C)14(cos sin)Dxyxy dxdy(D)0(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式,ABCE其中E是n阶单位阵 ,则必有(A)ACBE(B)CBAE(C)BACE(D)BCAE三、 (本题

28、共 3 小题 ,每小题 5 分,满分 15 分) (1)求20lim (cos) .xx(2)设n是曲面222236xyz在点(1,1,1)P处的指向外侧的法向量,求函数2268xyuz在点P处沿方向n的方向导数 . (3)22(),xyz dv其中是由曲线220yzx绕 z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z所围城的立体 . 四、 (本题满分6 分) 过点(0,0)O和( ,0)A的曲线族sin (0)yax a中,求一条曲线,L使沿该曲线O从到A的积分3(1)(2)Lydxxy dy的值最小 . 五、 (本题满分8 分) 将函数( )2( 11)f xxx展开成以2 为周期的傅里叶级数,并由此

29、求级数211nn的和 . 六、 （本题满分7 分）设函数( )f x在0,1上连续,(0,1)内可导 ,且1233( )(0),fx dxf证明在(0,1)内存在一点,c使( )0.fc七、 （本题满分8 分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1, 1,2,1),(1,2,4,8)aa及(1,1,3,5).b(1)a、b为何值时,不能表示成1234, 的线性组合 ? (2)a、b为何值时,有1234, 的唯一的线性表示式?写出该表示式 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 49 页八、 （本题满分6 分

30、）设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵 ,证明AE的行列式大于1. 九、 （本题满分8 分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点( ,)P x y处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数 (Q是法线与x轴的交点 ),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行 . 十、填空题 (本题共 2 小题 ,每小题 3 分,满分 6分 .把答案填在题中横线上) (1) 若 随 机 变 量X服 从 均 值 为2 、 方 差 为2的 正 态 分 布 , 且240.3,PX则0P X=_. (2)随机地向半圆202(yaxxa为正常数 )内掷一点 ,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比 ,则原点和该点

31、的连线与x轴的夹角小于4的概率为 _. 十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y的密度函数为( , )f x y(2 )2e0,00 xyxy其它求随机变量2ZXY的分布函数 . 1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)设函数( )yy x由方程ecos()0 xyxy确定 ,则dydx=_. (2)函数222ln()uxyz在点(1,2, 2)M处的梯度gradMu=_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共

32、49 页(3)设( )f x211x00 xx,则其以2为周期的傅里叶级数在点x处收敛于 _. (4)微分方程tancosyyxx的通解为y=_. (5)设1 11212 12 1212,nnnnnna ba ba ba ba ba ba ba ba bA其中0 ,0 , (1 , 2 ,iiabin则矩阵A的秩()r A=_. 二、选择题 (本题共 5 小题 ,每小题3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当1x时,函数1211e1xxx的极限(A) 等于 2 (B)等于 0 (C)为(D)不存在但不为(2)级数1( 1

33、) (1cos)(nnan常数0)a(A) 发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a有关(3)在曲线23,xt ytzt的所有切线中 ,与平面24xyz平行的切线(A) 只有 1 条(B)只有 2 条(C)至少有 3 条(D)不存在(4)设32( )3,f xxxx则使( )(0)nf存在的最高阶数n为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(5)要使12100 ,121都是线性方程组AX0的解 ,只要系数矩阵A为(A)212(B)201011(C)102011(D)011422011三、 (本题共 3 小题 ,每小题 5 分,满分 15 分) (1)求20esin1lim.11xxxx

34、(2)设22(e sin,),xzfy xy其中f具有二阶连续偏导数,求2.zx y(3)设( )f x21exx00 xx,求31(2).f xdx四、 (本题满分6 分) 求微分方程323exyyy的通解 . 五、 (本题满分8 分) 计 算 曲 面 积 分323232()()(),xazdydzyaxdzdxzaydxdy其 中为 上 半 球 面222zaxy的上侧 . 六、 （本题满分7 分）设( )0,(0)0,fxf证明对任何120,0,xx有1212()()().f xxf xf x七、 （本题满分8 分）在变力Fyzizxjxyk的作用下 ,质点由原点沿直线运动到椭球面2222

35、221xyzabc上第一卦限的点( , ,),M问当、取何值时 ,力F所做的功W最大 ?并求出W的最大值 . 八、 （本题满分7 分）设向量组123, 线性相关 ,向量组234, 线性无关 ,问: (1)1能否由23, 线性表出 ?证明你的结论. (2)4能否由123, 线性表出 ?证明你的结论. 九、 （本题满分7 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 49 页设 3 阶矩阵A的特征值为1231,2,3,对应的特征向量依次为1231111 ,2 ,3 ,149又向量12 .3(1)将用123, 线性表出 . (2)求(

36、nnA 为自然数 ). 十、填空题 (本题共 2 小题 ,每小题 3 分,满分 6分 .把答案填在题中横线上) (1)已知11()()(),()0,()(),46P AP BP CP ABP ACP BC则事件A、B、C全不发生的概率为 _. (2)设随机变量X服从参数为1 的指数分布 ,则数学期望2eXE X=_. 十一、（本题满分6分）设随机变量X与Y独立,X服从正态分布2( ,),NY服从,上的均匀分布,试求 ZXY 的概率分布密度 (计算结果用标准正态分布函数表示 ,其中221( )e)2txxdt. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

37、- -第 12 页，共 49 页1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)函数11( )(2)(0)xF xdt xt的单调减少区间为_. (2)由曲线2232120 xyz绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量为_. (3)设函数2( )()f xxxx的傅里叶级数展开式为01(cossin),2nnnaanxbnx则其中系数3b的值为 _. (4)设数量场222ln,uxyz则div(grad)u=_. (5) 设n阶 矩 阵A的 各 行 元 素 之 和 均

38、为 零 ,且A的 秩 为1,n则 线 性 方 程 组AX0的 通 解 为_. 二、选择题 (本题共 5 小题 ,每小题3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设sin2340( )sin(),( ),xf xtdt g xxx则当0 x时,( )f x是( )g x的(A) 等价无穷小(B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线22222()xyxy所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos2 d(B)404cos2 d(C)402cos2 d(D)2401(cos2 )2d(3)设有直线

39、1158:121xyzl与2:l623xyyz则1l与2l的夹角为(A)6(B)4(C)3(D)2(4) 设 曲 线 积 分( )e sin( ) cosxLftydxfxydy与 路 径 无 关 ,其 中( )f x具 有 一 阶 连 续 导 数 ,且(0)0,f则( )f x等于(A)ee2xx(B)ee2xx(C)ee12xx(D)ee12xx(5)已知12324,369tQP为三阶非零矩阵,且满足0,PQ则(A)6t时P的秩必为1 (B)6t时P的秩必为2 (C)6t时P的秩必为1 (D)6t时P的秩必为2 三、 (本题共 3 小题 ,每小题 5 分,满分 15 分) (1)求21li

40、m(sincos) .xxxx(2)求e.e1xxxdx(3)求微分方程22,x yxyy满足初始条件11xy的特解 . 四、 (本题满分6 分) 计算22,xzdydzyzdzdxz dxdy其中是由曲面22zxy与222zxy所围立体的表面外侧 . 五、 (本题满分7 分) 求级数20( 1) (1)2nnnnn的和 . 六、 (本题共 2 小题 ,每小题 5 分,满分 10 分) (1)设在0,)上函数( )f x有连续导数 ,且( )0,(0)0,fxkf证明( )f x在(0,)内有且仅有一个零点 . (2)设,bae证明.baab精选学习资料 - - - - - - - - - 名

41、师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 49 页七、 （本题满分8 分）已 知 二 次 型22212312323(,)2332(0)f xxxxxxax xa通 过 正 交 变 换 化 成 标 准 形22212325,fyyy求参数a及所用的正交变换矩阵. 八、 （本题满分6 分）设A是nm矩阵,B是mn矩阵 ,其中,nm I是n阶单位矩阵 ,若,ABI证明B的列向量组线性无关. 九、 （本题满分6 分）设物体A从点(0,1)出发 ,以速度大小为常数v沿y轴正向运动 .物体B从点( 1,0)与A同时出发 ,其速度大小为2 , v方向始终指向,A试建立物体B的运动轨迹所满足的微分

42、方程,并写出初始条件. 十、填空题 (本题共 2 小题 ,每小题 3 分,满分 6分 .把答案填在题中横线上) (1)一批产品共有10 个正品和 2 个次品 ,任意抽取两次,每次抽一个 ,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为 _. (2) 设 随 机 变 量X服 从(0, 2)上 的 均 匀 分 布 ,则 随 机 变 量2YX在(0,4)内 的 概 率 分 布 密 度( )Yfy=_. 十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率分布密度为1( )e,.2xfxx(1)求X的数学期望EX和方差.DX(2)求X与X的协方差 ,并问X与X是否不相关 ? (3)问X与X是否相互独立 ?为什么 ?

43、 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 49 页1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)011lim cot()sinxxx= _. (2)曲面e23xzxy在点(1,2,0)处的切平面方程为_. (3)设esin,xxuy则2ux y在点1(2,)处的值为 _. (4)设区域D为222,xyR则2222()Dxydxdyab=_. (5)已知1 11,2,3,1,2 3设,A其中是的转置 ,则nA=_. 二、选择题 (本

44、题共 5 小题 ,每小题3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设4342342222222sincos,(sincos),(sincos),1xMxdx Nxx dx Pxxx dxx则有(A)NPM(B)MPN(C)NMP(D)PMN(2)二元函数( ,)f x y在点00(,)xy处两个偏导数00(,)xfxy、00(,)yfxy存在是( ,)fx y在该点连续的(A) 充分条件而非必要条件(B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,且级数21nna收敛 ,则级数21(

45、1)nnnan(A) 发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与有关(4)20tan(1cos )lim2,ln(12 )(1)xxaxbxcxde其中220,ac则必有(A)4bd(B)4bd(C)4ac(D)4ac(5)已知向量组1234, 线性无关 ,则向量组(A)12233441, 线性无关(B)12233441, 线性无关(C)12233441, 线性无关(D)12233441, 线性无关三、 (本题共 3 小题 ,每小题 5 分,满分 15 分) (1)设2221co s()1co s()c os2txtyttuduu,求dydx、22d ydx在2t的值 . (2)将函数11

46、1( )lnarctan412xf xxxx展开成x的幂级数 . (3)求.sin(2 )2sindxxx四、 (本题满分6 分) 计算曲面积分2222,Sxdydzz dxdyxyz其中S是由曲面222xyR及,(0)zR zR R两平面所围成立体表面的外侧. 五、 (本题满分9 分) 设( )f x具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,ff且2()( ) ( )0 xy xyfx y dxfxx y dy为一全微分方程 ,求( )f x及此全微分方程的通解. 六、 (本题满分8 分) 设( )f x在点0 x的某一邻域内具有二阶连续导数,且0( )lim0,xf xx证明级数11()nfn

47、绝对收敛 . 七、 （本题满分6 分）已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段 AB 绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为.S求由S及两平面0,1zz所围成的立体体积. 八、 （本题满分8 分）设四元线性齐次方程组( )为122400 xxxx, 又已知某线性齐次方程组()的通解为12(0,1,1,0)( 1,2,2,1).kk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 49 页(1)求线性方程组()的基础解析 . (2)问线性方程组()和()是否有非零公共解?若有 ,则求出所有的非零公共解.若没有 ,则说明理由

48、 . 九、 （本题满分6 分）设A为n阶非零方阵*,A是A的伴随矩阵,A是A的转置矩阵 ,当*AA 时,证明0.A十、填空题 (本题共 2 小题 ,每小题 3 分,满分 6分 .把答案填在题中横线上) (1)已知A、B两个事件满足条件()(),P ABP AB且(),P Ap则( )P B=_. (2)设相互独立的两个随机变量,X Y具有同一分布率,且X的分布率为X0 1 P1212则随机变量max, ZX Y的分布率为 _. 十一、（本题满分6分）设 随 机 变 量X和Y分 别 服 从 正 态 分 布2(1,3 )N和2(0,4 ),N且X与Y的 相 关 系 数1,2xy设,32XYZ(1)

49、求Z的数学期望EZ和DZ方差 . (2)求X与Z的相关系数.xz(3)问X与Y是否相互独立 ?为什么 ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 49 页1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)2sin0lim(13 )xxx=_. (2)202cosxdxt dtdx= _. (3)设()2,ab c则()() ()abbcca=_. (4)幂级数2112( 3)nnnnnx的收敛半径R=_. (5)设三阶方阵,A B满足

50、关系式16,ABAABA且1003100 ,41007A则B=_. 二、选择题 (本题共 5 小题 ,每小题3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设有直线:L321021030 xyzxyz,及平面: 4220,xyz则直线L(A) 平行于(B)在上(C)垂直于(D)与斜交(2)设在0,1上( )0,fx则(0),(1),(1)(0)ffff或(0)(1)ff的大小顺序是(A)(1)(0)(1)(0)ffff(B)(1)(1)(0)(0)ffff(C)(1)(0)(1)(0)ffff(D)(1)(0)(1)(0)ffff