2022年考研数学一试题及答案解析 .pdf

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1、1 / 10 2007 年数学一一、选择题： (本题共 10 小题，每小题4 分，共 40 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 当0 x时，与x等价的无穷小量是(A) 1xe. (B) 1ln1xx. (C) 11x. (D) 1cosx.B 【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案. 【详解】 当0 x时，有1(1)xxeex；1112xx；2111cos().22xxx利用排除法知应选(B). (2) 曲线1ln(1)xyex，渐近线的条数为(A) 0. (B) 1.

2、 (C) 2. (D) 3.D 【分析】先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。【详解】因为01limln(1)xxex，所以0 x为垂直渐近线；又1limln(1)0 xxex，所以 y=0 为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)limlim limxxxxxyeexxxx=lim11xxxee，1lim1limln(1)xxxyxexx=limln(1)xxex=limln(1)lim ln(1)0 xxxxxeexe，于是有斜渐近线：y = x. 故应选 (D). (3) 如图，连续函数y=f(x)在区间 - 3，-2，2，3上的图形分别是直径为1 的上

3、、下半圆周，在区间- 2，0，0， 2的图形分别是直径为2 的上、下半圆周，设0( )( ).xF xf t dt则下列结论正确的是(A) 3(3)( 2)4FF. (B) 5(3)(2)4FF. (C) )2(43)3(FF. (D) )2(45) 3(FF.C 【分析】本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。【详解】根据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1 的半圆面积：1(2)2F，F(3)是两个半圆面积之差：22113(3)1( ) 228F=3(2)4F，0330)()()3(dxxfdxxfF)3()(30Fdxxf因此应选 (

4、C). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页2 / 10 (4) 设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是(A) 若0( )limxf xx存在，则f(0)=0. (B) 若0( )()limxf xfxx存在，则f(0)=0. (C) 若0( )limxf xx存在，则(0)f存在 . (D) 若0( )()limxf xfxx存在，则(0)f存在D 【分析】本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须

5、为0，均可推导出f(0)=0. 若0( )limxf xx存在，则00( )(0)( )(0)0,(0)limlim00 xxf xff xffxx，可见 (C)也正确，故应选(D). 事实上，可举反例：( )f xx在 x=0 处连续，且0( )()limxf xfxx=0lim0 xxxx存在，但( )f xx在 x=0 处不可导。(5) 设函数 f (x)在(0,)上具有二阶导数，且( )0.fx令) ,2, 1)(nnfun, 则下列结论正确的是(A) 若12uu，则nu必收敛 . (B) 若12uu，则nu必发散 . (C) 若12uu，则nu必收敛 . (D) 若12uu，则nu必

6、发散 . D 【分析】可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。【详解】设 f(x)=2x, 则 f (x)在(0,)上具有二阶导数，且12( )0,fxuu，但2nun发散，排除(C)。 设 f(x)=1x, 则 f(x)在(0,)上具有二阶导数，且12( )0,fxuu，但1nun收敛，排除 (B)。 又若设( )lnf xx，则 f(x)在(0,)上具有二阶导数，且12( )0,fxuu，但lnnun发散，排除 (A). 故应选 (D). (6) 设曲线:( , )1( , )Lf x yf x y具有一阶连续偏导数)，过第II 象限内的点M 和第 IV 象限内的点N，T为 L上从点 M

7、到点 N 的一段弧，则下列小于零的是(A) ( , )Tf x y dx. (B) ( ,)Tf x y dy. (C) ( , )Tf x y ds. (D) ( , )( , )xyTfx y dxfx y dy. B 【分析】直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。【详解】设 M 、 N 点的坐标分别为11221212(,),(,),M x yN xyxxyy. 先将曲线方程代入积分表达式，再计算有：21( , )0TTf x y dxdxxx。21( , )0TTf x y dydyyy。( , )0TTf x y dsdss。( , )( , )( , )0 xyTTfx y d

8、xfx y dydf x y. 故正确选项为(B). (7) 设向量组321,线性无关，则下列向量组线性相关的是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页3 / 10 (A) 133221,. (B) 133221,. (C) 1332212,2,2. (D) 1332212,2,2.A 【详解】 用定义进行判定:令0)()()(133322211xxx，得0)()()(332221131xxxxxx. 因321,线性无关，所以1312230,0,0.xxxxxx又0110011101，故上述齐次线性方程组有非零解, 即1

9、33221,线性相关 .类似可得 (B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的 . (8) 设矩阵211121112A, 000010001B,则 A 与 B(A)合同 , 且相似 . (B) 合同 , 但不相似. (C)不合同 , 但相似 . (D) 既不合同 , 又不相似 .B 【详解】由0|AE得 A 的特征值为0, 3, 3, 而 B 的特征值为0, 1, 1,从而 A与 B 不相似 . 又 r(A)=r(B)=2, 且 A、B 有相同的正惯性指数, 因此 A 与 B合同 . 故选 (B) . (9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0p1),则此人第4

10、次射击恰好第2 次命中目标的概率为(A) 2)1(3pp(B) 2)1 (6pp. (C) 22)1 (3pp(D) 22)1(6ppC 【详解】“ 第 4 次射击恰好第2 次命中 ” 表示 4 次射击中第4 次命中目标 , 前 3 次射击中有1 次命中目标 , 由独立重复性知所求概率为：2213)1(ppC. 故选 (C) . (10) 设随机变量 (,)服从二维正态分布，且与不相关，)()(yfxfYX分别表示，的概率密度，则在y 的条件下，的条件概率密度)|(|yxfYX为(A) )(xfX(B) )(yfY(C ) )()(yfxfYX. (D) )()(yfxfYXA 【详解】 因(

11、,)服从二维正态分布，且与不相关，故与相互独立，于是)|(|yxfYX=)(xfX. 因此选 (A) . 二、填空题 ：(1116 小题，每小题4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上) (11) 12311xe dxx=121.2e精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页4 / 10 【分析】 先作变量代换，再分部积分。【详解】111213213211211()txttxe dxt edtte dtxt=111121112221.2ttttdetee dte(12) 设 f(u,v)为二元可微函数，(,)yxzf

12、xy，则zx=112ln.yxfyxfyy【详解】利用复合函数求偏导公式，有zx=112ln.yxfyxfyy(13) 二 阶常 系 数 非齐次线 性 微 分方 程2432xyyye的 通 解为32122.xxxyC eC ee其 中21,CC为任意常数 .【详解】 特征方程为2430， 解得121,3.可见对应齐次线性微分方程430yyy的通解为312.xxyC eC e设非齐次线性微分方程2432xyyye的特解为*2xyke，代入非齐次方程可得k= - 2. 故通解为32122.xxxyC eC ee(14) 设曲面:1xyz，则dSyx|)|(= 43.3【详解】由于曲面关于平面x=0

13、 对称，因此dSx=0. 又曲面:1xyz具有轮换对称性，于是dSyx|)|(=dSy |=dSx |=dSz |=dSzyx|)|(|31=dS3123831=43.3(15) 设矩阵0000100001000010A, 则3A的秩为 1. 【详解】 依矩阵乘法直接计算得00000000000010003A,故 r(3A)=1. (16) 在区间 (0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于21的概率为43【详解】 这是一个几何概型, 设 x, y 为所取的两个数, 则样本空间 1,0|),(yxyx, 记21| ,),( | ),(yxyxyxA. 精选学习资料 - - - -

14、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页5 / 10 故SSAPA)(43143，其中SSA,分别表示A与的面积 . 三、解答题 ：(1724 小题，共86 分. ) (17) (本题满分11 分)求函数2222( ,)2f x yxyx y在区域22( , )4,0Dx y xyy上的最大值和最小值。【分析】由于 D 为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。【详解】因为2( , )22xfx yxxy，2( , )42yfx yyx y，解方程：22220,420 xyfxxyfyx y得开区域内的可能极值点为(2,1)

15、. 其对应函数值为(2,1)2.f又当 y=0 时，2( ,)f x yx在22x上的最大值为4，最小值为0. 当224,0, 22xyyx，构造拉格朗日函数222222( , , )2(4)F x yxyx yxy解 方 程 组22222220,4220,40,xyFxxyxFyx yyFxy得 可 能 极 值 点 ：53(0,2),(,)22， 其 对 应 函 数 值 为537(0, 2)8,(,).224ff比较函数值72,0,4,8,4，知 f(x, y)在区域 D 上的最大值为8，最小值为0. (18) (本题满分10 分)计算曲面积分23,Ixzdydzzydzdxxydxdy其中

16、为曲面221(01)4yzxz的上侧。【分析】 本题曲面不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。【详解】补充曲面：221:1,04yxz，取下侧 . 则123Ixzdydzzydzdxxydxdy123xzdydzzydzdxxydxdy=(2 )3Dzz dxdydzxydxdy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页6 / 10 其中为与1所围成的空间区域，D 为平面区域2214yx. 由于区域D 关于 x 轴对称，因此30Dxydxdy. 又(2 )

17、3zz dxdydzzdxdy=1100332 (1).zDzdzdxdyzz dz其中zD22:14yxz. (19) (本题满分11 分) 设函数 f(x), g(x)在a, b上连续，在 (a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 证明：存在( , )a b，使得( )( ).fg【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。事实上，若令( )( )( )F xf xg x，则问题转化为证明( )0F, 只需对( )Fx用罗尔定理，关键是找到( )Fx的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)， 而利用 F(a)=

18、F(b)=0, 若能再找一点( , )ca b， 使得( )0F c， 则在区间 , , a cc b上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对( )Fx用罗尔定理即可。【证明】构造辅助函数( )( )( )F xf xg x，由题设有F(a)=F(b)=0. 又 f(x), g(x)在(a, b)内具有相等的最大值 , 不妨设存在21xx, ),(,21baxx使得12 , , ()max( ),()max ( )a ba bf xMf xg xMg x，若21xx，令1xc, 则( )0.F c若21xx，因111222()()()0,()()()0F xf xg xF xf xg x

19、，从而存在12,( , )cx xa b，使( )0.F c在区间 , , , a cc b上分别利用罗尔定理知，存在12( , ),( , )a cc b，使得12()()0FF. 再对( )Fx在区间12,上应用罗尔定理，知存在12(,)( , )a b，有( )0F， 即( )( ).fg(20) (本题满分10 分) 设幂级数0nnna x在(,)内收敛，其和函数y(x)满足精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页7 / 10 240,(0)0,(0)1.yxyyyy(I) 证明：22,1,2,;1nnaannL

20、(II) 求 y(x)的表达式 . 【分析】先将和函数求一阶、二阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系。【详解】(I)记 y(x)=0nnna x, 则1212,(1),nnnnnnyna xyn na x代入微分方程240,yxyy有2210(1)240,nnnnnnnnnn na xna xa x即2000(2)(1)240,nnnnnnnnnnnaxna xa x故有2(2)(1)240,nnnnnanaa即22,1,2,;1nnaa nnL(II) 由 初 始 条 件(0)0,(0)1yy知 ，010,1.aa于 是 根 据 递 推 关 系 式22,1nnaan有22110,.!

21、nnaan故y(x)=0nnna x=21212001!nnnnnaxxn=2201().!nxnxxxen(21) (本题满分 11 分 ) 设线性方程组04,02,03221321321xaxxaxxxxxx与方程12321axxx有公共解，求a 的值及所有公共解【分析】两个方程有公共解就是 与 联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解】 将 与 联立得非齐次线性方程组: .12, 04, 02, 03213221321321axxxxaxxaxxxxxx若此非齐次线性方程组有解, 则 与 有公共解 , 且 的解即为所求全部公共解. 对 的增广矩阵A作初等行变换得 : 精选学习资料 - -

22、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页8 / 10 112104102101112aaaA11000) 1)(2(0001100111aaaaa. 于是 1当 a=1时，有)()(ArAr=23，方程组 有解 , 即 与 有公共解 , 其全部公共解即为 的通解，此时0000000000100101A，此时方程组 为齐次线性方程组，其基础解系为: 101, 所以 与 的全部公共解为101k，k 为任意常数 . 2当 a =2 时，有)()(ArAr=3，方程组 有唯一解 , 此时0000110010100001A，故方程组 的解为 : 01

23、1,即 与 有唯一公共解 : 为123011xxxx. (22) (本题满分11 分) 设3 阶对称矩阵的特征值,2,2, 1321T)1 ,1, 1(1是的属于1的一个特征向量,记EAAB354其中E为 3 阶单位矩阵 . (I) 验证1是矩阵的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量(II) 求矩阵【分析】 根据特征值的性质可立即得B 的特征值 , 然后由 B也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量 . 【详解】 (I) 由11A得1112AA, 进一步113A, 115A，故1351)4(EAAB113154AA111412，从而1是矩阵的属于特征值 - 2 的特征向量 . 因EA

24、AB354, 及的 3 个特征值,2,2, 1321得B 的 3 个特征值为1, 1, 2321. 设32,为 B 的属于132的两个线性无关的特征向量, 又精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页9 / 10 为对称矩阵，得B 也是对称矩阵 , 因此1与32,正交 , 即0,03121TT所以32,可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：0)1 , 1, 1 (321xxx,其基础解系为: 011, 101, 故可取2=011, 3=101.即 B 的全部特征值的特征向量为: 1111k, 10101132kk, 其

25、中01k,是不为零的任意常数, 32,kk是不同时为零的任意常数. (II)令),(321P=101011111, 则1121BPP，得1112PPB=10101111111221112111131=10201211221112111131011101110. (23) (本题满分11 分) 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为2,01,01,( , )0,xyxyf x y其它.(I) 求YXP2；(II) 求 Z+的概率密度)(zfZ.【详解】 (I) YXP2yxdxdyyxf2),(12210)2(ydxyxdy247. (II) 先求 Z的分布函数 : zyxZdxdyyxfZYX

26、PzF),()()(当 Z0 时, 0)(zFZ。当10z时, 1),()(DZdxdyyxfzFyzzdxyxdy00)2(3231zz；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页10 / 10 当21z时, 2),(1)(DZdxdyyxfzF111)2(1yzzdxyxdy3)2(311z；当2z时, 1)(zFZ. 故 Z+的概率密度为)(zfZ=)(zFZ.,0,21,)2(, 10,222其他zzzzz(24) (数 1, 3)(本题满分 11 分) 设总体 X的概率密度为.,0, 1,)1( 21,0,21)

27、,(其他xxxf其中参数(01)未知 , nXXX21,是来自总体X的简单随机样本, X是样本均值(I) 求参数的矩估计量?；(II) 判断24X是否为2的无偏估计量 ,并说明理由 . 【详解】 (I) dxxxfXE),()(dxxdxx10)1 (22.412)1(414令X412, 其中niiXnX11，解方程得的矩估计量为 : ?=212X. (II) )()(4)(4)4(222XEXDXEXE)()( 42XEnXD, 而dxxfxXE),()(22dxxdxx1202)1(22.616132)()()(22XEXEXD22)4121(616134851211212，故)4(2XE)()( 42XEnXDnnnnnn12531331322, 所以24X不是2的无偏估计量 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页