高中数学高考复习导数及其应用.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学高考综合复习专题三十八导数及其应用一、学问网络二、高考考点1、导数定义的认知与应用。2、求导公式与运算法就的运用。3、导数的几何意义。4、导数在争论函数单调性上的应用。5、导数在寻求函数的极值或最值的应用。6、导数在解决实际问题中的应用。三、学问要点（一）导数1、导数的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料wor

2、d 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 1）导数的定义（）设函数在点及其邻近有定义，当自变量x 在 处 有 增 量 x （ x可 正 可 负 ）， 就 函 数y相 应 的 有 增 量，这两个增量的比，叫做函数在点到这间的平均变化率。假如时， 有极限，就说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处 的 导 数 （ 或 变 化 率 ）， 记 作， 即。（）假如函数在开区间（）内每一点都可导， 就说 在开区间（）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内 的 导 函 数 （ 简

3、 称 导 数 ）， 记 作或，即。认知：（）函数的导数是以 x 为自变量的函数， 而函数在点处的导数是一个数值。在点处的导数是的导函数当时的函数值。（）求函数在点处的导数的三部曲：求函数的增量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -求平均变化率。求极限上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。（ 2）导数的几何意义：函 数在 点处 的 导 数， 是

4、 曲 线在 点处的切线的斜率。（ 3）函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区分：（）如函数在点处可导，就在点处连续。如函数在开区间（）内可导，就在开区间（） 内连续（可导肯定连续） 。事 实 上 ， 如 函 数在 点处 可 导 ， 就 有此时，记,就有即在点处连续。（）如函数在点处连续，但在点处不肯定可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - -

5、- - -导（连续不肯定可导） 。反例：在点处连续，但在点处无导数。事实上，在点处的增量当时，。当时，由此可知，不存在，故在点处不行导。2、求导公式与求导运算法就（ 1）基本函数的导数（求导公式）公式 1常数的导数：（ c 为常数），即常数的导数等于0。公式 2幂函数的导数：。公式 3正弦函数的导数：。公式 4公式 5余弦函数的导数：对数函数的导数：（）。（）公式 6指数函数的导数：（）。（）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载

6、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 2）可导函数四就运算的求导法就设为可导函数，就有法就 1。法就 2。法就 3。3、复合函数的导数（ 1）复合函数的求导法就设，复合成以x 为自变量的函数，就复合函数对自变量 x 的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量u 对自变量 x 的导数， 即。引申：设，复合成函数， 就有（ 2）认知（） 认知复合函数的复合关系循着 “由表及里 ”的次序， 即从外向内分析：第一由最外层的主体函数结构设出，由第一层中间变量 的函数结构设出 ，由其次层中间变量的函数结构设出，由此一层一层分析，始终到最里层的

7、中间 变量为自变量 x 的简洁函数为止。于是所给函数便 “分解”为如干相互联系的简洁函数的链条：。（）运用上述法就求复合函数导数的解题思路可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -分解： 分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量， 将所给函数“分解”为相互联系的如干简洁函数。求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法就和基本公式求

8、。仍原：将上述求导后所得结果中的中间变量仍原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。二、导数的应用1、函数的单调性（ 1）导数的符号与函数的单调性：一般的，设函数 在某个区间内可导， 就如为增函数。如为减函数。如在某个区间内恒有 ，就在这一区间上为常函数。（ 2）利用导数求函数单调性的步骤（）确定函数的定义域。（）求导数。（）令，解出相应的x 的范畴当时，在相应区间上为增函数。当时在相应区间上为减函数。（ 3）强调与认知（） 利用导数争论函数的单调区间，第一要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。如由不等式确定的 x 的取值集合为A，由确定的 x 的取值范畴为B，就可编辑资

9、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -应用。（）在某一区间内（或）是函数在这一区间上为增（或减）函数的充分 （不必要） 条件。因此方程的根不肯定是增、 减区间的分界点， 并且在对函数划分单调区间时，除去确定的根之外，仍要留意在定义域内的不连续点和不行导 点，它们也可能是增、减区间的分界点。举例：（ 1）是 R 上的可导函数，也是R 上的单调函数，但是当

10、 x=0 时，。（2） 在点 x=0 处连续，点 x=0 处不行导，但在（-，0）内递减，在（ 0，+）内递增。2、函数的极值（ 1）函数的极值的定义设函数在点邻近有定义，假如对邻近的全部点，都有， 就 说是 函 数的 一 个 极 大 值 ， 记 作。假如对邻近的全部点，都有，就说是函数的一个微小值，记作。极大值与微小值统称极值认知：由函数的极值定义可知：（）函数的极值点是区间内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 43 页 - - - - - - - - -

11、-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（） 极值是一个局部性概念。 一个函数在其定义域内可以有多个极大值和微小值， 并且在某一点的微小值有可能大于另一点处的极大值。（）当函数在区间上连续且有有限个极值点时，函数在内的极大值点，微小值点交替显现。（ 2）函数的极值的判定设函数可导，且在点处连续，判定是极大（小）值的方法是（）假如在点邻近的左侧，右侧，就为极大值。（）假如在点邻近的左侧，右侧，就为微小值。留意：导数为 0 的不肯定是极值点，我们不难从函数的导数争论中悟出这一点。（ 3）探求函数极值的步骤：（）求导

12、数。（）求方程的实根及不存在的点。考察在上述方程的根以及不存在的点左右两侧的符号：如左正右负， 就在这一点取得极大值，如左负右正，就 在这一点取得微小值。3、函数的最大值与最小值（ 1）定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -如函数在闭区间上连续， 就在上必有最大值和最小值。在开区间认知：内连续的函数不肯定有最大值与最小值。（）函数的最值（最

13、大值与最小值）是函数的整体性概念：最大值是函数在整个定义区间上全部函数值中的最大值。最小值是函数在整个定义区间上全部函数值中的最小值。（）函数的极大值与微小值是比较极值点邻近的函数值得出的（具有相对性），极值只能在区间内点取得。函数的最大值与最小值 是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有肯定性），最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值。（） 如在开区间内可导，且有唯独的极大 （小）值，就这一极大（小）值即为最大（小）值。（ 2）探求步骤：设函数在上连续，在内可导，就探求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：（ I）求在内的极值。（ II）求在定义区间端点处的函数值，。（

14、 III）将的各极值与，比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值。引申：如函数 在 上连续， 就 的极值或最值也可能在不行导的点处取得。 对此， 假如仅仅是求函数的最值， 就可将上述步骤简化：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ I）求出的导数为 0 的点及导数不存在的点（这两种点称为可疑点）。（ II）运算并比较在上述可疑点处的函

15、数值与区间端点处的函数值，从中获得所求最大值与最小值。（ 3）最值理论的应用解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具， 基本解题思路为：（ I）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系。（ II）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值。（ III）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊的，假如所得函数在区间内只有一个点满意，并且在点处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值。四、经典例题例 1、设函数在点处可导，且，试求（ 1）。（ 2）。（ 3）（ 4）。（为常数）

16、。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解：留意到当）（ 1）。（2）=A+A=2A（ 3）令，就当时，（ 4）点评：留意的本质，在这肯定义中，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎

17、下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -自变量 x 在处的增量的形式是多种多样的，但是，不论选择哪一种形式，相应的也必需挑选相应的形式，这种步调的一样是求值胜利的保证。如 自 变 量x在处 的 增 量 为， 就 相 应 的，于是有。如令，就又有例 2、（ 1）已知，求。（ 2）已知解：，求（ 1）令，就，且当时，。留意到这里（ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页，共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

18、归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -留意到，由已知得由、得例 3、求以下函数的导数（ 1 ）。（ 2 ）。（ 3）。（4）。（ 5）。（6） 解：（ 1）（ 2），（ 3），可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页，共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 4），（ 5），（ 6）当时，。当时，即。点评：为防止直接运用求导法就带来的不必要

19、的纷杂运算， 第一对函数式进行化简或化整为零， 而后再实施求导运算， 特殊是积、 商的形式可以变为代数和的形式，或根式可转化为方幂的形式时， “先变后求 ”的手法明显更为敏捷。例 4、在曲线 C：上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线C 关于该点对称。解：（ 1）当时，取得最小值 -13又当时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 14 页，共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -斜率

20、最小的切线对应的切点为A（ 2，-12）。（ 2）证明：设为曲线的对称点 Q 的坐标为C 上任意一点，就点P 关于点 A且有将代入的解析式得，点坐标为方程的解留意到 P，Q 的任意性， 由此肯定曲线 C 关于点 A 成中心对称。例 5、已知曲线，其中，且均为可导函数，求证：两曲线在公共点处相切。证明：留意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合，设上述两曲线的公共点为，就有，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 15 页，共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

21、名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -于是，对于有。对于，有由得由得，即两曲线在公共点处的切线斜率相等，两曲线在公共点处的切线重合两曲线在公共点处相切。例 6、（1）是否存在这样的 k 值，使函数在区间（ 1，2）上递减，在（ 2， +）上递增，如存在，求出这样的 k 值。（ 2）如恰有三个单调区间，试确定的取值范畴，并求出这三个单调区间。解：（ 1）由题意，当时，当x 2,+ 时，由函数的连续性可知，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 16 页，共 43 页 - - -

22、 - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -整理得解得或验证：（）当时，如，就。如， 就， 符合题意。（）当时，明显不合题意。于是综上可知， 存在使在（1，2）上递减， 在（ 2，+）上递增。（ 2）如，就，此时只有一个增区间， 与题设冲突。如，就，此时只有一个增区间，与题设冲突。如，就并且当时，。 当时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 17 页，共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 -

23、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -综合可知，当时，恰有三个单调区间：减区间。增区间点评：对于（ 1），由已知条件得，并由此获得k 的可能取值，进而再利用已知条件对所得k值逐一验证，这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。例 7、已知函数，当且仅当时，取得极值，并且极大值比微小值大4.（ 1）求常数的值。（ 2）求的极值。解：（ 1），令得方程在处取得极值或为上述方程的根，故有，即又仅当时取得极值，方程的根只有或，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -

24、第 18 页，共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -方程无实根，即而当时，恒成立，的正负情形只取决于的取值情形当 x 变化时，与的变化情形如下表：11，+00+极大值微小值在处取得极大值，在处取得微小值。由题意得整理得于是将，联立，解得（ 2）由（ 1）知，点评：循着求函数极值的步骤，利用题设条件与的关系，立足争论的根的情形，乃是解决此类含参问题的一般方法， 这一解法表达了方程思想和分类争论的数学方法，突出了“导数”与“在处取得极值 ”的必要关系。例 8、可编

25、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 19 页，共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 1）已知的最大值为 3，最小值为-29，求的值。（ 2）设，函数的最大值为 1，最小值为，求常数的值。解：（ 1）这里，不然与题设冲突令，解得或 x=4（舍去）（）如，就当时，在内递增。当时，在内递减又连续，故当时，取得最大值由已知得而此时的最小值为由得（）如，就运用类似的方法可得当时有最小值，故有。又当

26、时，有最大值，由已知得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 20 页，共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -于是综合（）（）得所求或（ 2），令得解得当在上变化时，与的变化情形如下表：-1-1,001+00+微小值极大值当时，取得极大值。当时，取得微小值。由上述表格中展示的的单调性知最大值在与之中，的最小值在和之中，考察差式即，故的最大值为由此得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

27、总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 21 页，共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -考察差式，即，的最小值为由此得，解得于是综合以上所述得到所求。五、高考真题（一）挑选题1、设，就（）。A 、B 、C 、D、分析：由题意得，具有周期性，且周期为4，应选 C。2、函数有极值的充要条件为（）A、B、C、D、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 22 页，共 43

28、页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -分析：当时，且。当时，令得有解，因此才有极值，故应选C。3、设，分别是定义在R 上的奇导数和偶导数， 当 时，且，就不等式的解集是（）A、（ -3，0）（ 3，+）B、（ -3， 0）（ 0，3）C、（ -，-3）（ 3，+）D、（ -，-3）（ 0，3）分析： 为便于描述， 设，就为奇导数， 当时，且依据奇函数图象的对称性知，的解集为（ -， -3）（ 0，3），应选 D。二、填空题1 过原点作曲线的切线，就切点坐标为，切线的斜率

29、为。分析：设切点为M，就以M为切点的切线方程为由曲线过原点得，切点为，切线斜率为。点评：设出目标（之一）迂回作战，就从切线过原点切入，解题思路反而简明得多。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 23 页，共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2 曲线在点处的切线与 x 轴，直线所围成的三角形面积为，就=。分析：曲线在点处的切线方程为即切线与 x 轴交点，又直线与切线交点纵坐标为，上述三角形

30、面积，由此解得即3 曲 线与在 交 点 处 的 切 线 夹 角 是（以弧度数作答）分析：设两切线的夹角为，将两曲线方程联立，解得交点坐标为又，即两曲线在点处的切线斜率分别为 -2， 3，应填。（三）解答题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 24 页，共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1 已知，争论导数的极值点的个数。解析：先将求导，即。当时，有两根，于是有两极值点。 当时，为增函数，

31、没极值点。此题考查导数的应用以及二次方程根、“”等学问。 解答：令，得1、当即或时，方程有两个不同的实根、， 不防设，于是，从而有下表：+00+为极大值为微小值即此时有两个极值点。2、当即时，方程有两个相同的实根，于是，因此3、当即，故当无极值。时，时，。当，时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 25 页，共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -而，故为增函数。此时无极值。当极值点。时，

32、有两个极值点。 当时，无2 已知函数的图象在点处的切线方程为。（）求函数的解析式。（）求函数的单调区间。解析：（ 1）由在切线上，求得，再由在函数图象上和得两个关于的方程。（ 2）令，求出极值点，求增区间，求减区间。此题考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间。解答（）由函数的图象在点处的切线方程为知：，即，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 26 页，共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - -

33、 - - -即 解得所以所求函数解析式（）令解得当或时，当所 以时，在内 是 减 函 数 ， 在内是增函数。3 已知是函数的一个极值点，其中（）求与的关系表达式。（）求的单调区间。（）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m，求的取值范畴。解析：（1）本小题主要考查了导数的概念和运算，应用导数争论函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想，第 2 小题要依据可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 27 页，共 43 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -的符号，分类争论的单调区间。第3 小题是二次三项式在一个区间上恒成立的问题， 用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个区间上的符号，表达出将一般性问题特殊化的数学思想。解答：（），是函数的一个极值点