椭圆知识点归纳总结和经典例题.docx

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1、精品名师归纳总结椭圆的基本学问可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 椭圆的定义 ：把平面内与两个定点F1, F2 的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距 设为 2c .2. 椭圆的标准方程：yyFM2ccc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F 1 OF 2xO cMx F 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y 2a 2b 21（ a b 0）y2x 2a 2b 21 （ a b 0）可编辑

2、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形,为了运算简便,可设方程为mx2+ny2=1m0, n0 不必考虑焦点位置,求出方程3. :定义法、待定系数法、相关点法、直接法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例1如图,已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2.从这个圆上任意一点P向x轴作垂线解: 相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结段PP ,求线段PP 中点M的轨迹.关点法 设点 M x,y,点 P x0,y0,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx0yy0x0x, yP2y.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

3、总结就 ,得02M2222 x0 y0 4,得 x 2 y 4,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 xy 241. 所以点 M的轨迹是一个椭圆.OPx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22224. 范畴 .x a , y b , | x| a, | y| b 椭圆位于直线 x a 和 y b 围成的矩形里5. 椭圆的对称性椭圆是关于 y 轴、 x 轴、原点都是对称的坐标轴是椭圆的对称轴 原点是椭圆的对称中心椭圆的对称中心叫做椭圆的中心6. 顶点只须令 x 0,得 y b,点 B10, b 、B20,b 是椭圆和 y 轴的两个交点。令y 0,得 x a,点 A1 a

4、,0 、A2 a,0 是椭圆和 x 轴的两个交点椭圆有四个顶点：A1 a, 0、A2 a, 0、B10, b 、B20,b 椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点 线段 A1A2、B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴.长轴的长等于 2a.短轴的长等于2b. a 叫做椭圆的长半轴长 b 叫做椭圆的短半轴长y| B1F1| | B1 F2| | B2F1| | B2F2| aB2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 Rt OB2F2 中, | OF2| | B2F2| | OB2| ,AbaA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22222212可编辑资料 - - - 欢迎下

5、载精品名师归纳总结即 c a b 7. 椭圆的几何性质：F 1 Oc F 2xB1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质,如顶点、焦点、中心坐标。一类是与坐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2标系无关的本身固有性质, 如长、短轴长、焦距、离心率对于第一类性质, 只要 xa22y1ab0 b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的有关性质中横坐标x 和纵坐标 y 互换, 就可以得出a2b 21ab0 的有关性质。 总结如下：可编辑资料 - - - 欢迎下

6、载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结几点说明：（ 1）长轴：线段A1 A2 ,长为 2a 。短轴：线段B1B2 ,长为 2b 。焦点在长轴上。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）对于离心率 e,由于 ac0,所以 0e1,离心率反映了椭圆的扁平程度。222由于 ecab1b,所以 e 越趋近于 1,b 越趋近于 0 ,椭圆越扁平。 e 越趋近于 0,aaa2b 越趋近于 a ,椭圆越圆。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）观看下图,| OB2 |b,| OF2 |c ,所以| B2F2 |a ,所以椭圆的离心率e = cos

7、 OF2B2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 直线与椭圆：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线 l ：AxByC0 （ A、 B 不同时为 0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结椭圆 C ：a2b 21ab0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么如何来判定直线和椭圆的位置关系了？将两方程联立得方程组,通过方程组的解的个数来判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线和椭圆交点的情形。方法如下：AxByC0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y2

8、消去 y 得到关于 x 的一元二次方程,化简后形式如下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2b21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mx2nxp0 m0 ,n 24mp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 时,方程组有两组解,故直线与椭圆有两个交点。（2） 时,方程组有一解,直线与椭圆有一个公共点（相切）。（3） 时,方程组无解,直线和椭圆没有公共点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：当直线与椭圆有两个公共点时,设其坐标为A x1, y1 , Bx2, y2 ,那么线段 AB 的长度（即弦可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

9、纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结长）为| AB | xx 2 yy 2 ,设直线的斜率为 k ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2221212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可得：| AB | x1x2 k x1x21k| x1x2 | ,然后我们可通过求出方程的根或用韦达可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理求出。例 1 已知椭圆mx23 y2椭圆典型例题6m0 的一个焦点为（ 0, 2）求 m 的值 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎

10、下载精品名师归纳总结分析： 把椭圆的方程化为标准方程,由c2 ,依据关系 a 2b 2c2 可求出 m 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y2解： 方程变形为1 由于焦点在 y 轴上,所以 2m6 ,解得 m3 62 m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 c2 ,所以 2m622 , m5 适合故 m5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 已知椭圆的中心在原点,且经过点P 3,0, a3b ,求椭圆的标准方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 因椭圆的中心在原点,故其标

11、准方程有两种情形依据题设条件,运用待定系数法,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求出参数 a 和 b （或a 2 和 b 2 ）的值,即可求得椭圆的标准方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解： 当焦点在 x 轴上时,设其方程为xa 2y1 a2b 2b0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由椭圆过点P 3,0 ,知 901 又a3b ,代入得 b 21 , a 29 ,故椭圆的方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22xy21 9a 2b

12、 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2当焦点在 y 轴上时,设其方程为ya 2x1 a b2b0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由椭圆过点P 3,0 ,知 901 又a3b ,联立解得 a 281 , b 29 ,故椭圆的方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2x21 a 2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结819可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3ABC的底边 BC的轨迹16 ,AC 和 AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心 G 的轨迹和顶点 A可编

13、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：（ 1）由已知可得 GCGB20,再利用椭圆定义求解（ 2）由 G 的轨迹方程 G 、 A坐标的关系,利用代入法求A的轨迹方程解： （ 1 ）以 BC 所在的直线为 x 轴, BC 中点为原点建立直角坐标系设G 点坐标为x, y ,由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结GCGB20 ,知 G 点的轨迹是以 B 、 C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点因a10 , c8 ,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b6 ,x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故其方

14、程为1001 y0 36可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）设A x, y , G x , y,就 xy1 y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2210036xx ,3x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由题意有y代入, 得 A 的轨迹方程为y39003241 y0,其轨迹是椭圆 （除去 x 轴上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两点）例 4 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为点所在轴的垂线,它恰

15、好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程4 5 和325 ,过 P 点作焦3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 设两焦点为F 、 F ,且 PF45 , PF25 从椭圆定义知 2aPFPF2 5 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12121233a5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从 PF1PF2 知PF2垂直焦点所在的对称轴,所以在Rt PF2F1 中, sinPF1F2PF21,PF12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可求出PF1F2, 2c6PF1cos6252,从而 b3a 2c

16、210 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x23 y23 x2y 2所求椭圆方程为1 或1 2510105可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例 5 已知椭圆方程 xa 2y1 a b2b0 ,长轴端点为A1 , A2 ,焦点为F1 , F2 , P 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结椭圆上一点,A1PA2,F1PF2求：F1PF2 的面积（用 a 、 b 、表示）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 求面积要结合余弦定理及定义求角的两

17、邻边, 从而利用 S1 ab sin C 求面积2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：如图,设 Px, y,由椭圆的对称性, 不妨设P x, y,由椭圆的对称性, 不妨设 P 在第一象限 由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结余弦定理知：2F1F22PF12PF222 PF1 PF2cos4c2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由椭圆定义知：PF1PF22a,就 得PF1PF22b21cos可编辑资料 - -

18、 - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 S F1 PF21PF12PF2sin12b22 1cossinb 2 tan2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6 已知动圆 P 过定点 A3,0,且在定圆B：x3 2y 264 的内部与其相内切, 求动圆圆心 P 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结轨迹方程分析： 关键是依据题意,列出点P 满意的关系式解： 如下列图,设动圆P 和定圆 B 内切于点 M 动点 P 到两定点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即定点 A

19、3,0和定圆圆心B 3,0距离之和恰好等于定圆半径,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 PAPBPMPBBM8 点 P 的轨迹是以A, B 为两焦点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结半长轴为 4,半短轴长为 b423227 的椭圆的方程： x2y1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结167说明： 此题是先依据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后依据椭圆的标准方程,求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

20、例 7 已知椭圆2y 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,（ 1）求过点 P 1122且被 P 平分的弦所在直线的方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）过A 2,1引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）椭圆上有两点 P 、 Q , O 为原点,且有直线OP 、 OQ 斜率满意求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程分析： 此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设

21、弦端坐标的方法kOP1kOQ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 设弦两端点分别为Mx1, y1, N x2, y2,线段 MN 的中点R x, y ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1122y22,得 x1x2x1x22 y1y2y1y20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2222y22,由题意知x1x2 ,就上式两端同除以x1x2 ,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2y1y22x,2y,x1x22 y1y1y2y2

22、0 ,x1x2yy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将代入得x2 y12x1x20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）将 x1 , y21代入,得222y1y2x1x221 ,故所求直线方程为：2112 x4 y30 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将代入椭圆方程x2 y为所求2 得 6 y6 y0 ,4364640 符合题意, 2x4 y30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）将 y1y2x1x22 代入得所求轨迹方程为：x 4 y0 （椭圆内部分）可编辑资料 - - -

23、欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y1y2（ 3）将x1x2y 1代入得所求轨迹方程为：x2x 22 y22 x2 y0 （椭圆内部分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx22y12（ 4）由得：122222 , ,将平方并整理得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yxx4x222122 x1x2,222yy4 y122 y1 y2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将代入得：4 x22 x1 x2 44 y22 y1y22 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再 将 y1 y21x1x22代 入 式 得 ：2 x2x1x24 y 221x1x222 ,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x 2y1 12此即为所求轨迹方程当然,此题除了设弦端坐标的方法,仍可用其它方法解决可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8 已知椭圆4x2y21 及直线 yxm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点？精选范本可编辑资料 - - - 欢迎下载