一元二次方程知识点总结与易错题 .docx

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1、精品名师归纳总结一元二次方程学问点总结考点一、一元二次方程1、一元二次方程： 含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、一元二次方程的一般形式：ax2bxc0 a0) ,它的特点是：等式左边十一个关于未知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数 x 的二次多项式,等式右边是零,其中项系数。 c 叫做常数项。ax 2 叫做二次项, a 叫做二次项系数。 bx 叫做一次项, b 叫做一次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考点二、一元二次方程的解

2、法1、直接开平方法 :利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用于解形如 xa) 2b 的一元二次方程。 依据平方根的定义可知, xa 是 b 的平方根, 当b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时, xab , xab ,当 b0 时,一元二次方程有 2 个不相等的实数根。 II当=0 时,一元二次方程有 2 个相同的实数根。 III当 0【或向下k0【 或左h0【或左h0【 或左h0【或下k0【或下k0】平移|k|个单位y=ax-h2+k可

3、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移。 k 值正上移,负下移”概括成八个字“ 左加右减,上加下减 ”方法二：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yax2bxc 沿 y 轴平移: 向上（下）平移 m 个单位,yax2bxc 变成 yax2bxcm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（或 yax2bxcm ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yax2bxc沿 轴 平 移 ： 向 左 （ 右 ） 平 移

4、 m 个 单 位 , yax2bxc 变 成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ya xm 2b xmc （或 ya xm 2b xmc ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、二次函数2ya xhkyax2bxc 的比较可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从解析式上看,2与ya xhk 与 yax2bxc 是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

5、 - 欢迎下载精品名师归纳总结前者,即2yaxb 2a4acb2h4a,其中b4acb2,k2a4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2五、二次函数yaxbxc 图象的画法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五点绘图法 ：利用配方法将二次函数2yaxbxc 化为顶点式2yaxhk ,确定其开口方向、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称的描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

6、总结与 y 轴的交点 0 ,c、以及 0 ,c关于对称轴对称的点 2h ,c、与x 轴的交点x1 ,0, x2 ,0 （如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与 y 轴的交点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结六、二次函数2yaxbxc的性质bb4acb2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 当 ax0 时,抛物线开口向上,对称轴为2a ,顶点坐标为,2a4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xbxbxb当2a 时, y 随

7、 x 的增大而减小。当2a 时, y 随 x 的增大而增大。当2a 时, y 有最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24acb小值4abb4acb 2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 当 ax0 时,抛物线开口向下,对称轴为2a ,顶点坐标为,2 a4ax当2a 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2xbxb4acb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y 随 x 的增大而增大。当2a 时, y 随 x 的增大而减小。当2 a 时, y 有最大值4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

8、名师归纳总结七、二次函数解析式的表示方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21. 一般式：2yaxbxc （ a , b , c 为常数, a0 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 顶点式：yaxhk （ a , h , k 为常数, a0 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 两根式：yaxx1 xx2 （ a0 , x1 , x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意： 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次

9、函数都可以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系21. 二次项系数 ab24ac0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次函数yaxbxc 中, a 作为二次项系数,明显a0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 当 a0 时,抛物线开口向上, a 的值越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越大。 当 a0 时,抛物线开口向下, a 的值越小,开口越小,反之 a

10、 的值越大,开口越大总结起来, a 打算了抛物线开口的大小和方向, a 的正负打算开口方向, a 的大小打算开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下, b 打算了抛物线的对称轴b0b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 在 a0 的前提下,当 b0 时,2a,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧。当 b0 时, 2a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即抛物线的对称轴就是 y 轴。当 b0 时,2a,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b0可编辑资料 - -

11、- 欢迎下载精品名师归纳总结 在 a0 的前提下,结论刚好与上述相反,即当b0 时,2a,即抛物线的对称轴在y 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b0b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结右侧。当 b0 时,2a,即抛物线的对称轴就是y 轴。当 b0 时, 2a,即抛物线对称轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 y 轴的左侧总结起来,在 a 确定的前提下, b 打算了抛物线对称轴的位置可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xab 的符号的判定： 对称轴“左同右异”3. 常数项 cb2a 在 y 轴左边就 ab0 ,在 y 轴的右侧就 ab

12、0 ,概括的说就是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 当 c0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 当 c 当 c0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 。0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总结起来, c 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之,只要 a ,b ,c 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的 九、二次函

13、数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情形）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2一元二次方程 axbxc0 是二次函数2yaxbxc 当函数值 y0 时的特别情形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图象与 x 轴的交点个数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 当b4ac0 时,图象与 x 轴交于两点A x1 ,0,Bx2 ,0 x1x2 ,其中的x1 ,x2 是一元二次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2方程 axbxc0 a0的两根这两点间的距离2

14、ABx2x1b4ac a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 当0 时,图象与 x 轴只有一个交点。 当0 时,图象与 x 轴没有交点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a、当 ab、当 a0 时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有 y0 。0 时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有 y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 抛物线2yaxbxc 的图象与 y 轴肯定相交,交点坐标为 0 , c 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 二次函数常用解题

15、方法总结： 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程。 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 依据图象的位置判定二次函数2yaxbxc 中a ,b ,c 的符号, 或由二次函数中 a ,b , c 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结符号判定图象的位置,要数形结合。 二次函数的图象关于对称轴对称, 可利用这一性质, 求和已知一点对称的点坐标, 或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0抛物线与 x 轴有两个交点二次

16、三项式的值可正、 可零、可负一元二次方程有两个不相等实根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0抛物线与 x 轴只有一个交点0抛物线与 x 轴无交2点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 与二次函数有关的仍有二次三项式,二次三项式axbxca0 本身就是所含字母 x 的二次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数。下面以 a0 时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：可编辑资料 - - -

17、 欢迎下载精品名师归纳总结y=2 x 2y=x 2y= 2 x 2 +2y= 2 x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2y= 2 x 2 -4y=2y=2 x 2y=2x-42y=2x-42 -3【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 （1）二次函数yaxbxc 的图像如图 1,就点M b,c a 在（ ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2A第一象限B其次象限 C 第三象限 D 第四象限（2）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图 2 所示, .就以下结论： a、b 同号。可编辑资料 -

18、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x=1 和 x=3 时,函数值相等。 4a+b=0。当 y=-2 时,x 的值只能取 0. 其中正确的个数是（ ）A1 个 B2 个 C 3 个 D 4 个12【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,c 之间的关系,是解决问题的关键例 2. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 -2 ,O、x1 ,0 ,且 1x12,与 y 轴的正半轴的交点在点 O,2 的下方以下结论： abO。 4a+cO,其中正确结论的个数为 A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D 4 个答案： D会用待定系数法求二次函数解析式例 3. 已知：关于 x 的一元

19、二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2 ,且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=2,就抛物线的顶点坐标为 A2,-3B.2,1C2, 3D 3 ,2答案： C例 4、（ 烟台市）如图（单位： m）,等腰三角形 ABC以 2 米/ 秒的速度沿直线 L 向正方形移动,直到 AB与 CD重合设 x 秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2（1） 写出 y 与 x 的关系式。（2） 当 x=2,3.5 时, y 分别是多少？（3） 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例

20、 5. 已知：二次函数 y=ax2-b+1x-3a的图象经过点 P4,10 ,交 x 轴于点 x1x2 ,交 y 轴负半轴于 C点,且满意 3AO=OBAx1,0 , B x2 ,0 两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 求二次函数的解析式。 2 在二次函数的图象上是否存在点M,使锐角 MCO ACO.如存在,请你求出 M点的横坐标的取值范畴。如不存在,请你说明理由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 解：如图抛物线交 x 轴于点 Ax1 ,0 ,Bx2 ,O, 就 x1x2=30,又 x1O,x1O, 30A=OB, x2=-3x1 x1 x2=-3x12=

21、-3 x12=1. x10, x1=-1 x2=3点 A-1 , O,P4,10 代入解析式得解得 a=2 b=3二次函数的解析式为 y-2x2-4x-6 (2) 存在点 M使 MC0 ACO2 解：点 A关于 y 轴的对称点 A1 , O,直线 A,C解析式为 y=6x-6 直线 AC 与抛物线交点为 0 ,-6 ,5 ,24 符合题意的 x 的范畴为 -1x0 或 Ox5当点 M的横坐标满意 -1xO 或 Ox ACO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一个交点的坐标是 35,0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5y,令 x=3 代入解析式,得2可编辑资料 -

22、- - 欢迎下载精品名师归纳总结y所以抛物线1 x23 x22的顶点坐标为3,5 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以也可以填抛物线的顶点坐标为3,5 2 等等。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）明白函数的详细特点。借助多种现实背景懂得函数。将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型。渗透函数的思想。关注函数与相关学问的联系。一元二次方程易错题一、挑选题1、如关于 x 的一元二次方程 m-1x 2 +5x+m2-3m+2=0有一个根为 0,就 m的值等于（）A 1B.2C.1 或 2D.02、巴中日报讯：今年我

23、市小春粮油再获丰收,全市产量估量由前年的45 万吨提升到 50 万吨, 设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x ,就可列方程为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 452 x50B 451x250 C 501x) 245D 4512 x50可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、已知 a, b 是关于 x 的一元二次方程 x2nx10 的两实数根,就 baab的值是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. n 22B. n22C. n 22D. n 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、已知 a、b、c 分别是三角形的三边,就 a + bx2 + 2cx + a + b 0 的根的情形是（）A没有实数根B可能有且只有一个实数根C有两个相等的实数根D有两个不相等的实数根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、已知m,n 是方程 x22 x10 的两根,且7m 214ma 3n 26n78 ,就 a 的值等于可编辑资料