第五章平面向量.docx

《第五章平面向量.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五章平面向量.docx（50页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载第 1 讲平面对量的概念及线性运算【2021 年高考会这样考】 1考查平面对量的线性运算2考查平面对量的几何意义及其共线条件【复习指导】本讲的复习， 一是要重视基础学问， 对平面对量的基本概念， 加减运算等要娴熟把握，二是要把握好向量的线性运算，搞清这些运算法就和实数的运算法就的区分基础梳理1向量的有关概念 1向量：既有大小又有方向的量叫向量。向量的大小叫做向量的模 2零向量：长度等于0 的向量，其方向是任意的3单位向量：长度等于1 个单位的向量4平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共

2、线向量，规定：0 与任一向量共线5相等向量：长度相等且方向相同的向量 6相反向量：长度相等且方向相反的向量 2向量的线性运算向量运算定义法就或几何意义 运算律可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求两个向量和的运加法算三角形法就平行四边形法就1 交换律：abba.2结合律： abc a bc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 -

3、- - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求 a 与 b 的相反向减法量 b 的和的运算叫做 a 与 b 的差三角形法就aba b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.向量的数乘运算及其几何意义1定义：实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下： |a| |a|。当 0 时，a 与 a 的方向相同。 当 0 时，a 与 a 的方向相反。 当 0 时， a 0.2运算律：设 ， 是两个实数，就 a a。 aaa。 a bab.4共线向量定理向量 aa0与 b 共线的充要条件是

4、存在唯独一个实数，使得 ba.一条规律一般的，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最终一个向量终点的向量两个防范1向量共线的充要条件中要留意“a0”，否就 可能不存在，也可能有很多个2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应留意向量共线与三点共线的区分与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线。另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必需说明这两条直线不重合双基自测可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CD1D 是 ABC 的边 AB 上的中点，就向量 等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 1

5、1 1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BC2BAB BC2BAC.BC2BAD.BC2BA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2判定以下四个命题：如 ab，就 ab。如 |a|b|，就 ab。如 |a|b|，就 ab。如 ab， 就|a|b|.正确的个数是 A 1B 2C3D43如 O，E，F 是不共线的任意三点，就以下各式中成立的是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word

6、 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 OF OE OF OE OFOE OF OE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. EFB.EFC.EFD.EF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BA4如图，正六边形ABCDEF 中， CD EF 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 0B.D.BEC.ADCF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量a b 与 2ab 共线，就 .考向一平面对量的概念【例 1】.以下命题中正确

7、选项 A a 与 b 共线， b 与 c 共线，就 a 与 c 也共线 B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C向量 a 与 b 不共线，就 a 与 b 都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行【训练 1】 给出以下命题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB如 A，B，C，D 是不共线的四点，就 是四边形 ABCD 为平行四边形的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DC充要条件。如a b， b c，就 ac。 ab 的充要条件是 |a| |b|且 ab。如 a 与 b 均为非零向量，就 |a b|与|a|b|肯定相等 其中正确命题的序号是

8、 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 2】.如图，考向二平面对量的线性运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D， E， F 分别是 ABC 的边 AB， BC， CA 的中点，就 ADA. BE CF 0 B.BD CF DF 0C.AD CE CF 0D.BD BE FC 0【训练 2】 在 ABC 中， c b，如点 D 满意 ，就 AB，ACBD2DCAD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精

9、品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载21522112A. 3b3cB.3c 3bC.3b3cD.3b 3c考向三共线向量定理及其应用【例 3】.设两个非零向量a 与 b 不共线AB1如 ab，BC2a 8b，CD3ab求证： A，B，D 三点共线。2试确定实数 k，使 ka b 和 akb 共线【训练 3】 已知 a，b 是不共线的向量， ab， ab， R ，那ABAC么 A，B，C 三点共线的充要条件是 A 2B 1C 1D 1难点突破 11有关平面对量中新定义问题解题策略从近两年课改区高考试题可以看出高考以挑选题形式考查

10、平面对量中新定义的 问题，一般难度较大这类问题的特点是背景新奇，信息量大，通过它可考查学生猎取信息、 分析并解决问题的才能 解答这类问题， 第一需要分析新定义的特点，把新定义所表达的问题的本质弄清晰，然后应用到详细的解题过程之中，这是破解新定义信息题难点的关键所在【示例1】定义平面对量之间的一种运算“”如下：对任意的am， n，b p，q，令 abmqnp，下面说法错误选项 A如 a 与 b 共线，就 ab0B a b b aA1A3A1A2C对任意的 R，有aba bD ab2ab2 |a|2|b|2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【示例 2】设 A1，A2，A3，A4是平面

11、直角坐标系中两两不同的四点，如 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 R， A R，且112，就称 A ，A调和分割 A ，A .已知平34可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1A41A2 12 面上的点 C，D 调和

12、分割点 A，B，就以下说法正确选项 A C 可能是线段 AB 的中点BD 可能是线段 AB 的中点C C、D 可能同时在线段AB 上DC、D 不行能同时在线段AB 的延长线上第 2 讲平面对量基本定理及其坐标表示【2021 年高考会这样考】1考查平面对量基本定理的应用2考查坐标表示下向量共线条件【复习指导】本讲复习时，应懂得基本定理，重点运用向量的坐标进行加、减、数乘的运算以及向量共线的运算基础梳理1平面对量基本定理假如 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使 a1e1 2e2，其中不共线的向量e1，e2 叫表示这一平面内全部向量的

13、一组基底2平面对量坐标运算1向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 ax1， y1，bx2，y2，就22abx1 x2，y1 y2，abx1 x2，y1 y2， ax1，y1， |a|x1 y1 .2向量坐标的求法如向量的起点是坐标原点，就终点坐标即为向量的坐标设 Ax1， y1， Bx2 ，y2，就 x2x1，y2y1， x2x1 2 y2y1 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB3平面对量共线的坐标表示|AB|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 ax1， y1， bx2，y2，其中 b0，当且仅当 x1y2x2y10 时，向量 a，b共线可编辑资料 - -

14、 - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载一个区分向量坐标与点的坐标的区分：在平面直角坐标系中， 以原点为起点的向量 OAa，点 A 的位置被向量 a 唯独确定，此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为 x，y，但应留意其表示形式的区分，如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OA点 Ax，y，向量 a x， y可编辑资料 - - - 欢迎下

15、载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当平面对量 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OA平行移动到 O1A1时，向量不变，即 O1A1 OA x，y，但O1A1的起点 O1 和终点 A1 的坐标都发生了变化 两个防范1要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息2如 ax ，y ，bx ， y ，就 ab 的充要条件不能表示成 x1y1x ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1122x y，由于2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22y2 有可能等于 0，所以应表

16、示为x1 y2 x2 y10.双基自测1已知 a1 a2 an0，且 an3,4，就 a1a2 an 1 的坐标为 A 4,3B4， 3C 3， 4 D3,42如向量 a1,1，b1,1，c4,2，就 c A 3abB3abC a3bDa3b3设向量 am,1，b 1，m，假如 a 与 b 共线且方向相反， 就 m 的值为 A 1B 1C 2D 24设向量 a 1， 3， b 2,4，如表示向量4a、3b2a、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，就向量c A 4,6B 4， 6C4， 6D4,65已知向量 a2， 1，b 1，m，c 1,2，如ab c，就 m .考向一平面对量基本定理的应用【

17、例 1】如下列图，在 ABC 中， H 为 BC 上异于 B，C 的任一点， M 为 AH 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载中点，如 AM ABAC，就 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【训练 1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起如就 x ，y .考向二平面对量的坐标运算ADxAB，yAC可编

18、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 2】已知 A 2,4，B3，1，C3，4，且 ， .求 M，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结N 的坐标和MN.CM3CACN2CB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABAC【训练 2】 在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线， 如 2,4， 1,3，就BD A 2， 4B 3， 5C3,5D 2,4考向三平面对量共线的坐标运算【例 3】.已知 a 1,2，b 3,2，是否存在实数 k，使得 kab 与 a 3b 共线， 且方向相反？，399，3，93【训练 3

19、】已知向量 a1,2，b2，3，如向量 c 满意cab，c ab， 就 c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结779A.，3B. 77 C. 77D. 77可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载阅卷报告 5 平面几何学问应用不娴熟致误【问题诊断】在平面几何图形中设置向量问题，是高考命题向量试题的常见形 式，求解这类问

20、题的常规思路是：第一挑选一组基向量， 把全部需要的向量都用基向量表示，然后再进行求解【防范措施】一是会利用平行四边形法就和三角形法就。二是弄清平面图形中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的特殊点、线段等【示例】在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 误 ， ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 .BC2BDCA3CEADBE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【试一试】 已知直角梯形 ABCD 中， ADBC， ADC 90，AD2，BC1， P 是腰 DC 上的动点，就 |PA3PB|的最小值为第 3 讲平面对量的数量积【2021 年高考会这样考】

21、1考查平面对量数量积的运算2考查利用数量积求平面对量的夹角、模3考查利用数量积判定两向量的垂直关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载【复习指导】本讲复习时， 应紧扣平面对量数量积的定义， 懂得其运算法就和性质， 重点解决平面对量的数量积的有关运算， 利用数量积求解平面对量的夹角、 模，以及两向量的垂直关系可编辑资料 - -

22、- 欢迎下载精品名师归纳总结1两个向量的夹角基础梳理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知两个非零向量 a 和 b如图，作OA a， OB b，就 AOB0 180叫做向量 a 与 b 的夹角，当 0时， a 与 b 同向。当 180时， a 与 b 反向。假如 a 与 b 的夹角是 90，我们说 a 与 b 垂直，记作 ab.2两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a 与 b，它们的夹角为，就数量 |a|b|cos叫做 a 与 b 的数量积或内积 ，记作 ab，即 ab |a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即 0a0.3向量数量积的几何意义数量积 ab 等于

23、a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos 的数量积4向量数量积的性质设 a、b 都是非零向量， e 是单位向量， 为 a 与 b或 e的夹角就1ea ae |a|cos。 2a b. ab 0。3当 a 与 b 同向时， ab |a| |b|。当 a 与 b 反向时， ab |a|b|，特殊的， aa |a|2 或者|a|aa。|ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4cos |a|b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5|ab|a|b|. 5向量数量积的运算律1abba。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 -

24、 - - - - - - - - -第 9 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载2ababab。 3ab c ac bc.6平面对量数量积的坐标运算设向量 a x1，y1，bx2， y2，向量 a 与 b 的夹角为 ，就1abx1x2y1y2。 2|a|x2 y2。11x1x2y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3cosa， bx2 y22 y2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11x22可编辑资料 -

25、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结4a b. ab 0. x1x2y1y2 0.AB7如 Ax1，y1， Bx2，y2， a，就|a|x1x2的距离公式 一个条件两个向量垂直的充要条件：ab. x1 x2y1y2 0.两个探究1如 ab 0，能否说明 a 和 b 的夹角为锐角？2如 ab 0，能否说明 a 和 b 的夹角为钝角？2 y1y22平面内两点间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三个防范 1如 a，b，c 是实数，就 ab ac. bca0。但对于向量就没有这样的性质， 即如向量 a，b， c 如满意 abaca0，就不肯定有 bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以

26、同时乘以一个向量(2) 数量积运算不适合结合律，即 ab c a b c ，这是由于 ab c 表示一个与 c 共线的向量， a bc 表示一个与 a 共线的向量，而 a 与 c 不肯定共线， 因此 a b c 与 a b c 不肯定相等(3) 向量夹角的概念要领悟，比如正三角形ABC中， AB与BC的夹角应为120，而不是 60.双基自测1已知 |a|3，|b|2，如 ab 3，就 a 与 b 的夹角为 23A. 3B.4C. 3D. 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 25 页 - - - - - -

27、 - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载2如 a，b，c 为任意向量， mR，就以下等式不肯定成立的是 A abca b cBa b cacbcC ma bmambDab cabc 3如向量 a，b，c 满意 ab，且 ac，就 ca 2b A 4B3C2D04已知向量 a 1,2，向量 b x， 2，且 aa b，就实数 x 等于 A 9B4C0D 45已知 |a|b|2，a2b ab 2，就 a 与 b 的夹角为 考向一求两平面对量的数量积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

28、师归纳总结【例 1】在 ABC 中， M 是 BC 的中点， |1， ，就 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 .【训练 1】 如图，在菱形 ABCD 中，如 AC 4，就 |AMAP .2PMPA PBPC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CAAB考向二利用平面对量数量积求夹角与模【例 2】.已知|a|4，|b|3，2a3b 2a b61. 1求 a 与 b 的夹角 。 2求|ab|和|a b|.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 25 页 - - - - - - - - -

29、-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载【训练 2】 已知 a 与 b 是两个非零向量， 且|a|b| |ab|，求 a 与 ab 的夹角考向三平面对量的数量积与垂直问题【例 3】.已知平面对量 a1，x， b 2x 3， xx R 1 如 ab， 求 x 的 值 。 2如 ab，求|ab|.【训练 3】 已知平面内 A，B，C 三点在同一条直线上， OA 2，m，OBn,1，OC 5， 1，且 OAOB，求实数 m，n 的值规范解答 10如何解决平面对量与解三角形的综合问题【问题讨论】平面对量

30、与三角的综合性问题大多是以三角题型为背景的一种向 量描述它需要依据向量的运算性质将向量问题转化为三角的相关学问来解答， 三角学问是考查的主体 考查的要求并不高， 解题时要综合利用平面对量的几何意义等将题中的条件翻译成简洁的数学问题【解决方案】解决这类问题时，第一要考虑向量工具性的作用，如利用向量的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备

31、欢迎下载模与数量积转化边长与夹角问题， 然后留意三角形中边角的向量关系式的表达形式，最终用三角学问规范解答【示例】 ABC 的面积是 30，内角 A，B，C 所对边长分别为a，b， c，cos A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12求 。 2如 cb 1，求 a 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13.1ABAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【试一试】已知 ABC 的面积 S 满意3S3，且 6，设 与 的夹可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结角为 .1求 的取值范畴。ABBCABBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

32、结2求函数 fsin22sin cos 3cos2的最小值第 4 讲平面对量的应用【 2021 年 高 考 会 这 样 考 】1考查利用向量方法解决某些简洁的平面几何问题2考查利用向量方法解决简洁的力学问题与其他一些实际问题【复习指导】复习中重点把握好向量平行、 垂直的条件及其数量积的运算，重视平面对量表达出的数形结合的思想方法，体验向量在解题过程中的工具性特点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页，共 25 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精

33、心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1向量在平面几何中的应用基础梳理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面对量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相像、长度、夹角等问题1证明线段平行或点共线问题，包括相像问题，常用共线向量定理：a b. a bb0. x1y2 x2y10. 2证明垂直问题，常用数量积的运算性质ab. ab0. x1x2 y1y20. 3求夹角问题，利用夹角公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos ab x1x2y1y2为 a 与 b 的夹角 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|a|b|x2y22y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11x222平面对量在物理中的应用